多子样捷联惯导算法误差的仿真分析∗

（海军航空大学青岛校区 青岛 266041）

1 引言

捷联惯导系统利用“数学平台”代替平台惯导系统复杂的机电平台，使其成本大幅降低、可靠性提高，是惯导系统重要的发展方向。捷联惯导系统除惯性器件外，“数学平台”的解算是捷联惯导系统的重要研究方向之一。

捷联惯导算法主要分为姿态解算、速度解算和位置解算。其中，姿态解算的求解精度直接影响着速度、位置参数的求解，因此，姿态解算是捷联惯导算法的核心［1］。目前普遍采用的方法是［2］：根据等效旋转矢量算法，利用陀螺输出的多子样采样角增量构造等效旋转矢量，消除转动的不可交换性误差，再利用等效旋转矢量计算旋转四元数，完成姿态更新过程。其理论基础是Bortz方程［3］，Miller提出了三子样优化算法［4］，Lee提出了四子样算法［5］，文献［6～8］分析了圆锥运动环境下旋转矢量多子样算法的漂移，并做了对比分析。文献［9］推导了划船补偿优化算法。文献［10～11］分别通过设计不同的运动情况，分析了静基座和动基座情况下捷联惯导系统的误差特性，但没有涉及多子样算法之间的差别。因此本文在上述文献的基础之上，利用轨迹发生器，设计了多种不同运动状态，通过对轨迹的多子样算法仿真分析，得到了不同运动情况下的多子样算法解算结果，并进行了对比分析。仿真结果表明，多子样算法在不同情况下具有的精度不同，并非是高子样算法一定比低子样算法精度高，相反，对于低动态环境下的运载体，选取较低子样算法反而效果更好。

2 等效旋转矢量多子样算法

对于在非极区工作的捷联惯导系统，导航系（n系）一般选取地理坐标系：以运载体的质心为原点，x，y，z分别指向东、北、天。机体坐标系（b系）一般选取右前上坐标系：以运载体的质心为原点，x，y，z分别指向飞机的右、前、上。为满足右手定则，本文仿真航向角取北偏西为正，范围为（-π/2，π/2）。

由于传统的多子样算法是将运载体的角速度分别假设为常值、直线、抛物线以及三次抛物线的前提下所求得的旋转矢量计算公式。但实际运载体角速度并不是如此，对于捷联惯导姿态更新算法而言，锥运动是最恶劣的运动情况，它会导致严重的数学平台漂移［6］，在锥运动环境下传统推导多子样算法得到的公式并不能确保算法漂移最小。因此，旋转矢量优化算法常常以圆锥运动为环境条件，通过研究锥运动情况下的算法漂移，提出了多子样旋转矢量优化算法。

2.1 圆锥运动

机体坐标系相对于导航系的转动四元数为

2.2 姿态更新算法

设陀螺的采样输出为θ1、θ2。则有二子样优化等效旋转矢量：

设陀螺的采样输出为θ1、θ2、θ3。则有三子样优化等效旋转矢量：

设陀螺的采样输出为θ1、θ2、θ3、θ4。则有四子样优化等效旋转矢量：

则根据旋转矢量算法：

故可以得到姿态变化四元数：

故可以得到姿态更新四元数为

但由于无论是多项式拟合角速度还是通过研究锥运动，利用正弦函数来拟合角速度都存在一定的误差。通常认为正弦角运动比多项式角运动更恶劣，会导致更大的不可交换性误差，因此，在高动态环境下一般采用旋转矢量多子样优化算法，算法漂移随着子样数的增加而减少。但在低动态情况下，由于载体角运动并不剧烈，因此对于旋转矢量多子样算法并非是子样数越高算法精度越好，相反，采用子样数相对较低的算法可能更能适合较为简单的角运动情况。

3 圆锥运动下算法误差仿真

在经典圆锥运动环境下，设半锥角α=1°、频率f=20Hz、采样间隔Ts=0.04s、仿真时间为T=60s。采用多子样圆锥补偿优化算法仿真如图1～3（以Y向误差为例）。

图1 二子样

图2 三子样

设半锥角α=1°、频率f=1Hz、采样间隔Ts=0.04s、仿真时间为T=60s。采用多子样圆锥补偿优化算法仿真如图4～6。

图3 四子样

图4 二子样

图5 三子样

图6 四子样

4 静基座下算法误差仿真

设运载体静止不动，忽略初始姿态失准角、惯性器件误差，初始纬度为29°，初始经度为-95°，采样时间为0.1s，仿真时间为86400s（24h）。得到载体姿态误差角如图7～9所示。

