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“不等式与不等式组”学习指导

2020-08-10王宗信

关键词:移项同类项式子

王宗信

现实世界和日常生活中存在大量涉及不等关系的问题.对于这些问题,我们常常要把比较的对象数量化,分析其中的不等关系,列出相应的数学式子——不等式(组),并通过解不等式(组)而得出结论.这样的思路与利用方程(组)研究相等关系是类似的.

一、认識不等式

用符号“<”或“>”或“≥”或“≤”等表示不等关系的式子,叫作不等式.

不等式有两类:

一类是不等式中不含有字母,比如3>2.一3<一1.另一类是不等式中含有字母,比如x+2>3,1/2x<5.

含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫作一元一次不等式.

我们看一元一次不等式x+2>3,当x取2,3,4,…(只要这些值大于1都可以)时,不等式x+2>3都成立,与方程的解类似,我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.我们还可以发现,一元一次不等式的解有无数个,一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.

二、解一元一次不等式

求不等式的解集的过程叫作解不等式.

解方程的依据是等式的性质:(1)等式两边都加上(或减去)同一个数(或同一个整式),所得的结果仍是等式;(2)等式两边都乘(或除以)同一个不等于0的数,所得的结果仍是等式.求方程的解就是要把方程变形为x=a的形式.

类似地,解一元一次不等式也要依据不等式的性质:

(1)不等式两边加(或减)同一式子),不等号的方向不变;

(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;

(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.比如3>2,两边同乘以-1.左边的数变为-3,右边的数变为-2,它们的大小关系与原来左右两边数的大小关系反过来了,不等号必须改变方向,

解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤几乎相同:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.不同的地方是:当不等式系数化为1时,如果不等式的两边乘(或除以)同一个负数,不等号要改变方向!另外同学们要养成用数轴来表示不等式的解集的习惯,这会为后续学习不等式组打下坚实的基础.

例1解不等式x+1/6≥x-2/4 +1,并在数轴上表示解集.

解析:去分母(不等式两边同乘以12),得2(x+l)≥3(x-2)+12.去括号,得2x+2≥3x-6+12.移项,得2x-3x≥-6+12 -2.合并同类项,得-x≥4.系数化为1,得x≤-4.(根据不等式的性质3,不等式两边同乘-1,不等号要改变方向)

这个不等式的解集在数轴上的表示如图1所示.

提醒:解此不等式与解一元一次方程x+1/6=x-2/4 +1的步骤大致相同:去分母、去

括号、移项、合并同类项、系数化为1.前四步与解方程的注意事项一样:①去分母时,不等式两边都乘最小公分母12,不要漏乘.②去括号时,利用分配律展开,既不要漏乘,还要注意符号是否需要变号.③移项要注意变号.④合并同类项同样要细心.特别地,系数化为1时,不等式两边同乘一1,不等号要改变方向.在数轴上表示不等式的解集时,因为本题中-4是不等式的解,所以在表示-4的点上画实心圆点,解不等式每一步都需要小心谨慎!

三、解一元一次不等式

例2已知一个钝角的大小是(2x-70)o,求x的取值范围.

解析:根据题意,得2x-70>90,2x-70<180°,把它们合起来,即2x-70>90,解第一

2x-70<180个不等式,得x>80,解第二个不等式得x<125.因为x既是第一个不等式的解集,同时又是第二个不等式的解集,所以x只能是两个不等式解集的公共部分.两个不等式的解集在数轴上的表示如图2所示.

这两个不等式解集的公共部分是80

提醒:一般地,每一个一元一次不等式的解集有两种可能,以含有两个一元一次不等式的不等式组为例,第一个不等式的解集可能是x>a或者xc或者x

可以看出,当不等式组的解集为x>a的公共部分时,x>c其解集为较大者.可简记为:同大取大.

对于(2)x

xd,b=d,b

通过上述的探究,我们得到的体会是:在解不等式组时,先分别求出其中各个不等式的解集,再在数轴上分别表示各个不等式的解集,利用数轴可以很直观地看出这些不等式解集的公共部分,进而得到不等式组的解集.

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