填空题解题方法与技巧

耿广祥

数学填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有“小巧灵活、覆盖面广、跨度大”等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力。由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低。解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”。下面举例剖析常用的思维方法。

一，直接法

涉及概念、性质的辨析或运算等的填空题，直接从题设条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题。

解析：直接探究函数的周期性和对称性，借助周期性和对称中心简化求函数值，根据题意，f（x+1）为偶函数，则函数f （x）的图像关于直线z—l对称，则有f（-x）一f（2+z），若函数f（z+2）为奇函数，则函数f（x）的图像关于点（2，0）对称，则有一f（一x）=f（4 +x），则有f（x+4）=-f（x+2），设t=x+2，则f（t+2）一-f（t），变形可得f（t+4）=一f（t+2）=f（t），则函数f（x）是周期为4的周期函数，又由函数f（x）的图像关于点（2，0）对称，则f（1）+f（3）=0且f（2）=O，则有f（2）=-f （0） =0，可得f（4）=0，所以∑f（i）=

f（1）+f（2）+…+f（2 019）=[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+…+[f（2 013）+f（2 014）+f（2 015）+f（2 016）]+[f（2 017） +f（2 018） +f（2 019）]=f （1）+f（2）+f（3）=0。故答案为o。

升华：本题根据f（x+1）为偶函数，f（z+2）为奇函数，可得f（z+4）=f（x），结合函数的对称性可得f（1）+f（3）=0且f（2）=f（0）=f（4）=O，从而简化求得结果。

例2如图1，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积的最大值为

（单位：cm3）。

升华：直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键。本题直接构建三棱锥体积的目标函数，用导数法求最值。

升华：求双曲线离心率常见的有以下两种思维方法：①求出a，c的值，代人公式e=c;②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，转化为a，c的齐次式，然后转化为关于e的方程或不等式，解方程或不等式，即可得e的值或取值范围。

二.数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通過对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果。这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形。

升华：函数f（x）=x一[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，称f（x）为取整函数，利用[x]的意义可分段研究此函数的一系列性质，本题实质是取整函数添加了x=1的对称轴后与对数的复合函数交点个数的创新问题，熟练作出函数图像，运动变化可避免0

升华：数形结合法可直观快捷地得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数。应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的一一对应关系。

三，特例法

当填空题的已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值（特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出待求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。

升华：求值或比较大小等问题均可利用特殊值代人法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题。

四，构造法

首先应观察已知代数式的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景），从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速简化推导与运算过程。

升华：构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题。在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧。通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等。

五.正反互推法

多选型给出的命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论。这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论。

例8 已知。a b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与6成30°角;②当直线AB与a成60°角时，AB与6成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最小值为60°。其中正确的是___ 。（填写所有正确结论的编号）

解析1：反馈题设，构建满足条件的圆锥模型，借助线线所成角的定义、定理及结论进行逻辑推理判断。由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，设AC—BC=1，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图7所示。连接DE，则DE⊥BD，所以DE∥b，连接AD，在等腰△ABD中，AB =AD一√2，当直线AB与a成60°角时，∠ABD=60°，故BD=√2。又在Rt△BDE中，BE=2，所以DE=√2，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF=DE=√2，所以△ABF为等边三角形，所以∠ABF=60°，即AB与6成60。角，所以②正确，①错误。因为∠ABC=45°是斜线AB与平面BCD所成的角，由斜线和斜线在面上的射影所成角是斜线和在平面内不过斜足的所有直线所成角的最小角，即最小角定理可知③正确。因为可以满足平面ABC上直线a，直线AB与a所成的最大角为90°，所以④错误。故正确的说法为②③。

解析2：反馈题设，构建正方体模型建立空间直角坐标系，通过计算推理判断。由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形，如图8所示。不妨设图中所示正方体的边长为1，故|AC| =1，|AB |=√2，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆。以C为坐标原

点，以CD，CB，CA分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量a=（0，1，0），|a |=1。B点起始坐标为（0，1，0），直线6的方向单位向量b=（1，0，0），|b|=1。设B点在运动过程中的坐标为B'（cosθ，sinθ，0），其中θ为B'C与CD的夹角，θ∈[0，2π）。那么AB'在运动过程中的向量AB'=（-cosθ，-sinθ，1），| AB' |=√2。

升华：正反互推法适用于：一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假;二是多种知识点的汇总考查。前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断。利用正反互推法可以快速解决多选型问题。立体几何中的有关结论的判断和新定义的多项填空题等可构造模型借助定义、定理及结论进行传统法推理判断，还可构造模型借助空间向量的坐标运算求大小进而推理判断，这是由立体几何的“空间问题模型化、平面化和代数化”的本质属性决定的。

六，归纳推理法

做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论（或直接给出了几个结论），然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题。归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想。

例9 图9中是应用分形几何学作出的一个分形规律图，按照图9所示的分形规律可得图lO所示的一个树形图，我们采用“坐标”来表示图10各行中的白圈黑圈的個数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数），比如第一行记为（0，1），第二行记为（1，2），第三行记为（4，5），照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为__ 。

解析：本题中如何求出第四行中白圈与黑圈的“坐标”是解题的一个关键，也是一个难点，观察所给条件不难发现，可以运用特殊到一般的规律进行处理，进而求解由图9所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为2个黑圈1个白圈，记某行白圈z个，黑圈y个，坐标为（x，y），则第一行记为（0，1），第二行记为（1，2），第三行记为（4，5），第四行白圈数为2×5+4=14，黑圈数为5+2×4=13，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为（13，14）。故答案为（13，14）。

升华：这类问题是近几年高考的热点。解决这类问题的关键是找准归纳对象。如率题把函数的前几个值一一列举出来。观察前面列出的函数值的规律，归纳猜想一般结论或周期，从而求得问题。

（责任编辑 王福华）