基于数学思想方法引领的教学设计比较——以“小数的初步认识”为例

江苏扬州市工人新村小学 高峰龄

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）在课程总目标中要求“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。在实施建议中更是提出“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和运用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。如抽象、分类、归纳、演绎、模型等”。

数学思想以教材内容为载体，蕴涵其中。教师只有深度研读，挖掘教材中的数学思想，并用以引领教学，才能让学生逐步感悟、运用数学思想。

以苏教版三年级下册“小数的初步认识”为例，教材从测量桌面的长度开始，在整数不能表示时，引入整数部分是0的小数：5分米是米米还可以写成0.5米。以分母是10的分数为桥梁，建立小数的认识。教材以人民币为媒介，认识整数部分不是0的小数。在建立小数概念时运用了直观手段，如直条图、正方形涂色等，在操作中提升对小数的认识。练习中大多数借助“形”构建分数、小数的联系。

在学生已经认识万以内整数、知道相邻两个计数单位之间的进率和初步认识分数的基础上，教材从学生已有生活经验出发，借助“人民币”和“米制”两种具体的模型，帮助理解小数的意义。

教材的编排蕴涵了哪些数学思想？教学中侧重不同数学思想的感悟、渗透、运用，形成的主体教学设计差异很大。笔者在不同数学思想观照下进行了不同教学设计的尝试。

一、抽象思想观照下的教学思考

课标第一学段目标中指出：经历从日常生活中抽象出数的过程，初步认识分数和小数。

三年级学生初步认识小数，在“人民币”和“米制”的具体情境下理解小数的意义，但离开了这样的情境理解小数就有了困难，此时需要上升至小数概念的抽象理解，即经历“分”不同图形和“去”具体量等活动，发现其本质属性，完成由生活到数学抽象的过程，促使学生形成对小数意义的抽象理解。

在抽象思想的引领下，借助分数、小数之间的关联，由生活实际模型走向抽象图形、进而认识小数，成为本设计的主线。

（一）建立联系，抽象小数意义

1.量课桌（5分米），得到的结果不是整米数，怎样表示？可以把1米分一分，用分数表示为米，还可以用小数表示为0.5米。你能在直条图上表示0.4米吗？说说怎么想的？

2.如果用一个长方形表示1米，你能表示出0.3米吗？

如果用一个长方形表示1元，你能表示出0.3元吗？

3.如果用一个长方形、正方形或圆表示1千克，你能在图形中涂色表示0.7千克吗？

表示1千克的图形不同，为什么涂色部分都可以表示0.7千克？

4.如果一个长方形表示1，涂色部分用小数表示是多少？为什么？（如图：图式表示小数意义）

在具体生活情境基础上，借助直条图、长方形图等，从分数、小数之间的关系入手，抽象出小数意义，进而去掉带有单位的具体量，更具抽象性地理解整数部分是0的小数意义，回归到抽象的数。

（二）运用分合，抽象小数意义

整数部分不是0的小数（带小数），教学中借助具体情境、图式等，运用“分、合”思想，让学生理解整数部分与小数部分表示的不同意义。学生经历“分与合”活动，积累相关经验，从具体逐步抽象出带小数意义。

1.一支圆珠笔1元2角，是多少元？

2.如果用1个正方形表示1元，用这个正方形表示1元2角够吗？为什么？

3.一本笔记本3元5角，是多少元？借助图形怎样表示？为什么需要4个正方形？

学生运用正方形图自觉把带小数“分”成两个部分，很好地抽象出整数部分和小数部分的意义，再运用正方形图把两个部分“合”起来，进一步抽象带小数的意义。

4.你能在数轴上找到2.7吗？你是怎么想的？

学生从具体的量抽象出数，并在数轴上表示，需要调用前面的经验，运用“分合思想”，借助数轴进一步感知小数意义。

以生活情境为载体，从带有单位的具体数量入手，运用经验，构建分数、小数的关系，用不同图形表示小数，最终回归到抽象的数。

学生经历观察、比较活动，适时发现、归纳小数本质属性，在现实模型帮助下，逐步剥离具体情境，回归小数意义本源，完成小数认识的抽象过程。

二、推理思想观照下的教学思考

“小数是十进制计数向相反方向延伸的结果”，“小数产生的本原在于计量的需要，并非分数概念的附庸”。课标提出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。史宁中教授认为：从条件出发，借助归纳推理“预测”数学结果，借助演绎推理“验证”数学结果。演绎推理的定义：从假设和定义出发，按照某些规定了的法则所进行的前提与结论之间有必然联系的推理。

