按“图”索骥 解决数学问题

林香华

摘 要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”小学生的年龄特点决定了对形象直观的学科感兴趣，而对源于生活中的抽象数学问题倍感乏味，不知该如何解决。从运用图形，描述数学问题;善用图形，解决数学问题;巧用图形，创新数学问题这三个方面，浅谈几何直观让复杂的数学问题变得简明、形象的一些思考，从而拓展学生的数学思维。

关键词：几何直观;解决数学问题;图形

小学生的年龄特点决定了对形象直观的学科感兴趣，而对源于生活中的抽象数学问题倍感乏味，不知该如何解决。这种困境如长期未得到妥善解决，将不利于小学生对数学学科兴趣的培养，解决问题成为广大数学教师面临的紧迫任务之一。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”①可见将几何直观引入数学教学中，注重渗透几何直观和数形相结合，并将复杂的数学问题通过个性化语言简洁地描述出来，对培养学生几何直观意识、拓展学生的数学思维具有十分显著的作用。

一、运用图形，描述数学问题

我们知道，小学生的思维是以具体形象为主，多数学生无法清楚描述稍微复杂的问题，而图形具有形象直观的特点，教师在教学中巧妙地借助图形，帮助学生将数学问题准确地表述出来，构建清晰的思路，学生不仅乐于接受，而且为解决问题打下了良好的基础。

【案例】一对刚出生的兔子一个月后就能长成大兔子，再过一个月就能生下一对小兔子，并且此后每个月都会生一对小兔子，一年内没有死亡，那么，12个月后会有多少对兔子呢（假设每对兔子一雌一雄，而且不病不死）？学生对于这种题目很难理解，更无法去解决问题。在实际教学中，教师可以引导学生通过图形来理解题目的意思。如下：

师：从题目中，你读懂了什么？

生：小兔子长成大兔子，大兔子生小兔子，每个月都有兔子出生。

师：第一个月有几对兔子？

生：1对小兔子。

师：第二个月有几对兔子？

生：1对大兔子。

师：为什么都是1对兔子？

生：第一个月是一对小兔子，第二个月是这对小兔子长成了一对大兔子。

师：那第三个月呢？

生1：一对小兔子。

生2：两对兔子。

……

师：那到底有几对兔子呢，我们可以用图形来描述题目意思吗？（这个图形表示大兔子，这个图形表示小兔子。）

师：从图1-1中你看懂了什么？

生：第一个月一对小兔子，第二个月这对小兔子长成了一对大兔子，第三个月大兔子生出了一对小兔子，这个月就一共有2对兔子了。

师：那么第四个月、第五个月、第六个月有多少对兔子呢，你们愿意自己尝试着研究一下吗？

师：观察图1-2，我们知道第4个月起兔子数量变成了3对，以后每个月兔子的数量都是前两个月兔子数量之和。通过直观图形把复杂的数学语言描述出来，发现规律，然后运用规律、解决问题，学生不再感到不知所措，无从下手。

二、善用图形，解决数学问题

解题中，审题是关键。我们经常发现学生容易被表面现象所迷惑，尤其应对数学应用题，不能从长篇的文字表述中筛选有用的信息，苦苦思索，不得其解。我们尝试着让学生用图表形式简化题意，排除模糊选项，捕捉关键字眼、由繁入简，达到突破难点解决问题的目的，取得较为明显的效果。

【案例】小明、小东两人同时从距离100千米的两地出发相向而行。小明每小时行6千米，小冬每小时行4千米。小明带了一只狗，狗每小时跑10千米。狗与小明同时出发，碰到小东的时候立即掉转头往小明这边跑，到小明后，又掉转头往小东那边跑，这样往返跑，直到小明、小东两人相遇为止。问这只狗一共跑了多少千米的路？（图2-1）

