改进WOA-指数幂乘积模型在基坑变形预测中的应用

周有荣, 王 凯

(1.临沧润汀水资源科技服务有限公司，云南 临沧 677000；2.云南省水文水资源局临沧分局，云南 临沧 677000)

1 研究背景

有效提高基坑变形预测精度对于判断基坑稳定性、预见周边建筑破坏程度和科学掌握基坑未来变形趋势具有重要意义[1]。目前应用于基坑变形预测的方法有灰色预测法[2]、支持向量机法[3-5]、极限学习机法[6-7]、人工神经网络法[8-11]、组合预测法[12-13]等，已在基坑变形预测应用中取得一定的预测效果，但各方法也存在不足：灰色预测法存在对原始数据依赖程度高、短期预测效果差等不足；支持向量机虽然能有效避免维数灾、过拟合等问题，但存在惩罚因子、核函数等参数选取的困难；极限学习机具有较好的预测精度，但其隐含层节点间连接权值和阈值的随机确定或人为给定制约了ELM的应用范畴和精度的进一步提高；BP、Elman等人工神经网络目前在各行业领域应用广泛，但存在权、阈值等关键参数选取和优化的困难；组合预测虽然能发挥各单一模型优点，具有较好的预测效果，但存在模型过于复杂、各模型权重确定困难等缺点。其他预测方法如突变理论法[14]、随机森林模型法[15]、改进MSD法[16]、卡尔曼滤波[17]等也在变形预测中得到应用。

为进一步提高基坑变形预测精度，拓展基坑变形预测模型及方法，本文基于基坑变形预报因子与影响因子之间存在的指数幂乘积(exponential power product，EPP)关系[18]，提出一种基于拉普拉斯交叉算子(Laplace crossover operator，LX)改进的鲸鱼优化算法(Laplacian whale optimization algorithm，LXWOA)优化的指数幂乘积(EPP)基坑变形预测模型，以参考文献[19]中的基坑变形预测为例进行实例研究。

本文内容按排如下：(1)选取4个标准测试函数在高维(30维)和低维(5维)条件下对LXWOA进行仿真验证，并与基本鲸鱼优化算法(WOA)、灰狼优化(GWO)算法、正弦余弦算法(SCA)、粒子群优化(PSO)算法的仿真结果进行比较。(2)分别利用自相关函数法、虚假最邻近法确定实例数据的延迟时间和嵌入维数，构建EPP模型的输入、输出向量。利用LXWOA对EPP模型指数参数进行优化，构建LXWOA-EPP基坑变形预测模型，并构建WOA-EPP、GWO-EPP、SCA-EPP、PSO-EPP模型与LXWOA-SVM、LXWOA-BP模型作对比，预测结果与文献IABC-LSSVR模型[3]、组合预测模型[13]的预测效果进行比较分析。

2 LXWOA-EPP预测模型

2.1 鲸鱼优化算法

鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm，WOA)是澳大利亚学者Mirjalili通过模拟鲸鱼捕食行为而提出的一种新型智能算法。WOA 算法的位置更新行为主要分为：游走觅食、包围收缩以及螺旋食这3种行为。参考文献[20-22]，将基本WOA算法3种捕食行为简述如下：

(1)游走觅食。WOA采用种群中的随机个体位置来导航寻找食物，鲸鱼空间位置更新公式：

X(j+1)=X*(j)-A·D

(1)

式中：X(j+1)为第(j+1)次迭代鲸鱼空间位置；X*(j)为当前最佳鲸群空间位置；D=|C·X*(j)-X(j)|为个体X在位置更新前距离种群随机个体X*的长度；A和C为系数变量，其中A=2a·r-a，C=2r，a=2-j/M，M最大迭代次数；r为[0,1]上的随机数。

(2)包围收缩。人工鲸鱼在寻找到食物后，利用公式(2)更新鲸鱼的空间位置：

X(j+1)=Xrand-A·|C·Xrand(j)-X|

(2)

式中：Xrand为当前种群中随机1个鲸鱼个体所在的空间位置。

(3)螺旋捕食。鲸鱼以螺旋式的移动方式向当前最优个体靠近，引入螺旋式数学模型，利用公式(3)更新鲸鱼空间位置：

(3)

