关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法

李志民

1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。

点击并拖拽以移动判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：

判别式             相交

1.1代数法： 点击并拖拽以移动         相切

Δ=b2-4ac             相离

1.2 几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径

r的大小关系：dr相离

（三）點与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.此法适用于动直线问题。

2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法

2.1 几何方法

运用弦心距（即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。

2.2 代数方法

一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出;

二是运用韦达定理及弦长公式

点击并拖拽以移动|AB|=         |xA-xB|= 点击并拖拽以移动

说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。

3 求过点P（x0，y0）的圆x2+y2=r2的切线方程

3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=r2

3.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解。

说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.

4 例题选讲：

例1. 已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12。

（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点;

（2）求直线l被圆C截得的最短弦长。

（1）证明 由点击并拖拽以移动

消去y得（k2+1）x2-（2-4k）x-7=0，因为Δ=（4k-2）2+28（k2+1）>0，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

（2）解 设直线与圆交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，

则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1-x2|=2=2 ，

令t=，则tk2-4k+（t-3）=0，当t=0时，k=-，当t≠0时，因为k∈R，

所以Δ=16-4t（t-3）≥0，解得-1≤t≤4，且t≠0，

故t=的最大值为4，此时|AB|最小为2。

例2. 已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m- 24=0（m∈R）。

（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上;

（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、 相离;

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线 被各圆截得的弦长相等。

（1）证明  配方得：（x-3m）2+[y-（m-1）]2=25，

设圆心为（x，y）， 消去m得x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上。

（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为

点击并拖拽以移动

∵圆的半径为r=5，∴当d

当d=r，即b=±5 点击并拖拽以移动 -3时，直线与圆相切;

当d>r，即b<-5 点击并拖拽以移动 -3或b>5点击并拖拽以移动 -3时，直线与圆相离。

（3）证明  对于任一条平行于l且与圆相交的直

线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d= 点击并拖拽以移动 弦长点击并拖拽以移动 且r和d均为常量。

∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。

例3.  m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5.（1）无公共点;

（2）截得的弦长为2。

解 （1）由已知，圆心为O（0，0），半径r= 点击并拖拽以移动，， 圆心到直线2x-y+m=0的距离

点击并拖拽以移动

∵直线与圆无公共点，∴d>r，即点击并拖拽以移动∴m>5或m<-5。

故当m>5或m<-5时，直线与圆无公共点。

（2）如图所示，由平面几何垂径定理知r2-d2=12，即   5-点击并拖拽以移动=1。

得m=±2点击并拖拽以移动 ，∴当m=±2 点击并拖拽以移动时，直线被圆截得的弦长为2。

1-339点击并拖拽以移动

例4. 已知点M（3，1），及圆（x-1）2+（y-2）2=4. 求过M点的圆的切线方程

解 圆心C（1，2），半径为r=2，当直线的斜率不存在时，方程为x=3。

由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，

此时，直线与圆相切.  当直线的斜率存在时，设方程为y-1=k（x-3）。，

即kx-y+1-3k=0.由题意知点击并拖拽以移动解得k= 点击并拖拽以移动。

∴方程为y-1=点击并拖拽以移动（x-3），即3x-4y-5=0.故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0。

例5  已知点A（1，a），圆x2+y2=4。

（1）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及点击并拖拽以移动切线方程;

（2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线 被圆截得的弦长为2点击并拖拽以移动，求a的值。

点击并拖拽以移动解（1）由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12+a2=4，∴a=±点击并拖拽以移动 .

点击并拖拽以移动当a= 点击并拖拽以移动时，A（1，点击并拖拽以移动），切线方程为x+ 点击并拖拽以移动y-4=0;当a=-点击并拖拽以移动时，A（1，- 点击并拖拽以移动）。

切线方程为x- 点击并拖拽以移动y-4=0， （2）设直线方程为x+y=b，由于过点A，∴1+a=b，a=b-1。

点击并拖拽以移动又圆心到直线的距离d= 点击并拖拽以移动 ∴点击并拖拽以移动+3=4，∴b=±点击并拖拽以移动，∴a=±点击并拖拽以移动-1。

课题名称：高中数学解析几何习题课的实践研究，2018年度甘肃省“十三五”教育科学规划一般自筹课题，课题编号：GS[2018]GHB3521。

（作者单位：甘肃省金昌市第一中学）