这道题最让人迷惑不解的是那条狗。

如果我们计算第一次狗与小东相遇的时间，进一步算出此时狗跑了多远;接下来再计算狗与小明的距离，类似地再计算出狗第一次掉转头往小明这边跑与小明相遇的时间，进一步算出狗跑了多遠……这样算下去计算繁杂，越往后面算就越繁杂，而且感到“没有头”。

思路跟着狗跑，我们就上当啦！这里可以运用几何直观抓住题目中的关键信息。也就是当狗在做变向跑动的同时，小明、小东双方相向而行。已知小明、小东之间的距离是100千米，小明每小时走6千米，小东每小时走4千米，他们相遇的时间就是一个不变的量。从图中可以抓住这个不变量，去求狗跑的路程。

三、巧用图形，创新数学问题

学生在不断解决问题中，会累积一定的解题经验，形成相对固定的解题模式，如果仅凭借老经验、老套路去求解新的题目，缺乏全面性分析比较、尝试着探究新途径，并不利于知识点的巩固和提升。而善用几何直观，引导学生对已有的解决问题方法进行验证、反思，构建严谨的数学逻辑思维能力，将达到举一反三、触类旁通的效果。

在教学面积单位之间的进率时，有这么一道题：在一个长50厘米，宽10厘米的长方形布上，能剪一个两条直角边分别长10厘米、4厘米的直角三角巾，你能剪出多少个同样的三角巾。大多数学生能根据已有的经验，用长方形面积除以一个三角巾的面积，列式为10×50÷（10×4÷2）=25（个），那么能剪出25个三角巾吗？这个结果到底对不对呢？我们可以通过画图验证（图3-1）。

发现50÷4≈12（个）……2（厘米） 12×2=24个。如果仅仅依靠除法求解这道题，我们是无法得到正确结果的。只有通过画出直观的图形，才能在脑海中形成动态摆放的过程。

又如，在教学立体图形体积单位进率时，因多数学生已初步积累了直观图形解题的经验，不会再简单地用大面积除以小面积，也知道正常摆放利用剩余空间。我趁热打铁，问学生能否在正常摆放的情况下，充分利用剩余空间，尽可能多摆放。这里我把摆放的量提升到尽可能多的角度，就涉及如何合理使用空间的问题，学生的思维再次被撞击，怎么办？

看着学生茫然的样子，我进一步因势利导，举了个例子：妈妈做了外婆爱吃的花生酥，每块花生酥长5厘米，宽3厘米，高2厘米，准备装在一个长30厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体礼盒，最多能装多少块花生酥？学生受思维定式的影响，没想到改变花生酥的摆放方向，于是我趁势在电脑屏幕中展示各种动态摆放过程，学生们恍然大悟：“喔！还可以这样放”。学生的灵感被点燃，思路被拓展，自觉建立一一对应关系，花生酥的长对应着礼盒的长、高对应着宽、宽对应着高，再见缝插针、合理利用……

综上所述，几何直观图形为小学数学教学提供了行之有效的途径。教师在教学中尝试着通过运用、善用、巧用几何直观图形，帮助学生“读”懂题意、理清思路、突出重点，让复杂的数学问题变得简明、形象，不仅有助于提高教学效率，而且能激发学生的数学兴趣和培养创新意识，达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]史宁中.注重“过程”的教育：《义务教育数学课程标准》修订的若干思考[J].人民教育，2012（7）.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写.义务教育数学课程标准解读：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式：对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012.

[4]吉智深.借助几何直观学好数学[J].教学与管理，2013.

[5]林晓捷.在數学教学中运用几何直观[J].福建教育，2014.

[6]蒲大勇.例析初中数学“几何直观”教学的类型[J].中学数学，2014.

[7]罗琳.基于核心素养的“几何直观”的数学教学：一道线段最值问题的教学启示[J].数学教学研究，2017.

[8]周进荣，周玲华.着力发展学生几何直观想象素养的若干途径[J].中学数学（初中版）下半月，2018.

[9]张海生.解读好核心概念 落实好课标教学：例谈2011版课标中几何直观的理解[J].新课程研究（上旬刊），2013.

编辑 王亚青