式中:D′为第i头鲸当前位置与当前最优个体之间的距离；b为对数螺旋形状常数；l为[-1,1]之间的随机数；p为[0,1]之间的随机数。

2.2 改进鲸鱼优化算法

WOA 具有较好的寻优性能，但在解决复杂优化问题时存在易陷入局部极值和收敛速度慢等缺点。本文基于拉普拉斯交叉算子(LX)改进WOA，有效克服了基本WOA易陷入局部极值和局部搜索能力弱等不足，增强了算法的探索和开发之间的平衡能力。LX采用拉普拉斯分布的密度函数系数代替算术交叉算子系数，假设在第j代的2个鲸鱼个体X1和X2之间进行交叉，则交叉后所产j+1代的2个新鲸鱼个体表示为[23]：

(4)

拉普拉斯随机分布数 由以下规则创建：

(5)

式中：s、q为拉普拉斯分布参数，s∈R为定位参数，q>0为尺度参数；u为在[0,1]上均匀分布的随机数。

2.3 指数幂乘积模型

研究表明，基坑变形预测因子与其影响因子之间存在如公式(6)所示的指数幂乘积(EPP)关系：

(6)

2.4 仿真验证

为验证LXWOA在高维和低维条件下寻优能力，利用LXWOA对Sphere、Schwefel 2.22、Griewank、Rastrigin 4个典型测试函数进行仿真验证，并与WOA、GWO、SCA、PSO算法的仿真结果进行比较。上述4个函数变量取值分别为[-100,100]、[-10,10]、[-600,600]、[-5.12,5.12]，维度为30维和5维，理论最优解值均为0。其中，函数Sphere、Schwefel 2.22为单峰函数，主要用于测试算法的寻优精度；函数Griewank、Rastrigin为多峰函数，主要用于测试算法的全局搜索能力。

本文基于MATLAB 2018a M语言实现5种算法对4个典型测试函数的20次重复寻优，并从平均值、标准差2个方面进行评估[24]，结果见表1。

表1 4个典型测试函数优化对比结果

实验参数设置如下：LXWOA、WOA、GWO、SCA、PSO 5种算法最大迭代次数M=500，群体数目N=50。其中LXWOA拉普拉斯分布参数s=0、q=0.1，对数螺旋形状常数b=2；WOA对数螺旋形状常数b=2；SCA常数a=2，参数r2=2π rand()，r3=2 rand()；PSO算法惯性权重wmax、wmin分别取值0.9和0.6，自我学习因子、社会学习因子c1、c2均取值2.0。其他参数采用各算法默认值。

对表1进行对比分析可得出以下结论：

(1)对于单峰函数Sphere、Schwefel 2.22，LXWOA 在高维和低维情况下20次寻优精度略优于WOA、GWO算法，优于SCA、PSO算法，表现出较好的寻优精度和极值寻优能力。

(2)对于多峰多模态函数Griewank，在高维情况下，LXWOA、GWO算法20次寻优均获得了理论最优值0，寻优精度优于WOA，远优于SCA、PSO算法；但在低维情况下，虽然LXWOA 寻优精度仍然优于其他4种算法，但LXWOA、WOA、GWO算法寻优精度下降幅度明显，SCA、PSO算法寻优精度变化不明显。对于易陷入局部极值多峰函数Rastrigin，在高维情况下，LXWOA 20次寻优均获得了理论最优值0，寻优精度优于WOA，远优于GWO、SCA、PSO算法；在低维情况下，LXWOA、WOA、GWO算法20次寻优均获得了理论最优值0，寻优精度优于SCA，远优于PSO算法。

可见，基于LX算子改进的LXWOA能有效克服基本WOA易陷入局部极值和局部搜索能力弱等不足，增强了算法的探索和开发之间的平衡能力。对于上述4个函数，无论在高维还是低维情况下，LXWOA寻优能力均优于WOA、GWO、SCA和PSO算法，具有较好的寻优精度和全局搜索能力。

