测量平差中条件方程类型确定的分析
2020-07-23泥立丽王永
泥立丽 王永
【摘要】给出了测量平差问题中各类条件方程的确定方法。在测角三角网的平差中，正确无误地确定各类条件方程是一个难点问题。文中通过精选的四个测角三角网，从如何确定几何模型的类型、如何确定布网的目的、如何确定起算数据以及如何确定必要观测数等几个方面，分步骤地进行了详细的分析，并给出了思路。文中给出的方法，简单易行，不容易出错，适合于大多数的初学者和普通测量工作者。
【关键词】几何模型;起算数据;必要观测数;条件方程
在测量平差的教学工作中，对于一个几何模型，当确定了必要观测数后，就可以确定多余观测数并依此列出各种条件方程了。条件方程的类型非常多，包括图形条件、圆周条件、极条件以及坐标方位角条件等。如何正确地列出相应的条件方程是学生学习的一个难点，本文中，作者结合教学的实际精选了四个测角三角网，并给出了一些分析思路。
1 算例
如图1至图4所示，为四个测角三角网，求下列各测角三角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数，其中Pi为待定点，i为已知边，i为已知方位角，i取非负整数。
2 分析思路
2.1大体分析思路
（1）确定几何模型的类型
即根据三角网的观测值来确定它是测角三角网、测边三角网还是边角网。如图1至图4均为测角三角网。
（2）确定布设三角网的目的
即布设三角网是为了确定网的形状还是待定点的坐标。如图1中，其已知数据包括两个已知点坐标、一个已知方位角，可知该网是为了确定待定点的坐标;图2中，没有已知点，但包括两条已知边长，因此该网是为了确定形状和大小，由于大小固定的网是形状不变时的一种特例，因此该网的最终目的是为了确定形状。图3中，没有已知点，仅包括一条已知边长和两个坐标方位角，因此该网是为了确定形状。图4中，包括3个已知点，因此该网最终目的是为了确定待定点的坐标。
（3）判断已知数据是否为起算数据
已知数据未必是起算数据。在观测网中，为了实现布网的最终目的，已知数据是否起作用需要进行判断。如果起作用，则为起算数据。在图1中，为了确定待定点坐标，A、B两点和方位角0都是起作用的，因此它们是起算数据。在图2中，已知的边长对于确定该网的形状不起作用，因此它们不是起算数据。
（4）确定必要观测数t
在这里给出两种方案确定必要观测数t，在分析问题时，要灵活交替使用。
①当测角三角网中已知点个数为两个或两个以上时，就可以确定待定点的坐标。当网中的起算数据均为点坐标时，必要观测数即为待定点个数的二倍，如图4，必要观测数t=3×2=6。若起算数据除了点坐标外还包括方位角等，如图1，为了确定待定点坐标，只需要A、B两点即可，其中有5个待定点，即有5×2=10个待确定数据。要确定这10个数据，需要10个观测值;但是题中已有1个起算方位角，利用该方位角和AB边的方位角可以得到1个水平角值，即在10个数据中减去1个，因此必要观测数t=10-1=9。
②依据文献，根据公式t=2p-q-4，其中p是三角网中所有点的个数，q是多余的、獨立、起算数据个数（注意三者的顺序，判断时要依次判断）。要明确该公式是针对测角三角网的，图1中共有点个数p=7，q=1，从而可得t=9。
（5）确定各类条件方程
有了必要观测数t后，即可确定多余观测数r，进而确定各类型条件方程。
2.2各类条件方程的确定
三角网中，条件方程的类型很多，但具体哪些存在呢？得看一下三角网中都含有哪些基本几何图形！下面分别说明。
2.2.1图形条件
也叫内角和条件，它存在于各种三角网中，只要一个单三角形中的所有内角都观测了，就可以列出，否则不可以。如图1中△AP3P4内就有一个内角没有观测。
2.2.2圆周条件
也叫水平条件，如果三角网中含有中点多边形，那么就有可能存在圆周条件;具体能否列出圆周条件，还得看中点多边形的中心点上所有角度是否存在（不管是直接观测的还是间接计算得到的，都可以视作存在）;如果存在，就可以列出圆周条件;否则不可以。如图1中，就有一个以P5点为中心点的中点五边形或是中点四边形，所以肯定存在圆周条件。
2.2.3极条件
也叫边长条件，它通常存在于大地四边形、中点多边形和扇形等基本几何图形中，如果三角网中含有这几种图形，那么就有可能存在极条件;具体能否列出极条件，还得看这些基本几何图形中的所观测的内角个数是否足够，如果足够，就可以列出，否则不可以。如图1中，含有大地四边形ABP1P5，也含有中点五边形或中点四边形，且其内角都进行了观测，所以肯定存在极条件。
2.2.4方位角（或固定角）条件
如果网中有两个或两个以上的起算方位角，则可以列出它们之间的关系式。具体能否列出，也得看两者之间的连接角个数够不够。如图3中，两个已知方位角之间就可以列出1个坐标方位角条件。
2.2.5固定边（或基线）条件
如果三角网中有两条或两条以上的已知边时，则可以列出固定边条件。如图2中，就可以列出1个固定边条件。
