基于数学表征的小学数学错题类型及对策研究

[摘 要] 低年级学生数学表征能力低，面对数学问题易产生解题困惑。针对低年级学生数学解题能力薄弱的现状，对数学错误开展研究。在调查分析学生目前数学错题类型的基础上，以数学表征理论为基础，分析各领域错题的成因，提出了提升数学表征水平的教学建议。

[关键词] 数学表征;小学数学;数学错题

[作者简介] 张梦茜（1995—），女，江苏苏州人，硕士学历，上海市华江小学初级教师，研究方向：小学数学。

[中图分类号] G622    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）31-0001-03    [收稿日期] 2020-02-11

小学低年级在整个义务教育阶段处于根基，学生开始学习日常生活中需要的数学，也就是计数、度量并解决简单的实际问题[1]。低年级学生数学表征水平不高，数学知识被学生内化后在头脑中的表征往往不像教材上的知识那样脉络分明，难以摆脱以表现为凭借的具体形象表征[2]。目前基于表征水平视角下有关小学生错题的分析还不多，本文就数学学习起步阶段的错题类型及成因进行分析，探究小学低年级学生表征水平现状。

一、小学低年级数学错题类型

研究主要采用调查研究的方法。根据上海市小学生学习数学知识的板块，将此次调查分为三个领域，分别是计算、概念、问题解决。被试学校为上海市一所公办小学，教学成绩在该区公办小学中处于中上等水平，被试家庭的社会经济状况处于该区中等水平。研究者依据一年级小学生的数学学习水平对其进行测试，有效统计被试人数为277人。

（一）计算领域

此次测试计算领域涉及20以内不进位加法和不退位减法、20以内进位加法和退位减法以及20以内数和算式大小的比较等内容。根据各领域的测试内容，统计该部分测试内容的主要错误类型、各错误类型占此类型题目错误总数的百分比，其中有部分学生会在同类型测试内容中出现两种或两种以上的错误类型。

从表1可以看出，在20以内加减法中，占比最多的是变式计算中运算顺序错。变式口算贯穿整个小学阶段，平时练习中口算的运算顺序掌握后，一旦出现变式口算练习，学生会出现从右往左计算的错误。符号识别错误在加减法计算中占比达23.07%。数和算式大小的比较中，错误类型最多的是计算错误，加减法中变式计算产生困难的学生在此通常也會产生错误。

（二）概念运用

概念运用部分涉及加倍与一半、找规律、加法概念运用等题目，为了区分学生的表征水平设计的题目均有一定难度。试题能反映学生的多种表征方式及思维的多角度性，例如：一根绳子对折后长10米，这根绳子原来长（  ）米;（  ）的加倍再加倍是20等。

在加倍与一半内容中，同时产生两种类型错误的人数最多，其中大部分学生是由于题意理解困难而产生错误，另有43.48%的学生是由于审题不清做错的。在找规律内容不少学生对于不那么明显的规律显然是有些束手无策。加法概念并不是直接给出算式口算，而是根据加法各部分名称及含义进行解答，学生因题意理解错误的出错率较高。

（三）问题解决

沪教版的教材所选材料贴近学生的生活现实，在教材和平时课堂中注重从生活中发现和提出简单的数学问题[3]。此次测试安排的内容有合并问题、求部分问题、加减混合问题等。由于问题解决部分所涉及的错误类型是有共通性的，所以仅进行问题解决部分的错误分类，不再细化。

此次测试的问题情境都贴近学生的生活，是学生在日常生活中所接触过的。问题呈现的情境与学生的知识经验较为接近，可以让学生在其中寻找解决问题的线索[4]。小学低年级所涉及的问题解决类型虽是有限的，但从中能看出不少问题。由于学生情境表征、图式表征等发展不足，问题解决领域出现的错误较多。

二、基于数学表征错题成因分析

（一）计算领域错题成因分析

1.具体形象思维较重，符号表征局限于浅层。低年级学生才开始接触数学符号，对“+”、“-”符号的含义还没有形成固定的模式。在变式口算中，低年级学生较易产生错误，除了对运算顺序掌握的熟练程度外，另一个重要原因是变式口算中存在大量用符号表示数的情况，如：（  ）+5=9。在此题中，（  ）表示其中一个未知的加数。

2.不能正确把握数学知识的因果关系，关系表征处于较低水平。数学是一门研究“关系”的学问，整数加减法的学习还与学生的归纳、概括、推理能力的发展相关，这涉及学生关系表征的发展水平。数学运算的产生源于事物数量间关系的分析处理，例如，减数小于或等于被减数，其含义是集合A对它的子集B作差集时所得出的基数。关系表征发展水平低的学生无法正确解题。

3.思维变通性缺陷，语词表征发展不成熟。低年级学生词汇量较少，虽然此次测试由测试者依次读题，但对题目表达的具体含义理解是有困难的。如在比大小中让学生在（  ）中填上最大的数时，有不少学生仅填上了合适的数。

（二）概念运用错题成因分析

1.数学知识间的练习呈间断状态，关系表征的发展尚未成熟。与计算领域一样，概念运用具有较高的逻辑性。如“一根绳子对折后长10米，原来长多少米”，这类问题体现了数学的推理和结论的严密性。关系表征要求学生把握事物的抽象关系，对事物种属关系及经验的因果关系进行分析和理解。

2.由于年龄特征和知识水平，方法表征具有局限性。数学学科具有高度的系统性，知识衔接紧密，其完整、严密的特点需要学生具有良好的方法表征水平。对于运算要求有一定的合理性，对于知识的宏观层面，需要学生使用方法表征进行内部再现。

