折纸？这是个数学问题
2020-07-23
没有3D打印机怎么办？其实只用一张纸，也能创造大千世界——
大家还记得以前大脸兔介绍过的折纸达人刘通吗？区区一张方形纸，不剪不裁不拼贴，却能被他折出万千造型。他是怎么做到的？如果栗子君说是“算”出来的，你信吗？
强大的折纸几何学
拆开一件折纸作品，将其还原为一张纸，可以看到纸上布满一条条折痕，构成许多几何图形。这其中蕴含着大量数学概念和原理，例如你学过的相似、轴对称、点对称、全等、比例，以及将来可能要学的迭代、递归等等。
据说在8世纪中期，阿拉伯人就懂得运用几何知识来折纸，同时他们也用折纸来研究几何问题。到19世纪，欧洲人也开始将折纸用于数学和科学研究。
折着折着，人们发现，折纸能解决的数学问题比想象的多得多。在几何作图方面，折纸甚至能甩尺规作图几条街，许多任务，比如作正七边形、三等分任意角、求2的立方根等，尺规作图没法完成的，折纸都能搞定。至于将一张纸等分成13、15、17……份，对刘通这样的折纸玩家来说，不过是基础的入门技能。
这还不算，还有更猛的——跟刘通同为世界顶级折纸大师的美国大叔罗伯特·朗，竟然开发出两个折纸软件Tree Make和Reference Finder。依靠7條折纸公理，这两个软件可以计算出用户想要的任何造型的折痕展开图，以及正确的折叠顺序！
什么公理这么逆天？不用说，它就是咱们今天的教学重点——
藤田—羽鸟公理
中国人发明的折纸，自隋朝传入日本后就立刻受到热烈追捧，最后还成了日本的国粹。上世纪70年代，日本人又把眼光投向了折纸中的数理问题，掀起一股经久不衰的研究热潮。其中影响最深远的成果，大概就是“藤田—羽鸟公理”。
这一组公理共7条，其中6条由日裔意大利数学家藤田文章于1991年提出。藤田指出了折纸过程中的6种基本操作，用来定义纸张如何折叠。10年后，另一位数学家羽鸟公士郎又补充了一种操作。于是这7种操作被合称为“藤田—羽鸟公理”。经罗伯特·朗证明，它们涵盖了折纸过程中的全部折法。下面我们来看看7条公理的具体内容。
公理1：已知A、B两点，可以折出一条经过A、B的折痕。
本操作非常好理解，即相当于过任意两点作一条直线。
公理2：已知A、B两点，可以将点A折叠到点B上去。
这一操作也很简单，即相当于作出已知两点的连线的垂直平分线。
公理3：已知a、b两条直线，可以把直线a折到直线b上去。
在本操作中，只要直线a、b不平行，那么折痕就相当于是它们所形成的夹角的角平分线。
公理4：已知点A和直线a，可以沿着一条过点A的折痕，把直线a折到自身上。
不难看出，这一操作相当于过点A作直线a的垂线。
以上4个操作非常简单，但你可别小看它们，会用的话已足以解决一些难题了，比如——n等分任意线段！先以三等分线段为例，步骤如下。
①取一张长方形纸（比例随意），记为矩形ABCD，将点A折到点C上，点B折到点D上，折痕交于点E。
②过点E将边AB折到自身上，折痕与边AB、CD分别交于点F、G。
③过C、F两点进行折叠，折痕CF交BD于点H。
④过点H将边AB折到自身上，折痕JI交边AB于点I。点I即边AB的三等分点。
证明也不难，都是学过的知识，大概思路如下。（温馨提示：几何头大的同学可以跳过，不过栗子君建议还是看看，因为真的很有趣）
更厉害的是，若重复步骤③和④，经C、I两点折叠，折痕交BD于点K，再过点K将边AB折到自身上，得到的点即边AB的四等分点;继续以上过程，可将AB五等分、六等分……
怎么样？见识到公理的威力了吧？然而有趣的还在后面。
公理5：已知A、B两点和直线a，可以沿着一条过点B的折痕，把点A折到直线a上。
在大多数情况下，过一个点有两条能把点A折到直线a上的折痕，即这一操作可以有两个解。
公理6：已知A、B两点和a、b两条直线，可以把点A、B分别折到直线a、b上。
这个操作更猛，最多可以有3个解。等上高中学了解析几何，你会知道其意义有多重大——这就相当于解一个三次方程！
也正因为如此，折纸操作才变得灵活无比，功能无比强大。相比之下，尺规作图最多只能有两个解，自然难望其项背了。
公理7：已知点A和a、b两条直线，可以沿着一条垂直于直线b的折痕，把点A折到直线a上。
这一操作，相当于过点A作直线b的平行线，交直线a于点A'，折痕垂直平分线段AA'。
折纸，用刘通的话来形容，是一种“分配的艺术”——它不像绘画、雕塑等是通过加减法来造型，而永远必须在“1”张纸上进行构想和创作，“一次成型”。所以折纸必须进行科学的计算和分配。以上7条公理，为精密计算折纸操作提供了可能，在其基础上，全世界的折纸极客们各显神通，开发出千千万万种玩法。
下面咱们一起来体验几种炫酷的玩法。快，准备好，让栗子君看见你的双手——
更多操作猛如虎
玩法一：n等分任意线段。
这是一种比前面介绍的更简单的折法。先以七等分为例。
①取任意一张纸，对折、再对折、再对折，得到将纸八等分的折痕。
②过右下角的顶点将底边往上折，使得左下角的顶点落在左起第1条折痕上。
③将折起的底边对准其他折痕一一折叠。
④打开，得到的折痕将底边等分成了7份。
简单不？自己试试将纸五、十一、十三、十七等分吧。
玩法二：三等分任意锐角。
①取一张长方形纸，记为矩形ABCD。在边CD上任取一点E，∠EAB即为要三等分的角。
②在边AD上任取一点F，过该点将边AD折到自身上，折痕为FG。
③将边AB折到线段FG上，折痕为HI。
④将点A折到线段HI上，同时点F折到线段AE上，此时点H的对应点为H'。将纸打开后再经点A和点H'进行折叠，折痕AH'即为∠EAB的三等分线。
会分了没？如果要三等分的是钝角，又该如何分呢？
玩法三：三浦折叠。
该折法由日本人三浦公亮发明，它之所以大大的有名，是由于解决了困扰工程师们许久的卫星太阳能电池板的收纳问题，堪称折纸助力科研的典范。其强悍之处在于可将物体折成原大的几十分之一，然后实现秒开秒合。折叠方法非常有趣，咱们看图说明。
好玩吗？哼哼，以上不过是折纸学问中的沧海一粟。你能玩出什么新创意呢？要不然先从看折痕图复原大师作品做起好了。
最后送上刘通最著名两个作品的折痕图，就算懒得动手折，涂上色挂到墙上欣赏也美美的啦。
