模态求解中的若干问题研究

周利 王志伟 杨敏

摘 要：机械结构不仅需要有良好的静态承载能力，还需要有优异的动力学性能。模态分析是结构线性动力学的分析基础，文章采用有限元法针对影响模态分析精度的预应力（螺栓预紧力和压力容器）、摩擦系数、介质（液体或者气体）、网格粗糙度进行了详细的对比分析，结果表明模态对较小的预应力以及摩擦系数更加敏感，湿模态频率比采用质量点法计算的频率模态较低，当单元尺寸较小时，模态频率变化不明显，当单元尺寸超过某一限度时，模态频率出现丢失甚至错误。

关键词：模态分析;预应力;摩擦系数;虚拟质量法;单元尺寸

中图分类号：U467  文献标识码：B  文章编号：1671-7988（2020）13-164-05

Research on Several Problems in Modal Solution

Zhou Li1， Wang Zhiwei2， Yang Min1

（ 1.Shaanxi Automobile Group.， Ltd.， Technical Center， Shaanxi Xi'an 710200;

2.Shaanxi Heavy Duty Automobile Co.， Ltd.， Shaanxi Xi'an 710200 ）

Abstract： Mechanical structures not only need to have good static carrying capacity， but also have excellent dynamic performance. Modal analysis is the basis of structural linear dynamics， In this paper， the influence of prestress （bolt pretension force and pressure vessel）， coefficient of friction， medium （liquid or gas）， mesh roughness on modal analysis accuracy is studied by finite element method. The results show that the modal mode is more sensitive to the smaller prestress and friction coefficient， the wet modal frequency is lower than the frequency mode calculated by mass point method， the modal frequency change is not obvious when the element size is small， and the modal frequency is lost or even wrong when the element size exceeds a certain limit.

Keywords： Modal analysis; Prestress; Coefficient of friction; Virtual mass; Element size

CLC NO.： U467  Document Code： B  Article ID： 1671-7988（2020）13-164-05

前言

模態分析是结构分析的重要内容，在航空航天、汽车、轮船、电子电器等行业是必须考察的重要项目。模态分析是动力学分析的基础，比如在进行频率响应分析、随机响应分析、响应谱分析之前，必须先进行模态分析;模态分析也是减震隔振的重要依据，通过比较模态频率而避免产生共振;模态分析还可以用于指导试验，如帮助确定加速度计的最佳安装位置、监测结构疲劳寿命、用于有限元模型与试验结果的对标等。

模态包含频率和振型，每一阶模态对应着特定的振型，频率和振型表征了结构的固有属性，主要与结构的质量分布和刚度分布有关，影响质量分布的因素有材料密度、结构形状、质心坐标等，影响刚度分布的因素有边界条件、结构形状、材料弹性模量、接触等。陈长盛等[1]研究了螺栓连接对结构模态以及传递特性的影响，发现当预紧力一定时，固有频率随着螺栓刚度的提升增大。伍济钢等[2]发现如果摩擦系数的变化引起了模态参数的有效刚度，那么摩擦系数对该阶模态的影响就较大，反之就很小。梁建术等[3]发现，流固耦合作用对波纹管固有频率有较大影响，为管道振动提供了重要的动力学依据。本文将研究影响模态的常用几个因素：预应力（螺栓预紧力、压力容器压力）、摩擦系数、液体介质的简化以及单元尺寸对模态的影响，对有限元建模提高模态分析的精确性具有重要意义。

