高中生圆锥曲线的CPFS结构与数学解题能力相关性的研究

张玉娟，逄海姣，康宝林

(鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

学生的认知结构直接影响着学生的学习效果，是学生学习的必要条件[1].奥苏贝尔曾说过：“影响学习的独一无二的要素就是个体早前学会的知识，教育者应该掌握这一点，并在此基础上进行教学[2].” 因此，教师进行有效教学的重要依据是学生已有的认知结构，它是学生学习新知识、建构更加完善的知识体系的基础.喻平教授2003年提出了CPFS结构，该结构是由概念域(Concept Field)，概念系(Concept System)，命题域(Proposition Field)，命题系(Proposition System)所构成的数学认知结构，是数学概念、命题以及各概念命题之间的抽象关系所蕴含的数学思维方法构成的整体，CPFS是英文单词Concept，Proposition、Field、System的首字母缩写[3-7]，它对于培养学生逻辑思维、构建终身学习的能力具有重要意义.

圆锥曲线是高中数学课程的重要内容，也是高考的重点考察内容之一，它涉及的概念、性质和公式比较多，且这部分知识与函数，方程、不等式等知识有机地结合在一起，综合性较强，学生要想学好圆锥曲线必须建构完善的认知结构.本文基于CPFS结构理论对高中生圆锥曲线认知结构水平，及其与解题能力的相关性进行了测查和分析.

1 研究设计

1.1 研究对象

鞍山市某高级中学高二年级一班、八班以及十班，这3个班级的总学时数、课程安排、教学方式、教学内容和课后作业等保持一致.本研究将其定为研究对象.

1.2 研究方法

1.2.1 文献研究法 通过多种渠道查阅大量的有关CPFS结构、圆锥曲线的文献，并对所收集到的文献进行细致的研读，从而了解国内外关于CPFS结构、圆锥曲线的研究现状，为本研究提供切实可靠的理论支撑.

1.2.2 测试法 应用喻平教授提出的测试CPFS结构的5个维度：目标回忆、辨认推理、结点连线、等价推理、命题应用，编制圆锥曲线CPFS结构测试卷.

由于高二年级下学期期中考试圆锥曲线部分的内容考得比较多，因此本研究依据此次考试成绩和具体答题情况来分析研究对象的圆锥曲线解题能力.

对高二年级期中测试卷和圆锥曲线CPFS结构测试卷的数据进行收集和整理，分析高中生圆锥曲线CPFS结构水平与数学解题能力的整体情况，以及高中生圆锥曲线CPFS结构的优良性与数学解题能力的相关性.

1.3 研究工具

1.3.1 测试卷的编制 应用喻平教授提出的CPFS结构的5个维度来编制高中生圆锥曲线的测试卷，对学生圆锥曲线CPFS结构进行测试.该测试卷共有5个题目，测试内容为“选修2-1第二章圆锥曲线”，以下是测试卷的具体题目以及分值设置：

由于本问题的解构建图基于成本矩阵构建，每个元素均为一个节点，故将信息素τij置于每个节点上，代表第i个车组担任第j个车次的期望程度。在初始时刻设 τij(0)=K(K为常数)。

题目1：圆锥曲线是什么？(可以从形成、定义、标准方程等方面进行回答，答案可以不限于以上几方面，但要力求将你对圆锥曲线的认识全面地表达出来.)学生给出的答案完全正确记15分，意义相同的答案不重复计分.

题目3：你认为圆锥曲线部分包括哪些内容？请你用思维导图表示这些内容(知识).本题总计得分24分，根据被测试者的答题情况酌情给分.

题目4：直线与椭圆的位置关系，如何判定？计分方法：给出直线与椭圆的三种位置关系——相交、相切、相离，每给出一种情况得2分；给出判定方法即用△进行判断，每写出一种情况得3分；联立消参完成具体运算求出△的具体表达式得5分，总计得分20分.

题目5：请编制一道圆锥曲线的题目，并写出答题思路，不用详细计算.计分方法：给出所编制的题目得10分；给出解题思路得15分，总计得分25分，根据被测试者所写内容酌情给分.

