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静摩擦因数临界问题的探讨

2020-07-23

数理化解题研究 2020年21期
关键词:关系式因数摩擦力

沈 静

(江苏省盐城机电高等职业技术学校 224000)

在物理研究领域,为方便分析,需要进行一定的简化处理,比如对接触的两个物体在静摩擦因数很大条件下,一般需要适当化简,不过在化简时,应该注意到相关状态改变,避免出现临界问题而导致错误.

例如图1,在水平面上,存在一个竖立的匀质直杆子,其长为2α、质量为m,和地面的静摩擦因数足够大.对其施加一微扰,而开始自由倒下,杆的下端开始脱离地面时,求解其与竖直方向夹角为多大?

图1

(1)确定出分离时的状态

具体情况如下,初始条件为初始离地瞬间,根据机械能守恒定律进行分析可知,存在关系式

根据转动定律进行分析可知

mgasinθ=Iβ

转动的角加速度,表示如下

此位置处,直杆质心转动的两个方向的加速度可表示为

(2)确定出分离时的角度

第一种方法,进行受力分析可知,在分离瞬间,在竖直方向单纯只有重力作用到杆上,这种情况下存在关系式

mg=maτsinθ+mancosθ

进行求解可确定出分离瞬间,杆与竖直方向的夹角表示如下

第二种方法,竖杆分离瞬间,杆水平方向不受力,这里根据牛顿第二运动定律可知

maτcosθ-mansinθ=0

求得,杆与竖直方向间夹角是

分析可知以上方法确定出的结果不一致,何故?

(3)问题分析

本题为直杆与地面分离相关的临界问题,临界分别为前一个状态的末态,以及后一个的初态,表现出一定的过渡属性.具体分析可知,在静摩擦因数充分大情况下,两个物体接触的正压力不为零,静摩擦力表现出一定的变化性.在此临界条件下,正压力趋于零,不过也有一定大小的静摩擦力,而在分离后则摩擦力为零.由此可判断出在此条件下,分离前后,摩擦力会大幅度改变,且对应的加速度同样的改变.而以上例子在进行求解时,没有将分离前、后瞬间划分开而导致错误.公式⑤计算分析确定出的为分离前瞬间加速度,此条件下正压力已经很小,但仍存在一定摩擦力.因而⑥式正确,⑦式由于没有区分分离前后而出错.因而在实际的应用过程中为避免出现这类问题,应该确定出对应的状态为分离前还是分离后瞬间,在前一种条件下应该分析一定大小的静摩擦力.

(4)过程分析

在分离前任意角度条件下,公式①式到⑤式均成立,在一定角度下杆受摩擦力为f,支持力为N, 则进行受力分析可知存在关系式

图2显示了二者的关系曲线,具体分析可知在此变化过程中,弹力N逐步趋于零,而分离前瞬间f向左,而在分离后则变为零.

图2

(5)拓展应用

以上在举例分析基础上,讨论了静摩擦因数充分大条件下,物体分离前后的摩擦突变问题,接着对类似的问题进行分析.如图3所示,将一个小球放在半圆柱顶端,小球的质量为m、半径为r,半圆柱体的截面半径为R=7r、质量为M=1.5m,假设二者间的静摩擦因数充分大,适当对小球一微扰促使其滚下.计算出在两种状态下小球与圆柱脱离时,对应的θ数值.

图3

①半圆柱固定时,小球与圆柱脱离时的θ;

②半圆柱和地面间无摩擦时,小球与圆柱脱离时的θ.

第1种状态下,初态到任意角度θ过程中,根据机械能守恒定律分析可知存在关系式

静摩擦因数充分大,则脱离前,小球必然无滑滚动,关系式为

u-ωr=0

在分离前瞬间,二者的触点法向不存在弹力,而切线方向可能存在静摩擦力,而法向存在如下关系式.

进行求解可确定出

第2种状态下,任意θ角度对应的末态,设半圆柱向左的速度是v1,小球速度是u,由初始状态到当前状态,根据机械能守恒定律可知

由水平方向动量守恒,可知

mucosθ-(M+m)v1=0

分离前瞬间,设二者间存在如下静摩擦力,则半圆柱存在一定加速度,进行力学分析可知

fcosθ=Ma1

对小球质心,根据转动定律分析可知,存在关系式

在圆柱参考系中,分析可知,在无滑滚动条件下满足关系式

小球切向和法向存在如下动力学关系

其中F*为惯性力.

由于分离前瞬间,不存在弹力,则角度应该满足如下关系式

求得θ=0.944rad=54.1°

这种条件下二者间的摩擦力为0.217.而在半圆柱系下进行临界分析时,应该讨论惯性力因素,在此存在一种常见的错误观点为,分离后瞬间半圆柱在水平方向不受力,而将分离的条件表示为:

在此应该注意到在分离前瞬间,圆柱已经出现一定的运动,在受力作用下圆柱体开始减速.这种现象表现出一定反常性,具体分析此现象出现原因为,设定了“静摩擦因数足够大”,不过进一步分析可知这种现象虽然 “反常 ”但依然符合物理规律,可基于相应的定律进行分析求解.

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