康威与平面几何

蒋迅

英国数学家约翰·康威（John Conway）于2020年4月11日因新冠肺炎并发症在美国新不伦瑞克市（普林斯顿附近）的老人疗养院去世，终年82岁.康威的去世震惊了整个数学界.他在数学上的成就是多方面的，他的研究领域包括有限群、趣味数学、纽结理论、数论、代数、分析、算法组合、博弈论、编码学以及理论物理学等范畴.本文介绍了他在平面几何方面的一些工作，以此纪念这位伟大的数学家.

一、康威圆定理

“康威圆”（Conways Circle）定理是一个平面几何定理.

如图 2，圆的圆心就是内切圆的圆心.记 r 为内切圆的半径，s 为三角形的半周长，那么R还有一个用 r 和 s 表示的更简洁的公式.

康威在一个讨论几何问题的社交群里发布了这个定理.后来人们就把它称为了康威圆.他在与网友们讨论时还指出，当延伸的距离分别为 a +x ， b+x和 c +x 时，该结论仍然成立.其中 a +x，b +x 和 c +x 都为大于零的任意实数.

证明的思路是证明从点l到点的距离都相等.

如图3，

由上述推理，我们得出结论：六点共圆且圆心就是内切圆的中心.

二、康威發现的与平面几何有关的其他结论

康威曾经对平面几何很入迷.康威发现边长为1、2和的直角三角形可以分割成五个全等的直角三角形，并且它们都与原来的三角形相似，如图5.后来美国数学家查理·拉丁（Charlie Latin）由此构造出了第一个非周期平铺（pinwheel tiling）的平面三角形，如图6，而且这类三角形的方向有无穷多.后来，康威发现，平分三角形面积的线段并不都通过三角形的重心.这似乎与人们的直觉相悖.事实上，如果用任意直线按等面积切割三角形的话，那么这些直线会形成一个像三尖瓣线（deltoid curve）内部的几何区域（如图7）.康威甚至计算了这个区域的面积，它等于，其中[ABC]是三角形 ABC 的面积.

康威与美国数学家彼得·道尔（Peter Doyle）给出了莫雷角三分线定理的初等证明.莫雷角三分线定理是说，对一个任意的三角形的三个内角作角三等分线，连接靠近公共边的三分线的三个交点可构成一个等边三角形，如图8.康威将自己的证明写在他的著名文章《数学的力量》（The Power of Mathematics）中.

我们知道，一个任意三角形的三个内角角平分线相交于一个点，这个点就是内切圆的圆心.在二等分角的情况里，记 n =2，假定有三个角α，β，γ满足如图9，取α′= α+90? ， β′=β+ 90?， γ′= γ+90?，再作三个三角形.它们是：以 α，β，γ′为内角的三角形，以α，β′，γ为内角的三角形和以α′，β，γ为内角的三角形.则可以在适当伸缩后使得它们拼成一个以2α，2β，2γ为内角的三角形.

在三等分角的情况里，记 n =3，假定有三个角α，β，γ满足，再作七个三角形.这七个三角形如图10所示，我们不再赘述.那么在适当伸缩后使得它们可以拼成一个以3α，3β，3γ为内角的三角形.这就是康威的证明思路.我们可以把该结果推广到任意的 n =2， 3， 4，5， …的情形去.

再来看一个奇怪的房形图案.为了方便起见，我们就把它称为康威小屋.

康威小屋不是康威本人发现的.一开始人们考虑的是在一个单位正方形中嵌入一个最大的等边三角形（图11中的下半部分）.显然这个三角形必须与正方形的四条边都相接.于是其中一个三角形的顶点就必须落在正方形的一个角上.在这个顶点上，等边三角形的两条边与正方形的两条边的夹角是.可以算出，这个三角形的面积是.这个值正好是单位等边三角形中最大正方形的边长.这个结论看似神奇，但康威把单位等边三角形放到正方形的上面，然后随手画了一个平行四边形（如图13、14），一下把这个问题解决了.他画的平行四边形就像是从阁楼上安了一个下楼的楼梯.它的面积跟等边三角形的面积相等.

再来介绍一个康威和俄裔美国数学家亚历山大·索弗（Alexander Soifer， 1948-）在《美国数学月刊》上发表的一篇论文：“个单位等边三角形是否可以覆盖一条边长大于 n ，例如 n + ε 的等边三角形？”它的正文只有几个字“可以”（即个单位等边三角形可以覆盖一条边长大于 n ，例如 n + ε 的等边三角形）和两幅图，如图15、16所示.

这个问题是索弗在访问普林斯顿大学时提出的，当时康威对比很感兴趣.通过研究和分析，康威得到了图15，即用个等边三角形可以做到.随后索弗得到了图16，也是个，但覆盖方法却是完全不同的.注意这里等边三角形是一个重要的条件，否则的话可以作出个满足要求的三角形.

康威在几何上的贡献还有很多，比如康威多面体表示法（Conway polyhedron notation）、密铺数学理论的康威准则（Conway criterion）等.