1.3.2 测试卷的信效度 本研究在测试卷形成以后，对鞍山市某高级中学高二年级七班的 40 位同学进行测试.用SPSS软件对圆锥曲线CPFS 结构水平测试卷进行信度分析，得出该测试卷的信度为 0.812，处于0.75～0.9之间，说明测试卷具有良好的信度，反映了高中生圆锥曲线的CPFS 结构是优良的.

应用KMO和Bartlett检测对测试卷的结构效度进行检测，检测结构的具体情况如表1所示.

表1 KMO与Bartlett 检验

由表1可知,KMO的值为0.835，则大于0.7，且Bartlett球形检验的显著性接近于0，则小于0.01，表明该数据作探索性因素分析具有统计学意义.说明本测试卷能较好地反应高中生圆锥曲线的CPFS 结构的优良性情况.

2 调查结果与分析

2.1 高中生圆锥曲线CPFS结构的调查分析

表2 高中生圆锥曲线CPFS结构水平测试平均分统计表

通过对上述数据分析，可以看出高中生圆锥曲线总体水平中等.绝大多数学生圆锥曲线CPFS结构合格，少数学生CPFS结构不合格，极少数学生CPFS结构优秀.此外，学生之间的CPFS结构差异较大：有的学生无法准确理解圆锥曲线的概念，对概念的形成以及圆锥曲线标准方程的推导过程一无所知；有的同学对圆锥曲线的标准方程和性质了解不全面.表3对高中生圆锥曲线CPFS结构水平测试题目的平均分和总分进行了分析.

表3 高中生圆锥曲线CPFS结构水平测试题目分析

由表3可以看出，高中生目标回忆型题目掌握较好，大多数学生能够准确答出圆锥曲线的概念；结合试卷的具体答题情况及表3可以发现，学生的辨认推理能力相对较好，但还存在不能完整叙述圆锥曲线的性质，极容易忽略圆锥曲线的对称性、取值范围和离心率等性质；不能从本质上理解圆锥曲线的几何性质，有的学生对于命题的等价推导没有思路等现象，这些都是相关知识点的结点连线问题.学生做综合题时，不能选择正确知识去解题；多数同学对等价推理和命题应用掌握得不好，测试题5的答题情况说明了这点：题目要求学生编制一道圆锥曲线习题并写出答题思路，绝大多数同学只能利用最简单的圆锥曲线概念编制，这说明学生圆锥曲线的命题域不够完善.

2.1.2 高中生圆锥曲线CPFS结构优良性的评析 通过对圆锥曲线CPFS结构水平测试卷成绩的分析可知，高中生关于圆锥曲线所建立的CPFS结构整体情况处于中等水平.研究对象基本上都能够理解圆锥曲线概念，并且对概念中的相关定义掌握得比较好，但对定义深层次的理解方面，很多同学产生了命题模糊、混淆的现象.这是因为这部分同学并没有将所学的圆锥曲线知识内化到自己的认知结构中，不能很好地以圆锥曲线概念为核心进行知识网络的构建，学生的知识比较零散无法形成框架，从而无法构成完善的概念域与命题域，因此在出现相关概念辨析的时候无法从庞大而又零碎的知识体系中寻找解题要素.

2.2 高中生圆锥曲线解题能力的调查分析

2.2.1 高中生圆锥曲线解题能力的整体情况 利用Excel和SPSS软件对回收的120份有效高二下学期期中测试卷数据进行整理与分析.对120名学生的期中测试卷进行统计，满分120分的测试卷中，被测试者最高成绩为106分，最低成绩38分，平均值M=79.395,标准差δ=17.069,说明被测试者的平均成绩为79.395分，且成绩波动较大，如表4所示.以平均值M和标准差δ为参照，将被测试学生的解题能力分为3个等级,其中,测试成绩≥M+δ的学生解题能力优秀,共16人，占总体人数的13.33%，M-δ≤测试成绩

通过对上述数据分析，可以看出高中生圆锥曲线解题能力总体处在合格水平.通过调查数据以及具体的答题情况可以看出，高中生圆锥曲线解题能力一般，多数学生对于圆锥曲线概念的理解只停留在表层，没有深挖函数概念的内涵以及函数概念之间的联系，尤其是考查圆锥曲线解题能力中的阅读理解能力时，很多学生反应看不懂题目，不知道要用圆锥曲线的哪一点知识来做这道题.对于一些概念的辨析问题解答情况也不是很理想，多数同学没意识到圆锥曲线的标准方程以及图像位置会随着焦点位置的不同而有所不同，导致了丢解；还有部分学生忽略标准方程以及离心率的限定条件，导致题目解错.

