夯实基础 提升能力

方鑫

“相交线与平行线”是平面几何的重要内容.这一章里的邻补角、对顶角、垂直、平行线的性质与判定、命题的真假以及平移不仅是后续深入学习三角形、四边形等几何知识的基础，同时也为同学们积累空间与图形的活动经验，提高推理能力提供保障.

一辨析易混概念，抓住本质特征

例1 下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）.

解析：两直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角为对顶角，故选B.

点评：本题考查了对顶角的定义，熟记概念并准确识图是关键.对于对顶角，它们的顶点是公共的，角的两边互为反向延长线.

例2 （2019年衢州）如图1，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）.

A.∠2

B.∠3

C.∠4

D.∠5

解析：两条直线a，b被第三条直线c所截，形成了“三线八角”，在两条被截线a，b同旁，在截线c同侧的两个角是同位角.故选C.

点评：在两条被截直线a，b之间，在截线c两侧的一对角称为内错角;在两条被截直线a.b之间，在截线c同侧的两个角称为同旁内角，

二、掌握几何说理，发展推理能力

例3 （2019年重庆）如图2，直线AB∥CD.BC平分∠ABD，∠1：54°.求∠2的度数.

解析：∵AB//CD，

∴ ∠ABC=∠1=54°.

∴ BC平分∠ABD，

∴ ∠ABD=2 ∠ABC=2x54°=108°.

∵ AB//CD，

∴ ∠ CDB+ ∠ABD=180°.

∴ ∠CDB=180°-∠A BD=180°-108°=72°.

∴ ∠2与∠CDB是对顶角，

∴ ∠2=∠ CDB=72°.

点评：平行线的性质很好地把线与线的位置关系和角与角的数量关系联系了起来.已知两直线平行时，要利用平行线的性质找角之间的关系，

例4 如图3，∠1=∠ACB，∠2= ∠3，FH ⊥AB于点H，问：CD与AB有什么位置关系？并说明理由，

解析：CD ⊥AB，

理由：∵ ∠1=∠ACB，

∴DE∥BC.

∴∠2=∠BCD.

∵∠2=∠3，

∴ ∠BCD=∠3.

∴HF//CD.

∴ ∠BHF=∠BDC.

∵ FH⊥AB，

∴ ∠BHF=90°.

∴ ∠ BDC=∠ BHF=90°.

∴ CD⊥AB.

点评：判定两条直线平行有以下方法：①平行线的定义;②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行：③同位角相等，两直线平行;④内错角相等，两直线平行;⑤同旁内角互补，两直线平行.本题综合考查了平行线的性质与判定，熟记平行线的性质与判定并准确识图，弄清图中各角度之間的关系是解题的关键，

三、巧添辅助线，平行一线牵

例5 （1）如图4，若AB//CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？

（2）若将点E移至图5的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么数量关系？

（3）若将点E移至图6的位置，此时∠B，∠D，∠E之间的数量关系又如何？

（4）在图7中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+ ∠F+ ∠D之间有何关系？

解析：（1）过点E作EF//AB，如图8.

∵ EF//AB，

∴ ∠ B= ∠BEF.

∵ EF//AB，AB//CD，

∴ EF//CD.

∴

∠D= ∠DEF.

∵ ∠BED=∠BEF+∠DEF，

∴ ∠BED=∠B+ ∠D.

（2）∠B+∠D+∠BED=360°.如图9，过点E作EF//AB.运用“两直线平行，同旁内角互补”，可得结论.

（3） ∠B= ∠D+ ∠E.如图10，过点E作EF//AB.运用“两直线平行，内错角相等”，可得结论.

（4）∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.如图11，过点E，F，G分别作AB的平行线EM，FN，GH.运用“两直线平行，内错角相等”，可得结论.

点评：在求角度或证明角与角的数量关系时，平行线往往能够起到关键性的作用，而作平行线也是一种常见添加几何辅助线的方法.作平行线常见的方法是过拐点作已知直线的平行线.一般而言，有几个拐点，就需要作几条平行线.

例6 如图12.两只蚂蚁以相同的速度沿甲、乙两条不同的路线，同时从点A出发爬向终点B，则（）.

A.按甲路线爬的蚂蚁先到达终点

B.按乙路线爬的蚂蚁先到达终点

C.两只蚂蚁同时到达终点

D.无法确定谁先到达终点

解析：两只蚂蚁的速度相同，要比较时间，可以转化成比较它们爬的路程，把甲路线的水平线段都向下平移，可以发现刚好和乙路线的水平线段等长.同样，把甲路线的竖直线段都向左平移，可以发现恰好和乙路线的竖直线段等长.这就说明两只蚂蚁爬的总路程是一样的，又因为速度相等，所以同时到达终点.故选C.

点评：本题考查了生活中的平移现象.结合图形，利用平移找出两只蚂蚁所爬路程之间的关系是解本题的关键.

例 7如图13，△DEF是由Rt△ABC沿着直线BC向右平移得到的，如果AB=8 cm.BE=4 cm，DH=3 cm，那么图中阴影部分的面积为

.

解析：由平移的性质可得DE=A B=8 cm，而DH=3 cm，所以HE=5 cm.因为平移不改变图形的大小和形状，所以S△DEf=S△ABC，等号两边同时减去重叠部分△HEC的面积，即：

S阴影部分=S梯形ABFH=1/2（HE+AB）·BE=1/2×（5+8）×4=26（cm2）.

点评：本题考查了平移的性质：①平移不改变圖形的形状和大小，只改变图形的位置;②平移前后，对应角相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，连接对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等.此外，当阴影部分面积不方便直接求时，应想办法进行转化，转化时要注意结合平移的性质.

练一练

1.如图14所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF=（）.

A.150°

B.180°

C.210°

D.120°

2.如图15.如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的大小为（）.

A.60°

B.100°

C.120°

D.130°

3.如图16，直线l1∥l2，若∠1=30°，则

A.150°

B.180°

C.210°

D.240°

4.如图17，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD，CE.若△ACD的面积为10，则△BCE的面积为（）.

A.5

B.6

C.10

D.4

5.如图18，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，你能判断∠C与∠AED的大小关系吗？并说明理由.

参考答案：

1.B

2.C

3.C

4.A

5. ∠ C= ∠AED.理由 ：

∵ ∠1+∠2=180°， ∠1+∠EFD=180°，

∴ ∠2= ∠EFD.

∴ BD//FE.

∴ ∠3= ∠ADE.

∴ ∠B=∠ADE.

∴ DE//BC.

∴

∠AED= ∠C.