寻找题根搭支架 积累经验通思路

沈岳夫

著名数学教育家G·波利亚曾说过“掌握数学就意味着擅于解题”。数学教学。从某种意义上说就是解题教学，而在实际数学解题过程中，师生在解决几何类问题时常常不知所措。因此。教师在备课时应围绕试题的核心知识。从不同视角分析图形。找准切入点（题根），梳理关联线，搭建“思维脚手架”。便可“借梯”拾级而上。现以一道周周清测试题为例。做一些有益的探索。供大家参考。

1 试题背景及分析

在期末《圆的基本性质》等相关知识点的微专题复习时，笔者在周周清的单元检测时。遴选了如下一道试题：

试卷批阅后。笔者发现这道题的得分率较低。尤其是第（2）问的第②小题做得很差，更不要说第（3）问了。本题源于宁波市鄞州区的一道期末考试题。该题既考查了圆的基本知识。又考查了相似三角形和解直角三角形等知识，渗透了转化思想和方程思想，是一道融圆与解直角三角形于一体的综合性问题。思维含量较大。

讲评试卷前，笔者特别对第（2）问的第②小题做了进一步的调查。发现学生“卡壳”有两处：一是角的转化，如何用等弧或同弧所对圆周角相等，寻找等角;二是添加辅助线，如何通过三角形相似或全等，求出CF。BF的长。针对学生在解题时出现的“卡壳”现象，在试卷讲评时，笔者对这道题做了如下处理，望得到同行的指正。

2 教学片断回放

2.1 追本溯源。由浅入深

师：同学们，老师先给出两个题目，你们一定很熟悉吧，请你们回忆思考一下。

师：那么试题中的第（1）问不是解决了吗？其实命题者往往以教材例、习题的图形为根，抓住核心条件适当变式而成为新的试题，因此，同学们对课本的经典例（习）题要研深、研透。

师：刚才我们复习了课本中的两个题目，接下去我们一起来看问题3.

师：（用微笑给予鼓励）很好，这个学生回答得不错！同学们，通过这几个题目的练习，你收获了什么？谁能谈谈？

生2：在以圆为背景的试题中，要证角相等或找三角形相似时，一般可以采取：寻找“8”字型或“A”字型基本图形，如△DQC～△AQB：或寻找同弧或等弧所对的圆周角相等，如△PDB～△PCA：或利用圆内接四边形的圆外角等于圆内对角。如△PDC～△PBA，等等。

师：（笑笑看着生2）很好，在平时解决问题的过程中，我们要善于总结、提炼、建模，通过解部分题掌握一类题，达到触类旁通之效。

设计意图 问题是思维的起点。巧设题组。层层推进，由表（题根）及里（问题串），将学生浅显易懂的知识进行剥离，表象知识内隐化，去表存真，探本求源，帮助学生找到思维的原点（题根）。由此可见，我们要通过学生熟悉的习题下手，将问题合理变式，化题为型，串题成链，织题成网，让课本例题、习题成为巩固知识、发展能力、掌握思想的重要渠道，真正实现思维品质的提升。

2.2 引领思维，拾级而上

师：刚才我们解决了3个问题，如果老师再改变题目条件，请大家继续探究：

师：真棒！我们通过相似关系已经求得了如BP，DP线段的长度，这对探求△DPE的面积很有帮助，那△DPE的面积又如何求呢？

师：很好，板演的学生已经掌握了会用转化思想来解决问题。当我们遇到求三角形面积时，不妨采取直接法（如公式法）和间接法（相似法，等积法，等高或等底法，和差法等），这是求面积类问题的常用方法，特别是间接法，同学们一定要善于总结，好好归纳，并会灵活运用。

师：刚才我们已经解决了问题4.那么题目中的第（2）问的第①小题又该如何解决？

（学生立即议论起来）

师：很好！同学们，那第（2）问的第②小题又该如何解决？

师：（用敬佩眼光）生8的方法也不错！你是一个善于捕捉问题前后关联的学生。

师：嗯，这3位学生从不同的视角解决问题，生6重在于构造垂径定理的基本图形，生7重在于构造“手拉手”旋转全等模型，生8重在于借助公共直角边建立方程。这3种解法都是常用的解题通法，同学们要多加体悟、多加积累！其实，此题还有其他解法，同学们课后再去探索一下。

师：刚才我们解决了第（2）问。那么题目中的第（3）问又该如何解决？能否从问题4受到启发？

（学生立即议论起来）

至此，学生通过交流、碰撞、探究寻找到解决问题的方法。

设计意图 通过问题4的铺垫，深化思维。顺应学生的思维轨迹，巧设阶梯型问题，通过师生对话，启迪学生的思维，化解了原题的难点——求三角函数值和面积差问题，促进了学生对数学的深度理解，激发了学生思维发展的内部动机。让学生在对话和思维的碰撞中提升思维能力，活化所学知识，内化思维技能。让学生在探究的过程中既掌握所学知识和技能，又感知知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养，让不同思维层次的学生更上一个思维台阶。

3 解题感悟

由此看来，应用从特殊到一般，小步跨，大步变的基本策略，将综合题转化为基本问题，解出基础题，是解答综合题的关键。具体要抓好如下环节：

3.1 关注题根。照亮思维

回望本题，试题是由课本习题改编而来。关注课本的“题根”，把握试题的“变式”，有利于启发思路，照亮思维，悟出方法。教师在初三复习教学中，要科学、合理地创设一系列问题，形成一个螺旋上升的“问题串”，通过设计“问题串”变告知为探索，逐步使学生的“最近发展区”向“潜在发展水平”转化，进而形成良性循环，使学生的思维向深层次发展”，。

3.2 注重反思，优化思路

著名数学教育家G·波利亚曾说：“如果没有反思，他們就错过了解题的一次重要而有效益的方法。”他认为。反思是巩固知识和发展能力的重要环节。通过反思，能够认清问题的本质，优化解题的方法。如上述解法中。一方面要发现问题解决的通性通法，对其“普适性”加以归纳总结，建立起解题方法的常见套路;另一方面，还要比较方法的优劣，做到去芜取精，择优丢劣。

3.3 建构模型。积累经验

著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。”日常的数学教学活动离不开解题，每解一题都是一次数学实践，应用数学知识与思想方法解决问题，提升问题解决的能力。解决一道新题是经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动，外见于“形”，内化于“型”，掌握解法的同时，积累数学解题经验。提炼问题“模型”，更好地培养学生分析、解决问题的能力。