3.高级表征方式的缺乏。概念运用产生错误的学生，数学表征处于较低水平。数学的一个突出特点是高度概括和抽象数量关系及空间形式[5]，这种抽象的特点要求学生具有图式表征、符号表征等高级表征方式。低级表征方式不进一步发展，会产生解题障碍。

（三）问题解决错题成因分析

1.不能结合数学知识与生活经验，解题时缺乏情境表征。良好的情景表征能够帮助学生将题目中的信息抽象成具体的情境。解题成功的学生头脑中的情景较为丰富，且有一定结构化、层次化，便于提取和運用，在此基础上进行分析更易获得解题成功。解题错误者对于情境的描述是错误的。

2.不能选择合理的方法解题，图式表征发展缓慢。图式表征以画简图的方式建立问题的视-空模型和其中的数量关系图式，采用这种表征能够直接跳过中间的情境表征环节，直接进入问题解决过程。学生可以在空白处用画简图的方式达到对题意的理解。图式表征水平较低的学生不能准确根据题意画图，甚至由于缺乏应变能力不能选择此类表征方式。

3.脱离具体实物的符号表征水平较低。在图式表征的基础上，抽象表征方式发展较好的学生会抽象出数学对象的本质，在解题中用数学符号表示数学对象。此次测验的问题解决并不都是平时学生接触的类型，学生在面对复杂异于所熟知的数学问题时会感到挣扎，因为在学校教授的策略仅需要找到并应用正确的公式或策略来回答结构良好的算法问题[6]，而符号表征能够帮助学生发展解决结构异常的问题的能力。

通过对数学学习优秀学生和困难学生的比较研究还发现：数学学习困难者表征方式较为单一，与优秀学生有一定差距。良好的数学表征方式能够将问题解决最重要的部分及数量关系放在突出位置。比较而言，学习优秀者偏向于选择图式表征、关系表征、符号表征，对于数学问题中信息的表征较为全面和准确;数学学习困难学生偏向于使用语词表征、关系表征，较为关注数学问题中局部的细节，缺乏问题整体性的把握。高级表征方式能够帮助学生在思维过程中以判断、推理的形式，反映数学问题的本质属性和内在的规律。

三、思考与建议

数学表征是整理数学信息、形成结构思想的重要手段。提升数学表征水平，促进学生数学表征多样化，是义务教育阶段教师需要重视的。在教学中，要有目的、有计划地对学生的数学表征进行训练，踏踏实实把提升表征水平的工作贯穿到数学学习的全过程中。

（一）在数学基本活动中促进数学表征抽象发展

数学基本活动经验源于日常生活经验，并在此基础上升华。活动中，首先，需要有明确的数学目标，指导学生对具体实物操作、观察与思考，借助直观模型分析数量间的关系是感知认识的基础[7]。其次，数学现实是表层的经验活动，从与生活直接相关的现实出发，逐步引导学生抽象表征，脱离生活原型到达上层的数学现实。有了对数学现实的完整认识过程，鼓励学生使用其他表征方式阐述对数学现实的认识，促进数学表征多元化。

（二）在数学问题解决中锻炼学生高级表征能力

文字表达的数学问题涉及生活相关的数学情境或模拟情景，且融合于各个领域之中。这些关于数的扩展的问题应用于现实，与之相关的是关系表征、符号表征等高级表征的能力。数学课堂中要注重数学情境的多元化，以数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，以关系表征和符号表征的方式表达出数学结构[8]。低年级学生使用最多的是关系表征，关系表征是用科学的抽象概念揭示事物的本质表达，认识数学问题的结果。解题时关系表征往往不会单独出现，与之相伴的是符号表征。从解决问题方法多样性的角度出发，画实物图、列表的方法都可以成功解题;从数学表征水平出发，使用抽象的符号表征解决问题更具有一般性，是较高层次的思维发展。小学低年级已经大量出现符号表征，如数的运算、大于等于小于、用Ο￡表示数或公式等。培养学生习惯、喜欢和善于运用符号表征，是提升学生高级表征能力的重要方面。

（三）从多角度、多方面、多维度进行多元表征

小学低年级学生对于数学内容的理解呈孤僻、间断状态。对于数学知识的理解，如概念、公式、符号停留在表象的理解，知识间的串联是忽视的，重内涵而轻外延，因此多元表征也是反映学生思维品质的重要方面。教师要帮助学生逐步建立和完善思维的整理结构、知识的整体架构，准确把握数学知识之间的因果关系。多元表征会帮助学生进行综合推理。教师在教学时可以引导学生使用关系表征理清逻辑线索，将问题的条件和中间环节紧密串联，再使用符号表征恰当选择数学符号。借助符号可以将逻辑关系表现得简单明了，保证推理运算的有效进行[9]。

参考文献

[1][7]张奠宙.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]张梦茜.小学数学“解决问题的策略”表征水平的研究[D].扬州：扬州大学，2019.

[3]中华人民共和国教育部.数学课程标准（2011年版）[M].北京：人民教育出版社，2011：11.

[4]张梦茜.小学数学高年级“图形与几何”错题类型分析及对策研究[J].数学学习与研究，2018（24）：125.

[5]刘翔平.学习障碍儿童的心理与教育[M].北京：中国轻工业出版社，2019：125.

[6]C.A.Ogilvie.Changes in students' problem-solving strategies in a course that includes context-rich，multifaceted problems[J].Physics education research，2009（5）：2.

[8][9]孔凡哲，曾峥.数学学习心理学[M].北京：北京大学出版社，2012.