图7 俯仰角误差

图8 横滚角误差

图9 航向角误差

5 动基座下算法误差仿真

5.1 载体仅具有东向速度

设运载体以东向速度-5m/s平飞，忽略初始姿态失准角、惯性器件误差，初始纬度为29°，初始经度为-95°，飞行高度为100m，采样时间为0.0001s，飞行时间为8s。

图10 俯仰角误差

图11 横滚角误差

图12 航向角误差

5.2 载体仅发生俯仰角变化

设运载体初始以东向速度-5m/s平飞，忽略初始姿态失准角、惯性器件误差，初始纬度为29°，初始经度为-95°，飞行高度为100m，采样时间为0.0001s，飞行时间为8s，飞行过程中一直进行抬头运动，俯仰角逐渐增大，俯仰角速度为3°/s。

图13 俯仰角误差

图14 横滚角误差

图15 航向角误差

5.3 载体仅发生横滚角变化

设运载体初始以东向速度-5m/s平飞，忽略初始姿态失准角、惯性器件误差，初始纬度为29°，初始经度为-95°，飞行高度为100m，采样时间为0.0001s，飞行时间为8s，飞行过程中一直进行横滚运动，横滚角逐渐增大，俯仰角速度为3°/s。

图16 俯仰角误差

图17 横滚角误差

图18 航向角误差

5.4 载体仅发生方位角变化

设运载体初始俯仰角为0°，初始横滚角为45°，初始方位角为0°，初始以北向速度5m/s向北飞行，方位角速率为-5°/s，飞行过程中仅存在方位角变化，转弯过程满足飞机的协调转弯条件［12］。忽略初始姿态失准角、惯性器件误差，初始纬度为29°，初始经度为-95°，飞行高度为100m，采样时间为0.001s，飞行时间为72s。

图19 俯仰角误差

图20 横滚角误差

图21 航向角误差

6 仿真结果分析

在经典圆锥运动情况下，当锥运动频率为20Hz时，二子样算法与三子样算法误差相当，三子样略好于二子样。四子样算法明显相较于二、三子样算法误差精度提高一个数量级；当锥运动频率为1Hz时，多子样算法误差精度明显小于低子样误差精度。因此，在圆锥运动频率较高环境下误差精度随着子样数的增加而减小。而在运动频率较低时并非子样数越多误差精度越高。

在静基座条件下，捷联惯导系统误差应含有3个分量：分别是休拉周期振荡分量、地球周期振荡分量、傅科周期振荡分量，其中休拉周期为84.4min，地球周期为24h，傅科周期随纬度而变纬度越低周期越长，在赤道上傅科周期变为无穷大，在两极，傅科振荡蜕化为地球振荡。由于一般飞行过程傅科周期在系统误差中体现并不明显，为简化分析时常略去傅科振荡的影响。从仿真结果中可以明显观察到地球周期振荡和休拉周期振荡。并且解算子样数与误差精度并无绝对联系，对于航向角误差而言，在20000s～21000s之间误差精度随着子样数的增多而减少，但在22000s～23000s之间误差精度随着子样数的增多而增加，因此在静态情况下，算法误差并不是随着子样数的增多而减少。

在动基座条件下，当载体运动环境较为平缓时，而三、四子样算法误差精度相当，多子样算法仅在少部分运动情况下略好于低子样算法，而大多数低动态情况下误差精度随着子样数的增加而增加。与理论上子样数越多误差精度越高相矛盾。

7 结语

综合以上仿真结果与分析可得：载体运载体不同运动环境下多子样算法误差与子样数的多少并无绝对关系，有时子样数越多导航精度反而越低。一般来说，圆锥运动情况是最恶劣的环境条件，当运载体的运动环境剧烈时，随着子样数的增加，导航精度误差逐渐降低，这与文献［6］的结论相符合。因此，在利用捷联惯导多子样算法进行导航解算时并不能一味地追求高子样算法，应该根据载体的实际运动情况选择合适的子样数进行导航解算。对于低动态环境下角运动较为简单的运载体，选取较低子样数（不要超过四子样）不仅减少了计算量，而且导航效果相对于高子样算法更佳精确。