融合数学思想 助力思维发展

吕振华

为参加观摩课比赛，我与同事选取了北师版《义务教育教育教科书·数学》四年级上册“确定位置”一课进行磨课，最后确定通过从“激发冲突，引发数对必要性——抽象写法”“明确数对简洁性——巩固练习”“了解数对生活化”三个环节授课。比赛时，赢得了不少掌声。

近一年来，随着对数学深度教学、数学思想方法、核心素养等理念的深度理解，我回顾一年前教学的“确定位置”一课时发现，学生虽然可以从生活中抽象出方格图，达到了该教学预设的目标;但是从数学的角度来讲，学生学得不够深、不够透。所以，我对“确定位置”一课的教学产生了新的思考并进行了新的实践。

一、对“确定位置”教学的再思考

在思考的过程中，我通过反思，梳理出以下三个问题，并通过实践摸索，逐渐理清了思路。

（一）课中是否可以渗透数学思想方法

数学深度教学理念指出：“数学教学必须超越具体知识和技能，深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升。”可以预见，数学深度教学的开展，可以增强学生学习数学的主动性和自觉性，丰富学生对于数学意义的理解，对于培养他们的数学核心素养和创新能力也有很大的帮助。要做到深度教学，需要教师以数学思想方法为抓手，帮助学生借助知识点的学习，在理解、抽象数对的过程中了解数形结合、一一对应的数学思想，从而使学生站在数学的角度（而不是生活的角度）去读懂方格图。

本课涉及两个主要的数学思想方法，即数形结合思想和一一对应思想。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具。直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系中的坐标（有序实数对）来表示，这样就可以用代数的量化运算方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。因此，学生虽然在以往的学习中已经接触到数形结合思想，但数形结合思想在“确定位置”一课中却是体现得最为完美的。

一一对应思想自小学生学习数学第一课起已在渗透，学生都知道一个数字对应一定的数量，数轴、点子图、计数器等都能让学生理解一一对应思想;但本课与学生先前学习的情况不同，本课是用一组有序的数对（不是以前的一个数）表示方格图上一个点的位置。此时的方格是有结构的、有序的，一个点对应唯一的一组数，这也是用数对确定位置的关键所在。

事实上，用有序数对表示几何学上的点，目的是数形结合，用数来表示几何对象，包括直线和曲线。当小学生看到根据数对的某种特性，在几何上就可以表示出许多不同的直线时，我们可以想象到其内心的震动是非常强烈的，这也正是高质量数学教学要实现的过程性目标。

一一对应思想则体现了用数对确定位置的有序性，数形结合思想化数字为图形，让人们借助图形看得见数字。所以，本课中不能割裂只讲一种，而是应将这两种思想相互融合，共同促进学生思维的成长。

我认为，通过本课的教学，应当使学生明白一一对应思想不仅指一个数对应一个物体或一部分物体，同时一组数也可以对应一个点;数形结合思想不仅仅是利用数字与数轴、线段图等帮助学生理解数与几何图形之间的互为表示，也是数字与几何图形的完美结合。

（二）“原点”这一知识点应在第几课时出现

如图1、图2所示，图1是教材第一课时从座位图抽象出的格子图，图2是教材第二课时直接出示的格子图。通过对比，我们发现图1没有原点（0，0），图2有原点（0，0）。

平面直角坐标系有三个关键要素：原点、方向、单位。第一课时教学中对方向和单位都有渗透，唯独缺了原点。我认为，这样不便于使学生更清楚地理解方格图。通过多方查找资料，我发现有一些教师在第一课时教授原点，这也给了我完善教材的勇气。于是，我将对原点教学的理解融入了教学设计，并希望通过实践来检验。

（三）学生学完本课后应有哪些新的收获

我一年前将本课的授课目标确定为：第一，结合座位图，理解用数对表示位置的必要性，体会数学与现实生活的密切联系;第二，经历数对的抽象过程，探索用数对确定位置的方法，体会数对与方格纸上的点的对应关系，能在方格纸上用数对确定位置，发展空间观念和推理能力;第三，在经历探索用数对确定位置的过程中，体会知识的价值，激发学生的兴趣。

