一类带混合非线性项的三维波动方程解的破裂*

明森，杨荣荣

(中北大学 理学院,山西 太原 030051)

1 引 言

本文研究如下半线性波动方程的初边值问题

(1)

近来，关于带小初值的半线性波动方程的Cauchy问题

(2)

现对问题(1)中的非线性指数做分类阐述.

(1)当a=0，b=0，c>1时,(1)变为

utt-Δu=|u|c

(3)

此时(3)即为(2).

(2)当a>1，b=0，c=0时，(1)变为

utt-Δu=|ut|a

(4)

(3)当a>1，b=0，c>1时，(1)变为

utt-Δu=|ut|a+|u|c

(5)

当a>a0(3)，c>c0(3)时,文[7]得到解u(x,t)会在有限时间内破裂及其生命跨度T(ε)满足

T(ε)≤Cε-[a(c-1)]/k(a,c)，k(a,c)=c+1-a(c-1)

(6)

本文考虑问题(1)解的破裂与生命跨度的上界估计，得到如下定理.

定理1设问题(1)的解(u,ut)∈C([0,T),H1(Ωc)×L3(Ωc))，并满足

supp(u,ut)⊂{(x,t)||x|≤t+R0},a+b≤3，(c-1)(1-a-b)>-2.

则解u(x,t)会在有限时间内破裂，进而得到其生命跨度T(ε)满足

T(ε)≤Cε-[(a+b)(c-1)]/k(a,b,c)

(7)

其中k(a,b,c)=(c-1)(1-a-b)+2，C是不依赖于ε的正常数.

2 预备引理

下面给出定理1证明中需用到的一些引理.

引理1[7-8]假设p>1，α≥1，(p-1)α>q-2，如果F∈C2([0,T))且满足

(1)F(t)≥δ(t+R0)α

其中k,δ为正常数，则F(t)将在有限时间内破裂，且F(t)生命跨度的上界估计T(δ)满足

(8)

其中c是与δ无关的正常数.

|φ1(x)|≤C(1+|x|)-1e|x|

(9)

其中C>0为常数.

而且∀x∈Ωc，0<φ0(x)<1

引理4设问题(1)中g(x)是具有紧支集的径向光滑函数，则问题(1)的解满足

|u(x,t)|≥C0εr-1

(10)

因此

现考虑Cauchy 问题

利用D′Alembert公式，则有

(11)

即得(10).

3 定理1的证明

证明记ψ1(x,t)=φ1(x)e-t，其中φ1(x)如引理2中所述.则有

Δψ1=ψ1，(ψ1)t=-ψ1，(ψ1)tt=ψ1

在(1)两边同乘以ψ1并在Ωc上积分，可得

(12)

由于Δψ1=ψ1，则有

又因为

因此

(13)

等式(13)两边关于t在[0,t]上积分，则有

于是

(14)

结合(13)和(14)可得

即得到

于是

(15)

利用Holder不等式，则有

(16)

(17)

利用(16)和(17)得到

即有

利用(1)，有

从而得到

则当t充分大时有

(18)

利用Holder不等式，则有

因而

于是，得到

(19)

利用(18)和(19)及引理1，取

δ=εa+b，α=4-a-b，q=3(c-1)，p=c

即得问题(1)解的生命跨度的上界估计满足

其中C是不依赖于ε的正常数.定理1证毕.