1 模态基本理论

对于自由度为N的无阻尼系统的振动，其自由振动的微分方程为：

（1）

式中：M为质量矩阵;K为刚度矩阵;X为位移向量。对上述方程进行拉式变换，得到：

（2）

对于时不变系统，s=jw，带入上述方程（2）中得到：

（3）

为了将上述方程解耦，通过模态矩阵，建立物理坐标与模态坐标的关系，为：

（4）

式中?为由各阶模态组成的模态矩阵，Q为模态坐标矩阵。将4式带入3中，并且在方程两边乘以得到?T，得到方程为：

（5）

式中， Mr、Kr为模态坐标下的模态质量矩阵和刚度矩阵，均为对角阵。对于第i阶模态，其表达式为：

（6）

式中，Mr，i、Kr，i为第i阶模态质量和模态刚度，w为对应的角频率，w/2π即为对应的自然模态频率。

2 预应力对模态的影响

本文采用有限元方法对结构进行建模，前处理软件采用HyperMesh，求解器为OptiStruct，后处理软件采用Hyper View。模型为某车型用油罐支架，截取一段车架纵梁。由于纵梁和油罐支架均为薄板构件，将上述支架抽中面并划分为平均单元尺寸为8mm的网格单元，主要为四边形单元和少量三角形单元。为简化计算，将螺栓简化为两端抓取一圈rbe2单元中间通过截面半径为16mm的结构，预紧力通过一维梁单元施加。在油罐支架的内表面与车架纵梁的外表面建立接触对，油罐支架的内表面为从面，车架纵梁外表面为从面，设定接触为滑动摩擦，接触摩擦系数为0.3;为了横向对比，将预紧力分别设定为0N、50000N、10000N、20000N、40000。约束纵梁两端节点全部自由度，便于计算比较，仅计算结构的前六阶模态。有限元仿真模型如图1，首先对螺栓施加预紧力，进行非线性静力学分析，计算完成后，将施加预紧载荷后结构的刚度矩阵传递到后续的模态分析中，即将非线性分析的最后结果作为模态分析的基态，预紧力为0N时的模态振型如图2所示。

经过计算发现，预紧力的施加对模态振型的影响并不显著，但是对频率的影响如表1所示，预紧力由0增加到5000N时，第一到第六阶模态均有较大幅度的增加，并且阶次越高，频率增加的幅度越大，高阶次模态对螺栓预紧力更加敏感;预紧力从5000N增加到40000N过程中，第1到6阶频率基本没有变化，这说明模态频率对较小的预紧力更加敏感。压力容器的中预压力对模态影响的研究方法、原理和过程类似，这里不做详细介绍。

3 摩擦系数的影响

采用上述油罐支架纵梁模型，由于模态对较小的预紧力更加敏感，所以设定所有的螺栓预紧力为5000N，设定摩擦系数依次为0、0.2、0.4、0.6、0.8以及绑定接触，试验结果如表2所示。当摩擦系数由0增加到0.2时，前六阶模态振型未发生变化，模态频率发生了明显变化，模态阶次越高，模态频率变化的幅值越大，尤其是第四阶模态频率发生了显著的变化。当摩擦系数由0.2增加到0.4时，模态振型无变化，模态频率出现了微小的幅度的降低。当模态系数由0.4增加到0.8时，模态振型不变，模态频率无变化，可见当摩擦增加到一定数值时，模态频率不在受到影响。当采用绑定连接时，模态频率显著高于其它摩擦系数下的频率。由此可以判断，随着摩擦系数的增加，模态频率随之增大，模态阶次越高，对摩擦系数越敏感;当摩擦系数增加到一定值是，模态频率不在随着摩擦系数发生变化;绑定连接显著的增大了接触面的刚度，显著的影响模态频率。

4 介质

在许多实际的结构中，既有液体也有固体，比如液体火箭发动机、汽车燃油箱、水中的轮船等，为了简化计算，通常在有限元建模时采用质量点的方式代替液体，然后用rbe3单元将质量点与单元节点连接。然而通过与试验结果对比发现，这种简化方式造成求解的模态与实际测试结果偏差较大，为后续的动力学求解造成较大基础误差。为了解决这一问题，陈伟等[4]采用声固耦合的方法研究了流固耦合模态，但是付广等[5]发现，目前考虑流体的方法中，虚拟质量法的精度最高，本文采用虚拟质量法计算流固耦合模态，探讨不同液面高度时，与质量点法计算的模态的差异。

虚拟质量法主要用来考虑水动力效应对结构响应的影响，液体会在湿表面产生附加质量，该质量不是流体的实际质量，而是等效附加质量，该方法不需要对流体区域划分流体网格。该方法假定流体无粘、无旋、不可压缩。具有统一的密度，自由面压强为零，不考虑重力，晃荡频率低于结构的基频，并且不考虑非线性效应和气弹效应。

由Helmholtz和Laplace方程可以求得速度势和压力场：

（7）

（8）

式中：

ui—任意节点ri的速度向量;

Aj —结构表面上某微元的面积;

σj—节点rj处的单位面积体积流量向量;

eij—从点i到j点的单位向量;

pi—任意面Aj上的压力;

ρ—流体密度。

由上式可得矩阵x和Λ，故：

（9）

（10）

式中F为节点压力，根据力矩阵、质量矩阵与加速度矩阵之间的关系：

（11）

联合可求得虚拟质量矩阵为：

（12）

流体以虚拟质量矩阵出现在耦合方程中，耦合方程可表示为：

（13）

式中：

M—结构质量矩阵;

