深度理解实数

孔凡哲

在人类发展史上，没有哪一类数像实数一样，蕴涵如此多的故事，这些故事不是传说，而是史实.就让我们到历史长河中探寻实数背后的故事吧.

一、根植于丰富文化中的实数

在人类文明发展史中，古希腊时期是一个永远无法忽略的时期.这个时期，为数众多的数学家做出了永载史册的贡献.

以数学家毕达哥拉斯为首的毕达哥拉斯学派提出了“万物皆数”，即世间万物的所有数都可以表示为两个整数之比的形式.

真是这样吗？那个时代，人类尚未认识到负数，当时的数是指0以及今天所说的正数，可以这样说，当时所说的数，除了自然数，就是小数.

自然数可以写成分母为1的两个自然数之比的形式，对于有限小数，当然可以化成分数，但是，对于无限循环小数，比如，0.35，该怎么办呢？事实上，对于0.35，設它为x，于是.100x=35+x，从而，x=35/99.

如此，“万物皆数”的观点是“对”的.

可是，毕达哥拉斯学派的一位学者，无意中发现：将两个边长为1的小正方形分别沿着一条对角线剪开，得到四个完全一样的等腰直角三角形，将其拼成一个大正方形，这个大正方形的面积自然是2，它的边长a既不是1，也不是2，而在1和2之间不可能存在其他的自然数，如果a是分数（分子、分母不能约分），那么，a·a肯定还是一个分数，而且，分子、分母依然不能约分，自然不能等于2.这就奇怪了！

这个事实意味着，用小正方形的边长1作为单位，度量面积为1的这个正方形的对角线，是无法度量的！“万物皆数”的神话破灭了！

这个惊人的事实震惊了所有人，按照毕达哥拉斯学派的规矩，发现这个“奇怪结论”的人被处以重罚——据说，他在一条行驶的船上讲述他的发现，行刑者将其装入麻袋投入水中.

但是，√2是“淹不死”的！

在随后的历史进程中，人们接受了这个事实！不仅√2被发现，而且√3，√5等陆续被发现.这就是无理数的由来！

二、深度理解多重含义的实数

实数是由有理数和无理数组成的，有理数都可以表示为两个整数之比的形式，即分数.而无理数其实是非常“有理”的！它的含义非常丰富.

首先，无理数是真实存在的.

、/丁是边长为1的正方形的对角线的长（如下页图1所示），、/了是边长分别为1和2的长方形的对角线的长，、/了是边长分别为、/7万和1的长方形的对角线的长（如下页图2所示），而边长分别为、/7歹和1的长方形，其对角线的长为2.

对于非零自然数n，边长分别为1和√n的长方形，其对角线的长就是√n+1.

其次，无理数是无限小数，

我们已经知道，√2是面积为2的正方形的边长.如图3所示，面积为2的正方形的边长a肯定在1到2之间.因为面积越大，边长越长，所以边长分别为1，a，2的正方形面积之间的关系为：1²2=2<2².可以清楚直观地看出a在1和2之间，a的整数位上的数一定是1，可十分位上的数是多少没有办法看出来.

我们可以用0.1，0.01，0.001，…作为间距，依靠计算器探索它的十分位上的数，百分位上的数，千分位上的数……如表1所示，可以发现a介于1.414 2与1.414 3之间.

a肯定是一个无限小数，因为假如a是一个小数点后有n位的有限小数，那么，a·a一定是一个小数点后有2n位的有限小数，而不可能是2.

最后，无理数具有不循环性，事实上，若无理数是循环小数，根据无限循环小数都可以化成分数，则它就不是无理数了，

三、数形结合理解实数

实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用，

在学习无理数之前，有理数对应的点密密麻麻地分布在数轴上，但是有空隙.无理数对应的点将数轴上有理数对应的点之间的空隙填满，至此实数对应的点填满了整个数轴，数轴上的每一个点，都可以唯一对应一个实数.也就是说，实数可以表示任意一条线段的长度，并且同一条线段只有一个长度.

其实，我们可以用无限小数将所有的实数表示出来.因为任意有限小数也可以写成无限小数的形式，只要是从某位之后永远是9就可以了，例如5.38=5.379 999 99….你能解释这个问题吗？

事实上，利用实数与数轴上的点一一对应的关系，我们可将实数的大小关系转化为点的位置关系，数轴正方向指向右方，数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大.恰当利用这个性质，可以解决许多问题.

例1 （2019年广东）实数a ，b在数轴上的对应点的位置如图4所示，下列式子成立的是（

）.

A.b

B.-a

C.a+b>0

D.a/b<0

6

解析：由数轴可知，一21>b，-2

特别地，可以利用正方形边长与面积之间的相互关系“边长越大，正方形的面积也越大：反之亦然”判断边长的大小关系，对于两个无理数（或者两个实数），当判断其大小较困难时，有时也可以利用其平方之后的大小关系进行判断.

对于a>0，b>0的情形：若a2>b2，则a>b.

对于a<0， b<0的情形：若a2>b2，则a

例2 比较10/3和√11的大小.

实数是《义务教育数学课程标准（2011年版）》“数与代数”领域的重要内容.在学习本章之前，数学内容都是在有理数的范围内讨论的，学习了本章之后，我们就可以在实数范围内研究数学问题，本章的主要内容是平方根和立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算.实数的学习为后面学习二次根式、一元二次方程等知识打下坚实的基础，

四、实数对加、减、乘、除（除数不为0）乘方运算都是封闭的

实数可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，运算的结果仍然是实数，这就是说，运算是封闭的，非负数（正数和0）可以进行开平方运算.任意一个实数可以进行开立方运算.

在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算律，以及有理数关于绝对值和相反数的意义，都适用于实数.

在学习实数的过程中，有一些知识点容易混淆，需要进一步明确，比如，无理数都是无限小数，但无限小数不都是无理数;带根号的数不一定是无理数，不带根号的数不一定是有理数;两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数;一个有理数与一个无理数的和、差一定是无理数，但是，它们的积、商可能是有理数等，

例3在实数原有运算基础上，补充新运算“*”如下：

当a≥b时，a*b=b2;当a

当x=√2时，（1*x）.x-（3*x）=____.（“·”和“一”仍为实数运算中的乘号和减号）

解析：本题用“*”定义了一种新运算，关键是深刻理解新运算符号“*”的意义，再将新运算转化为熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算.

在实数中，解决新定义运算型问题与解决常规的混合运算问题区别不大，只要按照新定义运算的规律、法则将其转化为熟悉的运算即可.

练一练

1.如果在实数原有运算基础上，新定义“@”的运算法则为x@y =xy -1，那么，（2@3）@4=____.

2.（2019年宁波）请写出一个小于4的无理数：____.

参考答案：1. 19 2.答案不唯一，如√15等，