“大概念”统摄下的数学整体性教学

韦璐

【摘要】在数学课程中，“大概念”应当贯穿于数学课程的全部，能被学生认知、理解并在理解的基础上进行积极的应用。“大概念”能让学生广泛地吸纳数学知识，能引导学生进行“有意义学习”，能让学生快速有效地运用数学知识。指向大概念、围绕大概念、聚焦大概念，要突破单课思维，引导比较归纳，纵向横向拓展。通过“大概念”教学，占领数学学科教学制高点。

【关键词】小学数学 大概念统摄 整体性教学

在小学数学教育领域，“大概念”是指“一个学科领域中最为精华、最优价值、最为核心的学科内容”。“大概念”是对学科核心概念理解的具体表述，反映了数学世界中的自然法则，体现了对数学世界理性的认知视角，是数学观、数学价值观在数学教育中的具体展现。在数学课程中，“大概念”应当贯穿于数学课程的全部，能被学生认知、理解并在理解的基础上进行积极的应用。用“大概念”来组织数学教学，已经成为数学学科课程的重要特点和标识。

一、对数学学科“大概念”的认知

1.数学学科中“大概念”的提出

“大概念”是指“有组织、有结构的数学知识和模型，它们能在较大范围之内解决相关的数学问题，能让离散的数学知识结构化。”“大概念”最早可以上溯到美国教育心理学家布鲁纳所提出的“学科本质”。布鲁纳深刻地指出，“任何一门学科的教学，都必须让学生将学科中那些最为广泛、最强有力的适应性观念教给学生，这些观念也就是‘学科本质”。在数学教学中，教师不应该给学生支离破碎、脱离生活的数学知识，而应当运用恰当的方法，帮助学生形成对世界的数学化理解。换言之，“大概念”教学应当培养学生“数学的眼光”“数学的大脑”。借助大概念，引导学生分解数学问题、设计数学深度的思考、探究活动，引导学生的数学学习不断进阶，从而提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

2.数学学科中“大概念”的大小

数学概念在数学学科中是以层级的形式呈现的，因而，数学学科中的大概念是相对的。从大的方面来说，数学观、数学价值观、数学学习观等都是大概念;从小的方面来说，每一个上位的数学概念都是“大概念”。在数学学科中，一个数学概念总是包含若干个其他的数学概念，同时，这个数学概念总是包含于其他的若干个概念之中。比如“因数和倍数”这一概念是包含于“公因数和公倍数”之中的，而“因数和倍数”概念却是建立在“乘法和除法”概念之上的。因此，数学学科中的“大概念”的“大小”是相对的。一个概念可以归入一个更大的概念之中，而这个更大的数学概念却又总可以归入一个更为广阔、更为宽泛的概念之中。由此，形成了数学严谨的、具有普遍关联的概念结构。这些概念结构是数学学科的灵魂。

3.“大概念”与学科核心素养

数学学科中的“大概念”具有两个最为重要的特性：“核心性”与“共通性”。数学“大概念”是数学教学活动的基轴、核心。通过一个个的数学“大概念”，将零散的数学知识串珠成链，从而助推学生的数学问题解决，助推学生数学核心素养的生成。数学严谨性、结构性的大概念，能让学生的数学学习实现螺旋式上升、层级性攀爬。学生在习得大概念的过程中，其数学思维得到了磨砺，比如科学性、连贯性、条理性和清晰性，比如典型的数学问题、典型的分析方法、典型的思维方式，等等。比如在教学“因数和倍数”这一对大概念时，学生不仅认识到“因数和倍数”的内涵，更理解“因数和倍数”的相关关系，习得了列举的数学思想方法等，这些都是学生数学核心素养的重要组成部分。

二、数学教学中“大概念”的价值和意义

数学教学内容应当围绕数学大概念来组织和实施。无论是教材的编写还是教师的教学操作，都应凸显大概念的价值和意义。数学教学中的“大概念”是撬动课堂转型的一个支点。在数学教学中，运用“大概念”，能让学生广泛地吸纳数学知识，能引导学生进行“有意义学习”，能让学生快速有效地运用数学知识。

1.广泛吸纳数学知识

数学知识无论从广度、深度上来说，都是动态的、发展的。数学学科不是不可争辩的“真理集合”，而是一种动態的、可误的、生长性的科学。当下，数学知识更是以几何级数的增加而蔚为壮观。面对纷繁复杂的数学知识，面对动态的、生长性的数学知识，学生需要的不仅仅是掌握某一具体知识，更是要掌握能建构该知识领域的“大概念”。通过某一个或者某几个数学大概念，学生能建构一个蜘蛛网式、具有关联性、发散性的知识领域。从这个意义上说，大概念教学有助于学生广泛地吸纳数学知识，从而实现举一反三、触类旁通的教学效果。学生置身于大概念学习之中，能形成整体性的思维能力。

2.实现“有意义学习”

学生的数学“大概念”学习是一种“有意义”的学习。传统的数学学习，往往是以课时为单位，而大概念的学习，学生不仅要着眼于课时，更要着眼于单元，着眼于学段，甚至着眼于整个数学学科。从这个意义上说，大概念教学有助于学生进行整体性、系统性、结构性的数学学习。比如教学“整数加减法”“小数加减法”和“异分母分数加减法”时，尽管法则的表现形态不同，但其蕴含的算理——“计数单位相同才能直接相加减”却是相同。教师在教学时不仅要引导学生掌握具体的运算法则，更要引导学生掌握这些计算法则背后的算理，体会到法则之间的内在算理的一致性，这就是大概念的有意义性教学。