MA—流体虚拟质量矩阵;

K—结构刚度矩阵;

KA—流体对结构的刚度矩阵。

一般情况下，KA与结构自身刚度相比较小，可以忽略。由上式可计算出基于虚拟质量法的耦合特征值。

本算例采用长、宽、高均为100mm的顶部开口的箱体，箱体壁面厚度为1mm;将箱体抽中面，用四边形单元划分，单元尺寸为5mm，约束箱体的底角四个节点自由度123456，模型如图3所示。为了研究的便利性，分别计算当液面高度h为箱体高度的1倍、0.5倍、0.25倍时结构的模态，采用质量点法和虚拟质量法考察模态变化规律。

由表3可见，相同高度液面下，采用虚拟质量法计算的结构模态比采用质量点法计算的结构模态普遍较低，随着液面高度的降低，差距逐渐缩小。

5 网格粗糙度的影响

由公式6可知，对于多自由度系统，通过有限元离散成有限数量节点，节点自由度的多少决定了模态阶次和振型;影响节点自由度的主要因素有单元的形状、单元尺寸、单元阶次等，常用单元形状三角形单元、四面体单元、四面体单元、六面体单元、三棱柱单元等，常用的单元阶次为1阶单元和二阶单元。在实际使用过程中，钣金件应用非常广泛，尤其在汽車结构中，以三角形和四边形单元混合建模较为常见。

本算例采用長100mm、宽1mm、厚0.2mm的薄板件，约束零件的两端自由度123456。分别采用单元尺寸为1mm、5mm、10mm、20mm、50mm划分零件，为了方便对比，只考察结构的前6阶模态频率和振型。如表4和表5所示，网格尺寸为1mm、5mm、10mm时，前3阶模态频率相差不大，但是第4、第5和第6阶模态频率差异变大。当单元尺寸增加到20mm，振型基本保持不变，但是频率已经与上述的三种单元尺寸相差较大，随着模态阶次的提高，差异更加明显。当单元尺寸增加到50mm时，模态振型出现显著改变，尤其是当单元尺寸为50mm时，振型已经和单元尺寸为1mm、5mm、10mm、20mm时完全不同，模态频率相差数十倍，并且随着阶次的增加差异更加明显。由于模型的对称性，当单元尺寸为1mm时，模型的第一阶模态和第二阶模态振型和频率基本相同，实际可以认为是同一阶模态，但是随着单元尺寸的增加，振型仍然为对称状态，但是频率已经有较大差异。此可见，当单元尺寸为1mm、5mm、10mm，模态频率和振型差异不明显，即模态对网格尺寸不敏感，但单元尺寸增加为20m时振型基本一致，但是频率已经发生了较大的变化单元为50mm时，模态和振型均发生显著差异;即模态对网格已经非常敏感。

6 结论

本文采用有限元法研究了预应力（螺栓预紧力和压力容器）、摩擦系数、介质（液体或者气体）、网格粗糙度对模态分析精度的影响，结果表明：结构模态对较小的预紧力更加敏感;随着摩擦系数的增加，模态频率随之增大，当摩擦系数增加到一定值时，模态频率不再随着摩擦系数发生变化;相同高度液面下，采用虚拟质量法计算的结构模态比采用质量点法计算的结构模态频率低，随着液面高度的降低，差距逐渐缩小。当网格尺寸较小时，模态对网格尺寸不敏感，当网格尺寸较大时，模态频率和振型出现明显变化，当网格尺寸超过一定范围时，会导致模态失真甚至错误。

参考文献

[1] 陈长盛，王强，柳瑞锋，李国平，周璞.螺栓连接对结构模态及传递特性影响研究[J].振动与冲击，2014，33（02）：178-182.

[2] 伍济钢，邵俊，周根，阳德强.摩擦系数对螺栓联接机匣模态频率的影响研究[J].噪声与振动控制，2020，40（01）：5-8+18.

[3] 梁建术，苏强，李欣业.基于ANSYS/Workbench流固耦合输液波纹管的模态分析[J].机械设计与制造，2013（02）：91-93.

[4] 陈伟.水下结构流固耦合及声辐射数值方法研究[D].华中科技大学，2009.

[5] 付广，梁静强，罗慧娟，等.汽车燃油箱流固耦合模态分析[J].汽车科技， 2016（2）：25-28.