在学习小数之前，学生已熟悉整数的数位名称和计数单位，有“十进制”的知识经验，理解整数相邻两个计数单位之间的进率是十，能够使用计数器正确表示整数。在此基础上，学生经历在计数器上拨珠的活动，由合情推理提出猜想“个位和它右边一位，它们的计数单位之间是不是也是十进制的关系”，进而通过分数意义、现实生活模型等，验证猜想的正确性。

以计数器为媒介，以“十进制”为前提，以推理思想为指导，经历“猜想——验证”过程，初步认识小数，成为以下设计的主线。

（一）“玩”计数器，熟悉进率

计数器是学生学习认数的重要工具，学生在“玩”计数器的活动过程中，不仅可以看到不同的数位，还能深刻理解不同计数单位间的进率，为推理小数意义提供前提。

1.在计数器上表示“1”（学生在个位上拨一颗珠）。

在计数器上表示“10”（学生在十位上拨一颗珠）。

在不同数位上拨1颗珠，表示的数不同。不同的两个数之间有什么关系？

个位上拨满几颗珠就可以进到十位？

学生通过在计数器个位、十位拨珠，回顾相邻两个计数单位间的进率，理解“满十进一”。

2.在计数器十位上拨满几颗珠就可以进到百位？学生操作：十位上拨满10颗珠后向左边百位进一。拨去十位上的10颗珠，在百位上拨1颗珠。

3.同桌相互玩“满十进一”规则下的拨珠游戏。

4.如果千位上有1颗珠，表示1000，你能在百位上拨珠表示1000吗？百位上要拨几颗珠，千位上的才能向右退一位到百位。百位上10颗珠表示“10个百”，也就是“退一当十”。

5.同桌相互玩“退一当十”规则下的拨珠游戏。

学生“玩”计数器，在“进与退”的规则下，很清晰地理解相邻两个计数单位之间的关系，为推理小数的意义做好准备。

（二）“变”计数器，推理新数

学生具备了理解整数范围内数位、计数单位、位值原则等前提条件，在计数器的辅助下，能够猜想小数的意义，进而运用分、小数之间的联系加以验证，以推理思想的渗透提升学生数学思维。

1.个位有1颗珠，还能继续向右退吗？

尝试：在个位的右边一位拨满10颗珠。

2.思考：这个数位上的1颗珠表示多少？为什么？

3.结论：个位上的1还能继续向右退一位，还是满足“退一当十”的游戏规则。

4.补全计数器，介绍“整数部分、小数点、小数部分”。

学生通过“玩”计数器，在“满十进一”“退一当十”游戏规则下，遇到了新问题，通过推理，经历猜想、验证的过程，完善计数器，成功搭建整数、分数、小数之间的联系，初步推理出小数意义。在此基础上，需借助现实模型，深化意义理解。

（三）联系沟通，运用深化

在生活中，我们找到相关原型并解释应用，构建分数、小数之间的关系，利用现实生活中的实例，运用推理思想加深对小数意义的理解，尤其是对带小数意义的理解。

1.像这样把1平均分成10份，1份可以表示为0.1，在生活中还有很多这样的运用。比如：1元=10角，可以把1元兑换成10角，也就是1元平均分成10个1角，1角就是元，也就是0.1元。

以此类推，4角是多少元？

2.生活中还有哪些可以用一位小数表示的数据？

3.在计数器上尝试拨出1.7，为什么这样拨？

如果在十分位上添加1颗珠，是多少呢？再添加1颗珠，又再添加1颗珠呢？现在数是多少？

原来“满十进一”的游戏规则在小数范围内照样可以用。

学生经历合情推理与演绎推理的过程，初步认识小数的意义，很好地培养了学生推理能力，形成严谨的数学思维。

以上两种在不同数学思想观照下的教学设计思路迥异，笔者在班级教学中进行了尝试，均收到较好的效果。抽象思想、推理思想在小数意义概念的构建过程中所产生的作用，给予我们在教学中如何渗透、运用数学思想更多的启示。教师需对知识形成、发展的过程进行深入研读，发现其中蕴涵的数学思想，深刻理解数学思想的指导意义和运用价值，设计符合学生特点的教学设计，帮助学生获得基本数学思想。