通过对《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标2011版”）的深度解读，我发现“课标2011版”对“位置”教学的要求是“在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上点的对应。”“需要先在方格纸上标明正整数刻度，希望学生能够把握数对与方格纸上点（行列或者列行）的对应关系，并且知道不同的数对之间可以进行比较。这个过程有利于学生将来直观理解直角坐标系。”

我的解读是，从生活中抽象出数对来确定位置是本课的一个教学目标，但更要为日后的方格直角坐标系提供认识的基础。经过思考，我将教学目标重新设定为：结合座位图，使学生经历数对的抽象过程，理解用数对表示位置的必要性，探索用数对确定位置的方法。同时，在这个过程中理解用数对表示位置的简洁性和统一性。结合方格图，使学生发现其与数轴之间的关系，进而确定原点，使学生掌握直角坐标系雏形。结合方格图，使学生进一步掌握一一对应和数形结合的思想方法，并能借助这两种方法进行推理，进而解决问题。

与前一教学目标相比，重新设定的教学目标更具有数学味，更有深度。

二、对“确定位置”一课教学的再实践

基于对教材的再度分析，我将原来的教学设计进行了修改，并应用于实践。针对教学目标的达成和前文三个问题的实践，我选择其中的几个片段加以说明。

（一）体验经历，在感悟中渗透数学思想

教材中共提了四個问题，其中第二个问题（如图3）是把座位图抽象成方格纸，把座位抽象为格点，把座位的位置抽象为数对，这是本课的重点。在解决第二个问题的过程中，我和学生共同经历了方格图和数对的抽象过程，体验了一一对应思想和数形结合思想的应用，从数学思想的角度体会了用数对表示位置的必要性、简洁性、统一性。我依次出示了图3至图5，并进行了如下教学。

1.确定组和排的顺序

师：这是淘气班的座位图（图4），请找一找淘气坐在哪个位置上。

（学生有不同说法）

师：淘气的位置为什么会有不同的说法？

生：因为没有给淘气班的座位分几组，分几排，所以会有不一样的说法。

师：同意他的说法吗？请你给淘气班分一分小组，第一组在哪里？

生：从左边第一列为第一组……（依次分完6组）

师：我们在数学课上规定按照从左到右的顺序来分组（图5）。

（按照分组的方法继续分排，形成图3左边图的样子）

2.确定淘气的位置

师：淘气班不仅从左到右分好了组，而且从前到后分了排。规定好了组和排，我们就形成了带有组和排的座位图，看看座位图你能重新说说淘气坐在第几组第几排吗？

生：第2组第4排。

师：还有不一样的想法吗？

生：没有。

师：为什么这张座位图，淘气和笑笑的位置都只有一种说法？

生：因为座位图里，规定了组和排的顺序。

师：（小结）用序数规定了组和排的顺序，同学们的位置只能有一种说法。

3.直观感受方格图形成过程（见图6）

师：请看大屏幕，（课件动态显示，见图6）每个座位都有一个纵向和一个横向的位置，把他们用线连接起来就形成了这样的方格图（6-1）。横线和纵线会形成交叉点，而这些交叉点就是同学们的位置（6-2）。这张由横线和纵线组成的座位图，每一条纵线和每条横线都对应一个数字（6-3）。

师：方格图从左到右横着写的数表示什么？（第几组）

师：序号1在最左边，表示第一组，也就是按组分的起始组。

师：从前往后竖着写的6个数字，表示什么？（表示6排）

师：因为第1排在最前面，所以在最下面，我们以后画这样的图的时候，数字的位置也是从下向上写。

师：看完这个动画，你发现同学们的座位与方格图之间的关系了吗？

生：每个同学的座位是方格图上横线和纵线的交叉点。

师：在数学学习中，我们可以把每位同学看做一个点，你发现数对与方格图之间的关系了吗？

生：每位同学代表一个点，用一组数对表示，数对在方格图中的位置就是同学在教室座位图中的位置。

师：对，一组数对对应方格图中的一个点，同样对应座位图中的一位同学，同学的位置、数对、方格图中的点是一一对应的。

生：一组数对代表一个同学的位置，同学的位置可以用2个数字表示，也可以用方格图中的点表示，说明数对和图形是有联系的。

师：对，数字可以化成图形的形式来让同学们看得更清楚，图形也可以化成数字的形式来让我们更便于统计。

学生通过上面三个环节自然地由浅入深，由生活抽象到数学的层面，由单一的数学知识引申到深层次的数学思想方法的领悟，真正成为了学习的主人。

（二）以疑促解，在对比中渗透数学思想

学生在认识方格图之前对数轴有着丰富的体验，数轴和方格图相比，是一维和二维的关系。经过思考，我充分发挥学生的主动性，让学生发现方格图与数轴之间的关系，发现确定原点的必要性，从而在学生脑海中形成了直角坐标系的雏形。