2.2.6坐标条件
当三角网中存在被隔开的三个或三个以上已知点时，则产生坐标条件。利用坐标递推公式，纵横坐标的推算值等于已知坐标值。如图4中，利用A、C两点可以推出B点的纵横坐标。
3 算例分析
3.1图1的分析
（1）该几何模型是一个测角三角网。
（2）已知数据是A、B两点坐标和一个已知方位角，该网的目的是为了确定待定点的坐标，因此两个已知点坐标和已知方位角均为起算数据。
（3）依据公式t=2p-q-4，其中q=1，则t=10，r=11。
（4）各类条件的确定：
对于图1，可以看作是由一个以点P5为中心点、点A-B-P1-P2-P3为外点的中点五边形和1个单△AP3P4（注意，∠AP3P4没有观测）组成，此时先确定5个图形条件和1个极条件;在此基础上，连线点P1、P4，从而形成了一个单△AP1P4和一个以点A为极的四点扇形，这样增加1个图形条件和1个极条件;又连线点A、P1，形成一个单△ABP1和一个大地四边形ABP1P4（注意：这个大地四边形与中点五边形部分重叠），这样又增加1个极条件和1个图形条件。因为有两个已知方位角，因此又可列出1个方位角条件。
综上，图1的分析结果是：n=21，t=9，r=12;共有12个条件方程，其中有7个图形条件，1个圆周条件，3个极条件，1个方位角条件。
3.2图2的分析
（1）首先确定该几何模型是一个测角三角网。
（2）边P1P2、P3P4的長度已知且没有已知坐标点，可知该网是为了确定形状和大小。为了确定大小，只需要一条已知边就足够;所以只剩下确定形状的问题（大小固定的图形是该图形形状不变化的一种特殊情况）。
（3）该网中的已知数据不是起算数据;因为在没有已知坐标点的测角网中它们对于确定网的形状不起作用。
（4）确定必要观测数t
可以采用化整为零的方式，分两种情况介绍。①确定三角网的形状，其实就是确定该网中所有内角的大小。一个三角网通常是由许多单三角形互相邻接、部分重叠等组成;确定了单三角形的两个内角，就可以确定这个单三角形的形状，因此只要数一下这个三角网中必要的互相邻接但不重叠的单三角形的个数，然后再乘以2，就是必要观测数t，即t=互相邻接且没有重叠的单三角形个数×2。图2可以看作是四个邻接单△P1P2P3、△P1P3P4、△P1P4P5和△P1P5P6组成（其它不必要的单三角形不作考虑），所以t=4×2=8。②一个三角网有时是由单三角形、中点多边形等基本几何图形之间互相邻接、部分重叠组成。只要数一下网中必要的单三角形、中点多边形、大地四边形或扇形等互相邻接但不重叠的个数，采用化整为零的方式，也很容易确定必要观测数t。图2也可看作是单△P1P2P3和一个以P1点为极、P3-P4-P5-P6为外点的四点扇形邻接而成;或者可看作是单△P1P5P6和一个以P1点为极、P2-P3-P4-P5为外点的四点扇形组成。单三角形的必要观测数为2，四点扇形的必要观测数为6，因此，图2所示三角网的必要观测数t=2+6=8。
（5）各类条件的确定
对于图2，含有单三角形、扇形，因此肯定会有图形条件和极条件。若将该图看作是单△P1P2P3和一个以P1点为极、P3-P4-P5-P6为外点的四点扇形组成，则先得出1个极条件和5个图形条件;在此基础上，又连线点P2和P5后，新出现了一个以P1为极的四点扇形和一个单△P1P2P5;因此，又多了1个图形条件和1个极条件。
综上，图2的分析结果是：n=16，t=8，r=8;共有8个条件方程，其中有6个图形条件，2个极条件。
3.3图3的分析
依据上面的分析，图3的分析结果是：n=13，t=5，r=8;共有8个条件方程，其中有5个图形条件，2个极条件，1个方位角条件。
3.4图4的分析
依据上面的分析，图4的分析结果是：n=12，t=6，r=6;共有6个条件方程，其中有1个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个坐标条件。
4 结论
以上总结了四个测角三角网的各类条件方程的分析思路，简单易懂，且不易出错。但需要再强调以下几点：
（1）要注意起算数据与已知数据的区别，已知数据未必是起算数据，但起算数据是已知数据，详细情况请参考文献;
（2）需要强调，对于条件方程之间的独立性判断是最难掌握的，也是最容易出错的地方，本文中提出的一些方法可以很好地解决这个问题。
（3）三角网的目的分为确定网的形状和大小以及待定点坐标。大小确定的三角网是形状确定的三角网的一种特例。
（4）该文中的思路也可以用于GNSS网、导线网、水准网等。
参考文献：
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基金项目：
泰山学院人才基金项目，项目编号：Y-01-2017001。
者简介：
泥立丽（1980-），女，山东博兴人，博士，讲师，泰山学院数学与统计学院，研究方向：数学及数据处理。
