废水处理优化问题的数学模型建立与求解

张儒奎

(陇南师范高等专科学校电子工程系， 甘肃成县 742500)

1 问题引出

企业生产过程中， 不可避免地要产生工业废弃物. 在某地现有A、 B、 C三家废水产生企业， 同时存在甲、 乙两家废水处理企业. 废水产生企业为满足环保要求， 需要向废水处理企业支付一定费用， 以使自身产生的废水得到处理， 而废水处理企业以处理废水获益.

A、 B、 C三家企业每天废水排放量如表1所示.

表1 企业生产过程中每天废水排放量

甲、 乙两家废水处理企业的废水处理能力及费用情况分别如表2和表3所示.

表2 废水处理企业废水处理能力

表3 废水处理费

本文通过建立数学模型， 求解如下三个问题:

问题1： 当A、 B、 C三家排放企业和甲、 乙两家处理企业在日常生产中满足表1、 2、 3时， 求A、 B、 C三家企业支付废水处理费用最小时的分配方案；

问题2： 当甲、 乙两家企业进行产业升级改造后， 废水处理能力提升为表4所示时， 求甲乙两企业受益最大时的废水分配方案.

表4 废水处理企业升级后废水处理能力

问题3： 甲、 乙两家企业升级改造后， 在废水处理时， 产生工业附加值， 并且为了获得更多的废水量(从而获利更大)， 甲、 乙两家企业将附加值一半的获利返还给A、 B、 C三家企业， 求如何分配废水量， 从而使甲、 乙两家企业获利最大的同时， 使A、 B、 C三家企业支付废水处理费用最小.

2 问题分析

问题中的废水处理涉及两种费用， 一是A、 B、 C三家企业需要向甲乙两家企业支付废水处理费用， 而该费用同时也是甲乙两家企业的获利；二是甲乙两家企业升级改造后产生的工业附加值， 该附加值的一半支付给A、 B、 C三家企业， 该附加值的大小对A、 B、 C三家企业支付废水处理费有所补偿. 因此对问题一的求解， 利用表1、 2、 3中已知条件可以进行求解. 对于问题三， 要求解甲、 乙两家企业获利尽可能大的同时， A、 B、 C三家企业支付总费用尽可能的小， 也就是说， 要求解两个费用最大时的分配方案.

3 基本假设及符号约定

为便于问题求解， 本文做如下假设：

1、 A、 B、 C三家企业和甲、 乙两家企业日常生产时均为满负荷运转， 也就是说所有企业产生废水量和处理废水量都是最大值；

2、 废水产生企业和处理企业存在一定的空间距离；

3、 不考虑废水处理过程中的运输成本及其他成本；

4、 模型求解时， 程序中控制变量取最小值1.

对本文中出现的符号， 做如下约定：

x为A企业向甲企业分配的废水量；

y为B企业向甲企业分配的废水量；

z为C企业向甲企业分配的废水量；

W为A、 B、 C三家企业向甲、 乙两家企业支付的废水处理总费用， 同时也代表甲、 乙两家企业的总收益；

Q为A、 B、 C三家企业获得工业附加值返还费用， 该值的大小同时反映A、 B、 C三家企业废水处理总费用.

4 模型建立与问题求解

我们假定A、 B、 C三家生产企业和甲、 乙两家废水处理企业每天均是满负荷运行， A、 B、 C三家生产企业分别每天向甲、 乙两家废水处理企业废水输送情况如表5所示.

表5 废水分配方案(m3/天)

其中x,y,z需满足表2约束条件， 即

(1)

且

(2)

则三家企业需要支付的总费用W为

W=2x-y+2z+3 880

(3)

(1) 对问题1的求解

利用FORTRAN程序， 求满足条件(1)、 (2)、 (3)式时的最小值.

求解结果表明， 三家废水排放企业， 需支付的废水处理费最少为3 900元， 分配方案如表6所示.

表6 三家企业支付总费用最低时的废水分配方案(m3/天)

如果考虑到废水生产企业和处理企业存在一定的运输距离， 存在运输成本. 为将三家企业支付总费用降至最低， 我们给出两种最优方案， 如表7所示.

表7 考虑运输成本的废水处理最优方案(m3/天)

根据解析结果， 当B企业排放废水全部输送到甲企业， 且A、 C两家企业向甲企业输送废水量之和为50 m3， 其余废水输送给乙企业时， 所产生的废水处理总费用最小， 为3 900元.

(2) 对问题2的求解

两家废水处理企业升级改造后， 处理能力如表4所示.

假设A、 B、 C三家企业日常生产产生的废水量未发生变化， 仍然如表1所示， 废水分配情况仍然如表5所示.

由于甲、 乙两家企业处理能力提升， 此时x,y,z需满足

100≤x+y+z≤150

(4)

且

(5)

甲、 乙两家企业总收益为A、 B、 C三家企业支付的废水处理费用， 即总收益满足式(3).

利用FORTRAN程序， 对(3)式进行满足约束(4)、 (5)式的最大值求解， 求得最大值为4 180元， 分配方案如表8所示.

表8 企业升级后收益最大时废水分配方案(m3/天)

根据上述结果可看出， 要让甲、 乙两家废水处理企业的总收入达到最高， A企业向甲企业输送废水30至100立方米， 向乙企业输送废水0至70立方米； C企业而向甲企业输送废水50至120立方米， 向乙企业输送废水0至70立方米， 并且甲、 乙两家企业收到A、 B、 C三家企业输送废水总和都是150立方米. 考虑到运输成本问题， 我们给出2种最优分配方案， 如表9所示.

表9 考虑运输成本后的收益最大废水分配方案(m3/天)

(3) 对问题3的求解

假定甲、 乙两家企业的废水处理能力仍然为表4所示. A、 B、 C三家企业向甲、 乙两家企业支付的废水处理总费用仍然为(3)式， 并且x,y,z仍然满足(4)、 (5)式. 甲、 乙两家企业向A、 B、 C三家企业返还的工业副产品价格如表10所示.

表10 向A、 B、 C三家企业返还的工业附加值价格(元/m3)

A、 B、 C三家企业从副产品中获得的总收入为

Q=-2x+2y+4z+1 400

(6)

要让甲、 乙两家企业总收入尽可能最大而A、 B、 C三家企业所支付的总费用尽可能小， 这意味着在x,y,z满足(4)、 (5)条件下， 使得(3)和(6)式同时取极大值.

利用FORTRAN程序， 对该问题求解， 得废水分配方案满足表11时， (3)式与(6)式均为最大值：W=4 110元， Q=1 980元. 甲、 乙两家企业获得收益为6 090元， 且该方案为唯一解.

表11 存在产生工业附加值时， 所有企业获利最大的废水分配方案(m3/天)

5 模型评价

本文通过建立数学模型， 对废水处理过程中涉及企业获益最大时如何分配废水问题进行了讨论.该模型的优点在于， 运用FRTRAN语言即能够对题目要求的问题求解， 对延伸问题也可以求解. 例如对于问题一， 仍然能够应用该模型对三家企业支付废水处理总费用最高时的废水分配方案进行求解. 同样地， 对于问题二、 三， 仍然能够对甲、 乙两家企业收入最小和所有企业获益最少时的废水分配方案进行求解.