数字e的缘起与指数函数

张劲松

[摘要]为了深入理解指数函数，了解指数函数描述的某类增长（衰减）率变化问题，我们需要认识数字e的缘起。数字e缘起于用连续方法描述离散问题，以数字e为底的指数（型）函数是描述连续变化的天然模型，可以帮助我们更好地把握变化规律。

[关键词]数字e;指数函数;连续;离散;导数

数字e不仅是数学史上，而且是人类科学史上最伟大的数字之一。当用指数（型）函数描述现实世界中某类增长（衰减）率的问题时，不可避免地涉及数字e。以数字e为底的指数（型）函数是描述连续变化的天然模型：它可以使我们运用连续方法研究离散问题，描述离散问题，帮助我们更好地把握变化规律。

对数字e的缘起以及指数函数的研究，使信息技术如Excel、几何画板、Geogebra等的使用如虎添翼。它不仅可以帮助我们进行指数幂的快速计算，通过图象，形象、直观地认识与数字e相关的函数性质，而且对于认识指数函数的本质有极大的促进作用。

在指数函数中，我们常常用以e为底的指数（型）函数描述自然现象、生物种群变化、放射性物质的衰变等变化规律。中学阶段，我们知道e是自然对数的底，e=2.71828……，它是个无理数。

为什么取e这样一个无理数作为指数（型）函数的底？同时以无理数作为对数的底，运算是复杂了还是简单了？为什么把e作为底数的对数称为自然对数？“自然”在哪儿？这个数是怎么来的？这些都是自然的疑问。如果我们不能给出明确的解答，势必加深学生的困惑。知其然，还要知其所以然。如果不知道它的来龙去脉、前因后果，不追本溯源，就无法加强理性思维，无法认识数学的价值和作用。

e是与连续变化有着紧密联系的数，数字e的产生与发展是函数内容发展的高度浓缩。通过揭示数字e的起源，以及以e为底的指数（型）函数模型建立过程。可以更好地了解由变化到函数、由离散到连续的研究方法，以及由感性到理性，认识不断深化、提高的脉络。同时更好地处理好具体与抽象、直观与严谨、离散与连续、数学思想与形式化定义的关系，使学生更好地运用函数刻画现实世界中的变化现象，深刻理解函数思想，运用函数模型把握现实世界中的变化规律。

很多数学科普读物都说e是一个与连续变化有关的数。为什么和连续变化有关？连续的意义是什么？要回答这些问题，我们先从变化说起。

1.1 变化与函数

我们知道，变化无处不在、无时不在。我们生活在变化的世界中。世界上唯一不变的是变化。如何描述变化？如何定量描述变化？数学上有很多工具和方法。简言之，l，2，3，4，5……这种计数就是描述变化最简单的一种形式。随着变化越来越复杂，人们的认识不断发展，数学科学理论不断丰富，函数成为描述现实世界中变化规律的重要模型，通过函数这个数学模型描述变化及其规律，使人们对现实世界中变化现象的认识更加理性。

1.2 离散与连续

实际上，对变化的认识，我们是从离散开始的。离散与连续既是生活中的用语，也是数学中的重要概念。数列是描述离散变化的重要数学模型，其自变量是自然数集合或其子集，这种离散的数学模型在实际生活或数学中很常见。而对于区间（a，b）上的任意一点x来说，我们说它是连续的，其意义到底是什么？在某一点x₀连续的意义，就是对于该点x₀，无论给定一个多么小的正数ε，总能在区间（a，b）上找到一个点x'，使点x₀到点x'的距离小于这个给定的正数。5T，即|x₀-x'|<ε。显然，对于孤立的点集来说，这些点都不是连续的，如整数集，因为任何两个整数m，n之间的距离|m-n|≥1，这样对于小于l的任何正数。它不满足连续的定义。所以我们说整数集是离散的。它是不连续的一种情形。而对于任意区间（a，b），我们说它是连续的。同样，对于函数来说，在平面直角坐标系中，离散的函数是一些点：连续的函数，从直观上看是一条连续而不间断的曲线。这是直观描述。可以帮助我们形象地理解概念。但它无法揭示概念的本质属性，不是严格的数学表述。在数学上，连续是一个重要而且抽象的概念。函数在任一点连续的概念，简言之，就是函数在任一点的极限值等于這点的函数值。对中学生来说，我们不需要也不可能进行这样的讲解，太抽象了。我们只需借助图象，直观理解即可。

1.3 平均变化率幂的结果仍然是一个有理数，通过信息技术工具快速计算的功能，我们容易算出（精确到小数点后5位）：

至于为什么取为e，众说纷纭。一种说法是a，b，c，d太靠前，而且常用作常量，x，y，Z用作变量，靠前的只有e了：另一种说法是欧拉首先发现，取欧拉名字的第一个英文字母，但是以欧拉低调的为人，估计欧拉本人不会这么做，可能是后人为了纪念他首先发现这个数，才用他名字的第一个字母表示这个数：再一种说法是这个数来自经济领域，可以描述经济领域中的很多变化规律，就用经济（economic）的第一个字母e表示这个数。

很显然，在中学阶段，严格从函数单调性、极限的角度研究这个函数，追寻数字e的起源不现实。借助信息技术，通过上述方式给出结论，高中学生可以直观理解。至于结论的严格证明，我们暂且不管，到大学学习微积分时再给出完整的过程。

2 通过对马尔萨斯人口增长模型f（t）=y₀eⁿ来龙去脉的解释，认识以e为底的指数（型）函数是描述连续变化的天然模型

有了上面的基础，对于马尔萨斯人口增长模型f（t）=y₀eⁿ，我们可以给出它的来龙去脉的解释。当人口足够多的时候，我们不考虑计划生育、战争、疾病瘟疫等其他因素，而且假定每时每刻都有人出生，每年的人口增长率相同，我们可以得出f（t）=y₀eⁿ，其中r是年平均增长率，y₀是当前的人口，f（t）是t年时的人口。如何得到上述解析式？

这给出了一个为什么以e为底的指数型函数的简短说明。可见在连续变化过程中，常常离不开e。实际上，如果年平均增长率r很小，我们可以用（1+r）^r≈e^rt，从而简化计算。

实际上，深入研究任何指数（型）函数，都无法避免数字e。可能有人会说，我们学习以2，10，…为底的指数函数，不涉及数字e的情况啊。是这样吗？当然不是，因为没有数字e，我们无法获得函数f（x）=a^x的导数（如下）：

而导数是定量刻画函数变化率的重要方法，是研究函数变化不可或缺的工具。由上面求导的过程我们发现，函数f（x）=a^x的导数是a^xlna，亦即函数f（x）=a^x在任一点的变化率与这点的函数值成比例，这个比是lna，与e有着直接的关系。从这个意义上，我们可以推断以e为底的指数（型）函数，可以更好地描述连续变化。当我们运用连续的思想，通过极限的方法分析问题时。不可避免地涉及数字e。

总之，在指数函数的学习中，我们无法回避数字e，而且借助信息技术，在快速计算的基础上，通过图象直观、极限与导数等方法研究指数函数，可以使我们更好地认识指数函数的逻辑结构，以及运用连续方法描述离散变化问题的数学本质。更好地发展学生的数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理以及数学建模等数学核心素养。