3.有效“运用知识”

在《人是如何学习的》一书中提到了“专家”与“新手”的差异。较之于新手，专家就是那些在特定的研究领域具有系统、完整的专业概念知识。从根本上说，大概念有助于学生能快速、有效地提取知识、运用知识。换言之，在大概念学习之中，数学知识是处于动态的、活化状态之中的，其敏感度、同化力、辨别性都是相当高的，有助于学生快速有效地理解、记忆、组织、推理、再现以及运用数学知识。比如当学生在掌握了“梯形的面积公式”，并且认识到“三角形面积就是上底为零时的梯形面积、平行四边形的面积就是上下底相等的梯形面积”时，梯形的面积公式就获得了一种解释性、包摄性效用，就能广泛地应用于图形的面积计算。这样的大概念教学，不是静态的教学，而是动态的教学，结构的教学，发展性的教学等。

三、聚焦“大概念”的数学教学设计

“大概念”也被译为“大观念”，常常位于“课程学习中心”，或者说位于“知识金字塔顶端”的“核心概念、知识模型和学科大图景”。在数学教学实践中，教师要以“大概念”作为单位选择，突破单课思维，呈现数学教学的整体框架。站在“大概念”的视角，对数学教学进行整体谋划。要指向大概念、围绕大概念、聚焦大概念，通过“大概念”教学，占领数学学科教学制高点。

1.突破单课思维，厘清知识来龙去脉

美国著名教育家布鲁纳一再强调，“无论教师教学哪一门学科，务必让学生理解该学科的基本结构。”在数学教学中，教师要突破单课思维，考量数学知识点的来龙去脉。通过考量数学知识点的来龙去脉，让学生感悟支撑起这一类知识点的大概念。以大概念为视角，梳理相关数学知识，形成有意义的、关联性结构整体。比如教学“圆柱的侧面积”“圆柱的体积”之后，笔者将长方体的侧面积、正方体的侧面积、长方体的体积、正方体的体积等融入其中，引导学生进行比较，从而建构直柱体侧面积、体积的统一公式：S=Ch、V=Sh。不仅让学生从公式的表现形式上进行大概念认知，还从公式的内在实质上助推学生的大概念理解。笔者借助多媒体课件，让圆柱体、长方体、正方体的底面周长、底面积向上运动，学生直观地看到“线积成面”“面积成体”的动态生成过程。这样的过程，使得学生对侧面积、体积的认知不仅仅只是停留在公式的记忆上，而是形成了一种本质的、核心的、动态的数学大概念理解。

2.引导比较归纳，引导学习不断进阶

大概念的数学教学设计，要求学生的数学学习要秉持多个视角，突破单一的方法局限，进行知识比较、方法比较，从而归纳小结出大概念。以学科大概念学习为学习进阶主线，强调核心概念学习的重要性。大概念的学习应当是动态的、开放性的，应当是有深度的，是一种整体意义的呈现。比如教学“百分数的认识”中的“百分数单位”，从类结构、类方法视角看，组成一个数的无疑是若干个计数单位。无论是整数、小数、分数还是百分数都有计数单位。因而，“计数单位”就成为这些数学教学内容的“大概念”。教学中，笔者将这些相关的内容进行对比。通过对比，学生发现，“单位都离不开1”，比如分数的计数单位是几分之一，百分数的计数单位是1%，小数的计数单位是0.1、0.01、0.001等。通过比较归纳，学生建构了“数的单位”，深刻理解了计数单位的内涵。在数学教学中，教师不仅要引导学生对相关的数学知识进行归类分析，还要引导学生对相关的数学知识进行聚类分析。通过归类与聚类，进一步将数学知识中蕴含的大概念展示、透析出来。

3.纵向横向拓展，分层递进建构概念

在数学教学中，如何避免数学知识的碎片化、零散化？笔者认为，必须借助大概念引导学生进行纵向横向拓展，从而让学生递进建构数学的层级概念。作为教师，既要引导学生进行横向勾连，又要引导学生进行纵向拓展。通过纵向横向的拓展、勾连，让学生的数学学习螺旋递进，从而建构具有层级性的大概念。比如“认识厘米”“时、分、秒”“角的认识”“公顷和平方千米”等内容，教师可以相机渗透、孕伏“大数量中包含多少个小数量”。在每一册的知识教学中，教师都要始终渗透“包含”这一大概念。只有当数学知识不断地被重构，数学大概念才能被有效地凸显。在教学中，通过横向纵向的勾连、拓展，教师分层递进建构数学大概念，从而让学生初步形成数学的态度，掌握数学的方法，理解数学的精神。通过分层递进，大概念的深刻内涵能被学生深刻理解，并能被学生广泛地应用。

德国著名数学家菲利克斯·克莱因在《高观点下的初等数学》中深刻指出：“数学教师应具有较高的数学观点，观点越高，事物就越显得简单。”把握数学大概念，能让教师在数学教学时站得高、望得远。着眼于数学学科大概念的教学不仅是一个知识结构化的过程，还是一个学生思维结构化、认知结构化的过程。“大概念”在数学教学中不仅具有工具性教学价值，还具有本体性教学价值。

【参考文献】

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