2.2.2 高中生圆锥曲线解题能力的评析 通过对高中生圆锥曲线解题能力的分析，发现大部分学生仍然只能对书本上的概念进行机械的记忆与简单的应用，对于考查圆锥曲线概念深层次理解的综合题目的解题能力非常差.究其原因是学生没有能力对圆锥曲线的相关命题进行内化并形成系统的认知结构.学生对于圆锥曲线知识的应用能力较差，不能发散思维，从而难以高效地提取相应的知识来解决问题.总的来说是学生没有形成相对完善的概念域与概念系以及命题域与命题系.

2.3 高中生圆锥曲线CPFS结构与数学解题能力的相关性分析

本研究运用SPSS软件，对120名研究对象的两张测试卷进行数据处理分析，得到相关系数如表5所示.从相关性分析的结果可以看到，圆锥曲线CPFS结构水平与解题能力的皮尔逊相关系数为0.822，对应的显著性检验值为0.009，小于0.01,说明在0.01的显著水平上，二者呈显著性正相关，个体圆锥曲线CPFS结构水平与解题能力密切相关.

表5 高中生圆锥曲线CPFS结构与解题能力的相关性分析

通过以上分析以及学生具体的答题情况可以看出，拥有完善的圆锥曲线CPFS结构的学生，其解题能力较强，遇到问题时能够快速正确地从自身认知结构中寻求相关的知识解决问题.而圆锥曲线CPFS结构不完善的同学，其解题能力相对比较薄弱.同时解题能力较高的学生，其CPFS结构较为完善；而解题能力相对比较薄弱的同学，其CPFS结构也不完善.

3 结论与建议

3.1 结论

(1)高中生圆锥曲线CPFS结构水平总体处于中等，达到优秀水平的学生较少.

(2)高中生数学解题能力总体水平合格，达到优秀水平的同学较少，且测试成绩的波动性较大.

(3)高中生圆锥曲线CPFS结构与数学解题能力呈明显的正相关.圆锥曲线CPFS结构水平越高，数学解题能力越强.

3.2 建议

3.2.1 关于完善高中生圆锥曲线CPFS结构的建议

(1)在圆锥曲线相关概念的教学中，首先，让学生经历圆锥曲线的形成以及圆锥曲线概念的形成过程.鼓励学生动手演示，进行概念的总结与提炼；其次，适当安排正反例子，加深学生对概念本质的理解，从不同方面揭示概念的内涵，同时要给学生进行科学且及时的总结.最后，通过定义的推导，让学生理解标准方程的实质以及其中所蕴含的数学思想方法，进而让学生通过对标准方程的认识去学习圆锥曲线的相关性质.

(2)在圆锥曲线相关命题的教学中，首先，在命题的获得阶段，教师要了解学生相关知识的命题系、命题域，然后根据学生的CPFS结构情况，采用不同的命题导入方式，进而启发学生，引导学生主动辨认出新旧知识的关系，对新旧知识进行重组，形成更加完整的知识网络；其次，在命题的证明阶段，教师要注意引导学生，主动理解和掌握命题证明的过程；最后，在命题的应用阶段，要培养学生模式识别、策略选择、激活扩散等一系列的信息加工的能力.教师要根据学生的CPFS结构让学生进行适当的练习，只有这样，学生才能不断地对命题进行提取和重构，建立起命题域、命题系，从而形成完善的CPFS结构.

3.2.2 关于提高高中生数学解题能力的建议 研究结果显示，高中生圆锥曲线CPFS结构水平与数学解题能力呈明显的正相关关系.圆锥曲线CPFS结构水平越高，数学解题能力越强.为此，要想提高学生的解题能力一定要注重完善学生的CPFS结构.教师要注重强化学生的基础知识和基本技能，在此基础上引导学生进行适当的习题训练.同时，教师应加强对数学思想方法的渗透与讲解，帮助学生熟练运用所学的数学思想方法，引导学生做一些较难习题的练习.在整个过程中教师需要对数学习题作出精心的选择与设计，并注意学生间的差异性，进行因材施教.