巧用数学导数思想解决物理问题的思路分析

摘要：数学中的导数思想对解决物理概念的引入，分析物理量变化和求极值问题有很大的帮助，在高中物理教学中，我们可以巧用数学的导数思想解决一些复杂的物理问题。文章以高中物理鲁科版教材中的瞬时速度的引入、瞬时功率推导、速度的分解、简谐振动的速度、加速度、周期分析、交变电流中感应电动势的分析中存在不足进行反思和改进，总结数学导数思想在解决物理问题中的一些应用。

关键词：导数应用;物理定义;极值问题;斜率;交变电流

应用数学方法解决物理问题是物理教学的一项重要内容，也是高考能力考查的重要组成部分。新课程下的高中数学教材人教版的《选修2～2》新增了《导数及其应用》这一章节，使得导数在物理教学的应用成为现实，文章从导数的定义出发，针对教材中出现的一些不足和实际教学一些经验，探索总结利用导数思想解决物理问题的一些思路。

一、 导数的第一定义和极限思想

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。若ΔyΔx在Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，函数在点x0的导数记为f′（x0）。图象上即该点切线的正切值tanα，也叫该点的斜率（如图1）。

二、 利用导数定义导出新的物理量

（一）相关知识

瞬时速度v=dsdt、加速度a=dvdt、瞬时功率P=dWdt等。

（二）教材实例分析

【例1】必修一瞬时速度的引入是在介绍平均速度的基础上，通过极限逼近思想，引入瞬时速度。进而介绍光电门的原理。如果能结合导数导数的意义进行分析，学生更容易理解瞬时速度是描述某个时刻或位置的位移随时间变化快慢的物理意义。加速度的引入也是在匀变速的情况下引入，如果能再结合导数意义分析，更有利于学生理解加速度是描述速度变化快慢的物理意义。

【例2】必修二瞬时功率的引入是在介绍平均功率的基础上，以物体匀速为情景，推导出瞬时功率的公式。如果能利用导数分析，更有利于学生理解P=Fvcosα的普适性和功率表示做功快慢的物理意义。

推导过程：P=dWdt=d（FScosθ）dt=Fcosθdsdt=FVcosθ。

【例3】必修二运动的合成分解，涉及关联速度问题，学生总是出错，不知道对谁速度分解？沿哪个方向分解？怎么分解（如图2）？如果能利用导数思想，只要画出运动的位移关系就可以轻松导出速度关系（如图3）。

推导过程：位移关系S1=S2·cosθ，两边求导得V1=V2·cosθ，這样可以大大降低错误率。

【例4】选修3-4介绍简谐运动时，教材只是从振子的受力入手分析加速度，通过实验模拟简谐运动图象，最后用一句“实验和理论都表明，简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线”得出运动方程。在介绍单摆周期时，也是在实验定性分析单摆周期与摆长关系后，便以一句“进一步的研究表明，单摆的振动周期T与摆长L的平方根成正比，与重力加速度g的平方根成反比”直接给出周期公式。物理是建立在大量实验事实和严谨的数学推理之上的学科，如果能在实验的基础上，结合数学导数推导位移、速度、加速度、回复力的变化关系，进而求出简谐运动的周期，对于学生的科学思维和能力提升有很大的帮助。

推导过程：如下图4取质点在平衡位置向右开始计时。

位移方程：x=Asinωt

瞬时速度：v=dxdt=Aωcosωt（可得：vm=Aω）

加速度：a=dvdt=-Aω2sinωt=-ω2x结合a=-kxm

可得：ω=km，T=2πω=2πmk。同理可求出单摆周期T=2πLg

如果再结合函数图象，也很容易看出速度和加速度的大小变化和方向。

三、 利用导数求极值问题

（一）相关知识

若函数在某点导数为0，说明函数在该点的变化率为0，即函数在该点取极值。可能是最大值，也可能是最小值。

（二）教材实例分析

【例1】必修一分析做变速运动和图象问题，当速度v=0，位移s取最值。（追及：v相=0，相距s相取最值）。

【例2】必修二分析汽车启动问题，当加速度a=0，速度取最值。

【例3】选修3-4分析简谐运动平衡位置，加速度a=0，速度取最值。

在实际教学中，经常结合图像分析，或者特殊位置分析法分析最值问题。如果能结合数学导数思想，速度是位移的时间导数，当速度为0，位移取最值，加速度是速度的时间导数，当加速度为0，速度取最值。更能加深学生的理解。