2.5 LXWOA-EPP模型预测实现步骤

LXWOA-EPP模型预测实现步骤归纳如下(WOA-EPP、GWO-EPP、SCA-EPP、PSO-EPP模型预测实现步骤可参考实现)：

Step 1分别利用自相关函数法、虚假最邻近法确定实例数据的延迟时间和嵌入维数，构建EPP模型的输入、输出向量，并合理划分训练样本和预测样本，利用公式(7)对实例数据序列进行归一化处理；设定EPP模型指数参数aj的搜寻范围。

x′=(x-0.8xmin)/(1.2xmax-0.8xmin)

(7)

式中：x′为经过归一化处理的数据；x为原始数据；xmax和xmin分别为序列中的最大值和最小值。

Step 2确定适应度函数。本文选用均方误差作为适应度函数，见公式(8)：

(8)

Step 3设置LXWOA最大迭代次数M、群体数目N、对数螺旋形状常数b(b=2)以及拉普拉斯分布参数s、q。令当前迭代次数t=1，初始化鲸鱼种群个体空间位置。

Step 4计算每个鲸群个体适应度值，计算种群的适应度，找到并记录种群中的最优个体位置X*。

Step 5 迭代阶段。若j≤M时，更新a、A、C、l和p；当p<0.5时，若|A|<1，利用公式(1)更新鲸群空间位置；若|A|≥1，则从当前群体中随机确定鲸群位置Xrand，利用公式(2)更新鲸群空间位置；若p≥0.5时，利用公式(3)更新当前鲸群个体的空间位置。

Step 6 交叉运算。利用公式(4)随机选择2个鲸鱼个体X1和X2进行交叉，产生新的鲸鱼个体。

Step 7 计算更新后的鲸群个体适应度值，若新鲸群个体适应度优于前代鲸群个体适应度，则以新鲸群个体位置替代原鲸群个体位置；否则保留原鲸群个体位置。

Step 8令t=t+1。判断算法是否达到终止条件，若达到终止条件，输出最优个体位置X*及其适应度值，算法结束；否则重复Step 5～8。

Step 9 输出LXWOA全局最优位置X*，X*即为EPP模型最佳参数aj。将参数aj代入EPP模型进行基坑变形预测。

3 实例应用

3.1 数据来源及分析

为便以比较，本文以文献[19]中广州某基坑项目21期监测沉降数据为例进行预测分析，基坑基本情况，观测点位置等参见文献[19]。首先利用自相关函数法确定沉降数据延迟时间，经分析，当延迟时间为1时自相关系数最大，为0.821，因此确定该沉降数据延迟时间为1。其次在延迟时间为1的条件下采用虚假最邻近法(FNN)确定该沉降数据嵌入维数，见图1。从图1可以看出，当嵌入维数为3时虚假最邻近的比例为0，小于1%，说明由嵌入维为3维所确定的重构吸引子不会再出现因投影到低维空间而发生重合现象，即当延迟时间为1、嵌入维数为3维时该沉降数据具有最佳预测效果。最后，在延迟时间为1、嵌入维数为3维条件下，利用前3期监测数据预测第4期数值，构建基坑变形预测因子与影响因子的输入、输出矩阵见表2。

图1 基坑监测数据虚假邻近点法结果 图2 5种模型训练样本参数寻优进化过程图

为便以与文献中IABC-LSSVR模型[3]、组合预测模型[13]的预测结果进行比较，本文选取表2中前15期实测数据作为训练样本，后3期年实测数据作为预测样本。

表2 某基坑变形预测数据输入输出矩阵 mm

3.2 参数设置

设置EPP模型参数a的搜索范围∈[-2,2]，维度为3维；SVM模型惩罚因子C∈[0.1,1000]、核函数参数g∈[0.1,1000]、不敏感系数ε∈[0.001,0.1]，交叉验证折数V=3；BP网络结构设置为4-5-1，隐含层传递函数采用logsig，输出层传递函数采用purelin，训练函数采用trainlm，设定期望误差为0.001, 最大训练轮回为100次，搜索空间∈[-1,1]。LXWOA、WOA、GWO、SCA、PSO 5种算法参数设置同前文仿真验证。