首先，我出示图1和图7（数轴），请学生观察方格图和数轴，“你能想到什么问题？”学生回答：“二者有什么关系？有什么相同点？不同点？”我把问题一一记录，要求学生自己认真观察，然后进行组内交流，最终形成统一的思路：數轴只有一行，可以用一个数表示一个点，将两根数轴互相垂直，画出格子线，就会形成格子图。之后，我引导学生：两根数轴相交的点是0，这个0既是横轴的起点，也是纵轴的起点，所以也是方格图的起点。依据数对的表示方法，我们把方格图的起点定为（0，0），这个点也叫原点。

这一教学片段中，学生自己提出问题，自己解决问题，最终形成了图8，即平面直角坐标系的雏形。这一图看似只是增加了一个原点，但前后方格图在学生心中的意义是不一样的，没有0的方格图只是座位图的抽象图，有原点的方格图具备了平面直角坐标系所有的特征，它是高于生活的。

（三）直观联想，在习题中渗透数学思想

在变式习题的设计中，我结合数学思想设计了一道习题：

有五个点，分别是A（2，2）、B（2，6），C（3，7）、D（5，7）、E（5，5），现将这些数对所表示的点描出来，再把对应的字母的数对标注在旁边，依次连线。然后，将数对中的两个数交换位置，形成新的数对，分别是A（2，2）、B'（6，2），C'（7，3）、D'（7，5）、E（5，5）。最后，画图，回答问题：

（1）所有点连线后形成了（）形？

（2）这是个（）图形？

（3）对称轴在哪里？

（4）对称轴的两边的点有什么特点？

（5）两组数对有什么特点？

学生将所有点连线后会发现，图形是一个心形。这是学生可以直观看得见的图形，因此学生理解起数学思想来会更方便。同时，这还是一个轴对称图形，对称轴是经过AE两点的直线，对称轴两边的点互为对称，相对称的点的数对的两个数字前后颠倒。此题融合了一一对应思想和数形结合思想，使学生明白，一组数对对应一个点，数对中的两个数前后位置发生变化，点的位置也会发生变化，变化后的点是对称的，这样能够拓展学生的思维。

与此同时，在拓展环节，我带领学生展开了合理联想，使学生明白：数对来源于生活，但不仅仅应用于生活，它是人类智慧的结晶，是人类对生活现象的高度总结。

师：同学们，再来看这张方格图（图5），其实，方格图不仅可以表示班级的座位图。同学们可以想象一下，如果全校同学整齐划一地坐在操场上，是否可以用方格图表示。（可以）

师：因为自然数是无穷尽的，看来，这张方格图想画多大就可以画多大，操场上的同学都可以用方格图上任意一个点来表示。请同学们把你们脑中的方格图无限扩大，用它把屏幕上的地球仪包上（课件出示地球仪），你们发现了什么？

（方格图变成了地球仪上的经纬线，地球上任何一个点的位置都能用数对表示出来。）

师：是的，数对知识的背后是一一对应和数形结合思想的支撑。确定一个小小的教室里的座位需要一一对应和数形结合的思想，确定60亿分之一的你在地球某一处的位置同样需要一一对应和数形结合的思想，数学思想是打开数学大门的钥匙，同学们要善于发现和运用它。

至此，一幅更大的方格图让学生对数对甚至是数学思想有了更深的认知，他们的数学抽象能力逐渐提高，课堂中的数学味道也越来越浓。通过这两道题，我感受到了学生的感觉是震撼的，内心深处是有触动的。

实践证明，融入数学思想的课堂更利于学生思维的生长，更利于教师今后的数学教学。在教学实践中，数学教师以此为抓手，可以和学生一起打造出精彩的课堂。

（责任编辑：杨强）