四、 利用导数求物理量的变化情况（单调性）

（一）相关知识

函数在某点的导数大于零，表示函数值在增加;反之减小。

（二）教学实例分析

【例1】必修一运动图象分析，往往通过斜率正负来判断速度或加速度的变化。但是高一年学生没有斜率的相关知识准备，教学是以结论生搬硬套给学生，跳跃太大，过度不自然，不利于学生的理解。如果能先用一节课对导数定义和斜率意义进行讲解，更有助于学生理解。

【例2】选修3-1中，分析等量同种电荷的电场在中垂线上的变化（如图5），教学中经常用特殊位置分析法，即中点O为零，无穷远为零，P点不为零，得出电场沿中垂线向外先变大再变小。如果能用电场叠加结合数学求导思想，不仅能找出变化情况，还能求出A点的位置及最大值;不仅可以考察学生电场的叠加知识还能锻炼学生的数学分析能力。

推导过程：平行四边形求P点的合电场

E1=2kQl2sinacos2aa∈0，π2

E′1=2kQl2（cos3a-2sin2acosa）

开始α小，cos2a>2sin2a，E′1>0，场强增大

后来α大，cos2a<2sin2a，E′1<0，场强减小

当cos3a-2sin2acosa=0，即tanα=22电场取最大值为43kQ9L2

五、 利用导数意义分析物理图像

（一）相关知识

函数在某点的导数，其几何意义是曲线在该点处切线的斜率，结合导数的物理意义可以十分便捷地分析一系列物理问题。

（二）教学实例分析

【例1】必修一运动图象分析，位移-时间图象的斜率表示该点的瞬时速度，速度-时间图象的斜率表示该点的瞬时加速度。

【例2】选修3-1电势-位置图象的斜率表示该点的电场大小。

教学中发现，学生往往把斜率和比例混在一起，我们物理经常用比值定义法来定义一些新的物理量。如电阻定义R=UI，弹簧劲度系数定义k=Fx，电容的定义C=QU，电场强度定义E=Fq等，这些在图象分析时只能算比例。

六、 利用导数分析电磁感应

（一）相关知识

由法拉第电磁感应定律可知，电路中感应电动势的大小与穿过电路的磁通量变化率成正比，表达式ΔΦΔt=nΔΦΔt，利用导数，其中φ=BSsinθ。

（二）教材存在问题和教学遇到的困難

（1）选修3-1《交变电流是怎样产生的》这一节，教材先通过复习感应电流产生的条件：闭合线圈中的磁通量发生变化来介绍交流发电机的原理，而整节课却都利用切割法分析交变电流的产生。（2）求瞬时值利用切割法分析会造成诸如如何画截面图，如何对切速度进行分解计算等一些困难。（3）教材利用切割法求出的最大值2nBLV，可在实际考查应用时，很少出现切割速度这个物理量，都是要建立起转速，角速度，周期，线圈面积这些物理量的联系。而普通学生没有老师的进一步引导，很难得出这样的结论。（4）切割法存在适用范围，对于非矩形线圈，或者不是绕线圈的中心轴转动，切割法就不能适用。

（三）反思改进

分析交变电流的变化规律，可以从磁通量入手，结合法拉第电磁感应定律，利用数学求导直接得出感应电动势随时间变化规律，并结合图像分析，磁通量和电动势的变化关系（如图6）。

推导过程：如图6从中性面开始计，t秒后：θ=ωt

磁通量：Φ=BScosωt

感应电动势大小：E感=E=nΔφΔt=nΔB×sΔt=nB×ΔsΔt=nBSωsinωtEm=nBSω

感应电流大小：i=E总R总=εmR总，sinωt=imsinωt

总之，导数思想在物理研究中有着广泛的应用，新课改导数引入高中课堂，导数在物理教学中的应用将越来越受到老师的关注。

参考文献：

[1]廖伯琴.普通高中课程标准实验教科书《物理》[M].济南：山东科技出版社，2019.

[2]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2[M].北京：人民教育出版社，2019.

作者简介：

傅培旭，福建省泉州市，福建省泉州第十七中学。