3.3 模型构建及预测

分别构建LXWOA-EPP、WOA-EPP、GWO-EPP、SCA-EPP、PSO-EPP和LXWOA-SVM、LXWOA-BP 7种基坑变形预测模型。选取平均相对误差绝对值MRE、平均绝对误差MAE、均方根误差RMSE为评价指标，利用上述7种模型对实例基坑变形进行预测，各基坑变形预测模型的预测结果及误差对比见表3，LXWOA-EPP等5种模型训练样本参数寻优进化过程图、7种模型拟合预测相对误差图、7种模型拟合预测绝对误差图分别见图2、3、4。

依据表3及图2～4可以得出以下结论：

(1)LXWOA-EPP模型对实例预测的MRE、MAE和RMSE分别为0.18%、0.008 mm、0.009 mm，预测精度和预测效果均优于WOA-EPP、GWO-EPP、SCA-EPP、PSO-EPP、LXWOA-SVM、LXWOA-BP模型和文献中IABC-LSSVR模型、组合预测模型，具有较好的预测精度和泛化能力，表明LXWOA能有效优化EPP模型的指数参数，LXWOA-EPP模型用于基坑变形预测是可行和有效的。

(2)基于LXWOA、WOA、GWO、SCA、PSO算法指数参数优化的EPP模型均具有较好的预测精度和泛化能力，其预测的MRE、MAE和RMSE分别在0.29%～0.18%、0.013～0.008 mm、0.014～0.009 mm之间，均优于文献中的IABC-LSSVR模型、组合预测模型，表明EPP模型用于基坑变形预测具有较好的应用前景。其中，LXWOA-EPP模型的预测精度较文献中IABC-LSSVR模型和组合预测模型提高了48.5%以上，具有更好的预测精度和预测效果。

(3)表3中LXWOA-SVM模型预测精度高于文献中的IABC-LSSVR模型，这主要得益于：①LXWOA具有较好的寻优能力，能有效地优化SVM模型参数；②基于自相关函数法和虚假最邻近法科学确定延迟时间和嵌入维数，构建合理的输入、输出向量。

表3 各基坑变形预测模型的预测结果及误差对比

(4)从图3、4来看，LXWOA-BP模型预测效果并不十分理想，原因在于训练样本过少和训练过程呈现“过拟合”特征，导致泛化能力差。

图3 7种模型拟合预测相对误差图 图4 7种模型拟合预测绝对误差图

(5)从实例及前文仿真验证来看，WOA在仿真验证中表现出较好的寻优能力，但在实例应用中不能很好优化EPP模型的指数参数；而在仿真验证中表现并不突出的PSO算法却在实例应用中表现不俗。总体来看，在仿真验证中表现出良好寻优能力的LXWOA、GWO、SCA算法，同样在该实例应用中具有较好的寻优精度和寻优效果。

4 结 论

(1)提出基于拉普拉斯交叉算子改进的鲸鱼优化算法(LXWOA)，选取4个典型测试函数在高维和低维情况下对LXWOA进行仿真验证，并与WOA、GWO、SCA、PSO算法的仿真结果进行比较。结果表明：无论在高维还是低维情况下，LXWOA寻优能力均优于WOA、GWO、SCA和PSO算法，具有较好的寻优精度和全局搜索能力。

(2)基于自相关函数法和虚假最邻近法确定沉降数据延迟时间和嵌入维数，构建基坑变形预测的输入、输出向量；利用LXWOA优化EPP模型的指数参数，提出LXWOA-EPP基坑变形预测模型，并构建WOA-EPP、GWO-EPP、SCA-EPP、PSO-EPP、LXWOA-SVM、LXWOA-BP模型作为比较模型，以文献基坑变形预测为例进行对比验证。结果表明：LXWOA-EPP模型预测精度和预测效果均优于WOA-EPP等6种模型和文献中的IABC-LSSVR模型、组合预测模型，具有较好的预测精度和泛化能力，表明LXWOA能有效优化EPP模型的指数参数，LXWOA-EPP模型用于基坑变形预测是可行和有效的。

(3)本文尝试利用LXWOA-EPP模型进行基坑变形预测，取得了较好的预测效果，模型及方法可为大坝变形等相关预测研究提供新的途径和方法。