PISA理念下学生表征能力的培养解析

2020-07-24高小军

文存阅刊 2020年7期

摘要：表征能力是PISA理念下的数学七种基本能力之一，以一次函数行程问题为例，谈图象的表征，引导学生用符号、图象等直观表示实际问题的数量关系及变化规律，培养数学表征能力。

关键词：PISA;一次函数;图象;表征;能力

表征，是PISA测评中数学七种基本能力之一，旨在解决问题的过程中，使用数学工具解释、翻译、描述数学问题和情境。

人教版数学八年级下册P108页有这样一道复习题：A、B两地相距25km。甲8：00由A地出发骑自行车去B地，平均速度为10km/h;乙9：30由A地出发乘汽车也去B地，平均速度为40km/h。（1）分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式;（2）乙能否在途中超过甲？如果能超过，何时超过？从反馈来看，学生不知如何画函数图象，其表征能力欠缺。

一、直观表征计时起点

1.以8：00为计时起点，求函数解析式

第（1）问，设甲、乙的行程分别为y1km、y2km，时间为xh。此题的一个难点之一就是学生不易确定计时起点，当教师启发学生确定8：00为计时起点0h，那么9：30即为1.5h，学生易得出：y1=10x（x≥0），y2=40（x-1.5）（x≥1.5），即：y2=40x-60（x≥1.5），其图象如图1所示。

甲、乙的速度分别为v1=10km/h、v2=40km/h，即行程y1、y2是关于时间x的一次函数，考虑到图象绘制的便捷性，尽量使其中一条直线过原点，此时的一次函数即为正比例函数，这样就需要考虑“哪个函数图象上的点（x，y）坐标为（0，0）”，含义为“当时间x=0時，行程y=0”，即计时开始时，甲（或乙）正准备出发，如图1。

2.以0：00为计时起点，求函数解析式

虽然以8：00为计时起点比较科学，但是仍有部分学生习惯以0：00为计时起点，于是引导学生思考讨论得出：y1=10（x-8）（x≥8），y2=40（x-9.5）（x≥9.5），即：y1=10x-80（x≥8），y2=40x-380（x≥9.5），如图2。

由于以0：00为计时起点，到了8 h时，甲才“正准备出发”，所以甲的图象过（8，0）;到了9.5 h时，乙才“正准备出发”，所以乙的图象过（9.5，0）。由于平面直角坐标系中，当横轴和纵轴表示的含义不一样时，单位一般是不一样的，于是横轴的单位1与纵轴的单位1可以不等长，于是可以在横轴上运用“压缩轴”符号“”表示如图2所示的横轴上0～8部分。

3.以9：30为计时起点，求函数解析式

学生提问：可否以乙的出发时间9：30为计时起点呢？学生经过分析求得：y1=10×1.5+10x（x≥0），y2=40x（x≥0），即：y1=10x+15（x≥0），y2=40x（x≥0），其图象如图3所示。

二、抽象表征计时起点

1.从计时以m时为起点来分析

①当0≤m≤8时，y1=10[x-（8-m）]（x≥8-m），y2=40[x-（9.5-m）]（x≥9.5-m），即：y1=10x+10m-80（x≥8-m），y2=40x+40m-380（x≥9.5-m）。

②当8

③当m≥9.5时，y1=10×（m-8）+10x（x≥0），y2=40×（m-9.5）+40x（x≥0），即y1=10x+10m-80（x≥0），y2=40x+40m-380（x≥0）。

综上，y1=10x+10m-80，y2=40x+40m-380。

2.从函数图象平移来分析

图1中的函数图象向右平移p个单位后得：y1=10（x-p），y2=40（x-p）-60。

①当p=0时，表示图象未平移，即计时起点为8：00。

②当p>0时，表示图象向右平移p个单位，即计时起点为8：00以前p小时。