幂函数变换的GM(1，1)模型在高铁沉降预报中的应用

2020-08-06范少杰

铁道勘察 2020年4期

范少杰

(中国铁路设计集团有限公司，天津 300251)

高速铁路施工过程中，沉降监测与预报是铁路建设、运营、维护的重要环节。高速铁路施工沉降变形一般随着时间推移呈规律性变化，利用高精度的预报模型可以为高铁施工提供可靠的依据。已有许多学者进行了相关研究：甄亚男针对不同区域采用不同模型进行了沉降预报[1]；刘生荣用多项式拟合和GM(1，1)模型进行高铁沉降预报[2]；周兴华等利用双曲线模型对高速铁路沉降进行预报，发现其结果与实测数据的变化趋势基本一致[3]；薛骐等针对沉降预报模型单一、预测结果不稳定等问题，提出采用小波神经网络进行高铁沉降预报[4-5]。之后，张松等利用时间序列对地铁进行短期沉降预报，证明时间序列可以用在短期沉降预报上[6]；陈晨等利用灰色模型和Kalman滤波对初始值进行去噪处理及沉降预报，进一步提高了预测的精度[7-13]。

根据高速铁路沉降变化的特点，传统GM(1，1)模型具有一定的局限性：当原始数据观测值波动较大、光滑度不足时，易出现预测结果误差浮动较大的问题。由此可见，传统GM(1，1)模型预测精度取决于初始数据的光滑度[14]。针对这个问题，宋建强在进行货运量预测时，提出通过幂函数变换提高原始观测数列的光滑度，以降低其预测误差[15-16]。

以下结合某高铁沉降监测数据，将其初始观测数列进行平滑处理，利用MATLAB编程，对高铁沉降进行预报，并与传统GM(1，1)模型预报结果进行对比，以验证改进模型在高铁沉降预测中的适用性。

1 灰色理论模型原理与方法

1.1 传统GM(1，1)模型

首先，给定某一预测对象的非负原始数据列

x(0)(t)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}

(1)

建立灰色预测模型，对x(0)(t)进行一次累加(1-AGO)，生成一次累加序列

x(1)(k)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}

(2)

建立一个灰色微分方程，即GM(1，1)模型，有

x(0)(k)+α·z(1)(k)=u

(3)

z(1)(k)=0.5·x(1)(k)+0.5·x(1)(k-1)

(4)

其中，k=2，3，…，n；z(1)(k)为紧邻均值生成序列。

(5)

(6)

yn=[x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n)]T

(7)

将求得的参数α、u值代入时间响应函数，有

(8)

之后，累减还原得到的预测模型为

(9)

上述即为传统GM(1，1)模型的基本推导过程，对应高铁沉降预报时，自变量k为沉降监测的期数，应变量x为对应于期数k的沉降量。式(9)为累减还原后的沉降预报结果。

1.2 基于幂函数变换的GM(1，1)模型

针对传统GM(1，1)模型的缺陷，利用幂函数变换法对模型进行改进，以提高原始数据数列的光滑度，进而降低预报结果的预测误差。

基于幂函数变换的GM(1，1)模型的建模过程如下。

首先，设原始数据列为

y(0)(t)={y(0)(1)，y(0)(2)，…，y(0)(n)}

(10)

对原始数据进行幂函数变换

x(0)(t)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}

(11)

其中，x(0)(t)=[y(0)(t)]-a，t=1，2，…，n，0

其次，对x(0)(t)进行一次累加(1-AGO)生成一次累加序列

x(1)(k)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}

(12)

(13)

(14)

(15)

将求得的参数α、u值代入时间响应函数，有

(16)

累减还原后得到的预测模型为

(17)

最后，将函数还原后即可得到预测数据

(18)

利用幂函数做变换，即可得到改进的GM(1，1)模型，y为高铁基本初始观测沉降序列，x为幂函数平滑处理后的沉降序列，k为沉降观测的期数，式(18)为幂函数还原出的预报沉降结果。

2 实验分析

某高铁施工过程中，通过对现场沉降控制点进行监测，得到了各沉降点的变形数据。为检验改进模型的准确性和适用性，选择两个监测地点的各一组1～15期的监测数据作为基础数据，分别以GM(1，1)模型和基于幂函数的GM(1，1)模型对16～30期的沉降量进行预报，并且将拟合结果和实际测量值进行对比分析和精度比较。

2.1 第一组数据

原始观测数据见表1。

表1 原始观测数据 mm

根据第一组原始观测数据，利用传统GM(1，1)模型和幂函数变换的GM(1，1)模型分别进行拟合，可以得到如图1、图2所示的结果。

图1 第一组两种模型拟合结果

图2 第一组两种模型预报结果

根据两种模型计算出的结果与实测数据，可以得到如表2所示结果。

表2 第一组数据的预测精度对比

根据表2的误差结果，可以得到如图3(a)所示误差变化趋势，前10期数据中，传统GM(1，1)模型和基于幂函数变换的GM(1，1)模型得出的拟合值相差不大；从第11期开始，基于幂函数变换改进的GM(1，1)模型的精度较传统GM(1，1)模型有明显的提高。传统GM(1，1)模型的计算值平均误差为0.088 7 mm，预测中误差为0.097 3 mm；基于幂函数变换的GM(1，1)模型计算值平均误差为0.030 4 mm、预测中误差为0.059 3 mm。相较于传统GM(1，1)模型，改进模型预测平均误差仅有其34%，预测中误差仅有其60%，预测误差明显降低。由图3(b)可以看出，当预测至30期数据时，改进模型的预测值与原模型最大相差0.3 mm。

图3 第一组模型误差

2.2 第二组数据

原始观测数据见表3。

表3 原始观测数据 mm

根据第二组实验数据，利用传统GM(1，1)模型和基于幂函数变换的GM(1，1)模型分别进行拟合计算和预报计算，可以得到如图4、图5所示的结果。

图4 第二组两种模型拟合结果

图5 第二组两种模型预报结果

将两种模型计算出的结果进行统计(见表4)。

表4 第二组数据的预测精度对比

根据表4的误差结果，可以得到如图6(a)所示误差变化趋势。传统GM(1，1)模型的计算值平均误差为0.020 4 mm，预测中误差为0.149 7 mm；基于幂函数变换的GM(1，1)模型计算值平均误差为0.010 7 mm、预测中误差为0.142 5 mm。由图6(b)可以看出，针对第二组波动较大的数据，相较于传统GM(1，1)模型，改进模型预测平均误差仅有其52%，预测中误差为原函数模型的95%，预测误差明显降低。由此可见，改进模型适用性更好，预测精度更高。