探讨概率论与数理统计的教学

方炜

摘 要：概率论与数理统计是大学数学教学中的一个分支，也是比较重要的学科，它是对随机现象的发生和事物统计规律性的研究。与其他数学知识一样，概率论与数理统计在日常生活中的应用十分广泛，同时对经济、管理、军事和科技等领域的贡献也尤为突出。因此，如何通过丰富的教学方法来促进学生对该学科知识的学习与应用，是老师们需要认真思考的问题。基于此，本文将对概率论与数理统计的教学方法展开探究。

关键词：大学数学;概率;数理统计

任何教育教学模式的试验与研发，都是为了让教学效果达到最优化。学生对知识的学习与理解，不仅仅体现在最后的考试卷中，知识最终的去向是生活，学以致用，在大学教育中应该得到更好的发挥。那么如何通过生动有趣的教学，吸引学生更好地学习概率论与数理统计呢？笔者将从以下三个方面阐述。

一、从概率论的角度看彩票投资问题

如果说股票只是少部分人的专利，那么彩票则更加大众化，概率论知识同样可以应用于此。

在讲述彩票中奖概率之前，我们先来给大脑热热身：一枚被抛起的硬币，落地后正面和反面朝上的概率各为多少？这是个不能再简单的概率问题了：二分之一。即便经过无数次试验，正面和反面朝上的比例仍为1：1。那么这是否能够说明彩票的中奖概率同样为50%呢，显然不是。因為彩票所包含的元素更多，规则也比较烦琐。新加坡有一种叫“万字票”的玩法：从0—9十个数字中选择，构成一组4位数，如2587、0595。但要注意，里面的每一个数字都要在0—9中重新选择，因此，中奖概率应为1/（10×10×10×10），即万分之一。

一注号码投入金额为1新币，如果全部购买所需要的成本为10000元新币，那奖金总额为多少呢？一等奖3000新币（1个号码），二等奖2000新币（1个号码），三等奖1000新币（1个号码），入围奖250新币（10个号码入选），安慰奖50新币（10个号码入选）。即便购买全部号码，中奖金额也仅为9000新币，还亏损1000新币。如果按照一周三次开奖频率，且固定一个号码购买，也要连续买69年才能中奖。当然，这种算法仅限于理论，因为彩票中奖是随机性的，但它确实也反映一些问题。根据新加坡政府规定，每期彩票发行后，发行者要拿回彩金的50%，也就是说，只有50%的彩金可以作为奖金发放给中奖的彩民，这样平均算来，彩民每投资1新币，只能获得0.5新币的回报，这显然是不划算的。

二、概率论知识在生活中的应用

随着生活的逐渐富裕，更多的人开始把眼光放到投资行业中，以谋求更高的回报，例如对股票的投资。那么如何将概率论知识应用到股票买卖中呢？下面我们来简要分析一下：

假设有航天动力、中科曙光、恒生电子三只股票，且三者相互独立，如果对三只股票分别投资，那么客户获利的概率分别为：0.85、0.7、0.65。那么如何进行投资才能使所获利润最大化。

分析：根据所掌握的情况可知，航天动力、中科曙光、恒生电子三只股票获利是独立的，现在设定X、Y、Z依次代表航天动力、中科曙光、恒生电子，那么单独投资这三只股票获利的概率为：

P（X）= 0.85，P（Y）= 0.7，P（Z）= 0.65

如果从这三只股票中选择两支进行投资，那么概率应该是：

P（XY+XZ+YZ）

=P（XY）+ P（XZ）+ P（YZ）- 2P（XYZ）

= P（X）P（Y）+ P（X）P（Z）+ P（Y）P（Z）- 2P（X）P（Y）P（Z）= 0.85×0.7+0.85×0.65+0.7×0.65-2×0.85×0.7×0.65≈0.84

如果对三只股票同时进行投资，那么所获利的概率为：

P（X+Y+Z）=P（X）+P（Y）+P（Z）- P（XY）- P（XZ）- P（YZ）+ P（XYZ）= 0.85+0.7+0.65-0.85×0.7-0.85×0.65-0.7×0.65+0.85×0.7×0.65≈0.99

通过对比上述三种结果，大家可以非常清楚知道，对三只股票进行投资获益最大。

三、概率论与数理统计在刑事案件中的应用

美国橄榄球运动员辛普森在1994年的杀妻案已被越来越多人所熟知。庭审阶段，为了帮助委托人洗清犯罪嫌疑，辩护律师所提出的概率论与数理统计学知识受到很多人的质疑。

法庭上，辩护律师提出：“在美国，平均每年有 400 万女性被施以暴力，可最终只有 1400 名女性死于自己丈夫的虐待。这项数据显示，因被虐待而死于丈夫之手的女性比重仅为1/2500。”该逻辑听起来似乎言之确凿，其荒谬的思维方式最终影响了法官的判断，由于检方没有足够的理由进行反驳，辛普森只好被判无罪释放。

利用概率论和数理统计的知识对案件进行详细分析后，我们知道，辩方律师在法庭上的辩词只是狡辩：假设，妻子被自己丈夫虐待的事件为X，妻子被丈夫杀死的事件为Y，并以此为基础前提，辩方律师给出了条件概率P（Y/X）=1/2500。这个逻辑本身没有任何问题，但它与辛普森案件的性质不相符。该案件的发生前提是，妻子已经被辛普森虐待了，因此事件X已确定，那么它的概率就是100%，并且辛普森的妻子被杀也是事实，只是不确定谁是凶手。所以，上述X与Y的真实含义是，X：丈夫对妻子长期施以家暴，并且妻子被杀;Y：凶手，由此得到的条件概率为：P（Y/X）=92%，这个数字是基于在45名受到过家庭暴力，并被谋杀的女性中，有41人死于自己丈夫之手的数据统计中得出的。

检方律师和法官之所以没有提出反驳，是因为他们被辩方律师对概念的刻意混淆所影响了。换句话说，辩方律师的辩词没有从案件本身出发做出假设。另外，即便辛普森本人家暴倾向严重，但在没有极具说服力的证据被提供时，仍然存在犯罪嫌疑人被诬陷的可能。无论是从数理统计的假设检验中降低受伪错误的理论出发，还是从美国法律疑罪从无的思想来看，辛普森最终都不应该被判无罪释放。

结语

综上所述，概率论与数理统计作为大学数学学科的重要分支，在实际生活中扮演着十分重要的角色;认真的分析与准确的判断，对事物的进程起到重要的影响。因此，由实际问题出发带入专业知识的学习，对学生理解教学内容和掌握技能具有特殊意义。相信通过老师对教学方法的不断更新与探索，概率论与数理统计的教学效果会更加明显。

参考文献

[1]张迪，梁玥，秦丽娟，黎虹.《概率论与数理统计》课程的教学探究[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2020，34（02）：111-114.

[2]黎代标.概率论与数理统计教学实践及反思[J].科学咨询（科技·管理），2019（12）：145.