展现思维过程 发展核心素养——以“圆锥曲线定点问题”说题教学为例

钱梦迪

(江苏省常熟市中学 215500)

关注学生学什么、怎样学，如何引导学生把握所授内容的本质，有效提升学生的数学核心素养成为当前教师关注的焦点.而作为一种新型的学科教研形式，说题教学活动不仅能够使学生内隐的思维显性化，而且也能促进师生互动，引导学生学会学习、学会思考，因此，以说题教学活动为契机，发展学生核心素养具有重要的意义.

一、基于数学核心素养培养的说题教学活动价值

1.营造宽松愉悦氛围，激发学生“说”的欲望

数学交流不仅是知识的交流，更是情感的交融，教师务必引导学生走出“哑巴数学”思维定势，搭建一个平等的师生交流平台，让学生在不用担心说错的氛围下自由表达，激发学生“说”的欲望.例如，在“圆锥曲线定点问题”说解题思路时，笔者尽可能地鼓励学生表达自己对于所呈现问题的真实想法，充分暴露自己的思维和学习状态.

2.采用多元化教学模式，丰富学生对说题的认识及理解

为了让每个学生都能主动参与教学，准确把握说题教学这种方式，教师应组织学生通过开展小组合作说题、实施案例分析等多元化方式引导学生主动融入说题过程，思考自己如何说，说什么，应该注意什么，以及说题的具体流程等.

3.拓展延伸教学，提高学生的学习能力

为了提升学生的说题学习效率以及学习能力，教师应通过设计问题串的形式，适当改变题目中的背景、条件、结论以及提问方式等引导学生得出一般性的数学规律，或者在布置课后作业中，要求学生阐述解题的过程，以及由此解题过程所拓展和延伸的思路以及其他知识点.

4.注重“形异实同”题目练习，提升学生的学习效率

为了深化学生学习效果，教师应引导学生将习题练习中遇到的“形异实同”问题集中起来，要求学生通过说题的方式分析解题思路及策略，并有针对性地将“形异实同”问题所涉及的数学知识点提炼出来，及时总结形成知识网络和解决该类问题时应该注意的事项.

二、高中数学说题教学活动实践

教学策略离不开具体实践，而“圆锥曲线定点问题”一直是历年高考中得分率较低的题型，其运算能力要求高、综合性较强，而且承载着数形结合、转化与化归等思想方法的考查任务，因此，为了研究的深入，笔者呈现如下“圆锥曲线定点问题”进行探究：

①试求椭圆C的方程；②不经过点P2(0,1)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，并且直线P2A与P2B的斜率之和等于-1，证明直线l必经过一定点.

1.说命题立意—突出数学素养培养

命题立意是试题的核心，在说命题立意时，既要说题目中考查了那些知识点和数学思想，引导学生概括出问题的实质，又要说可以通过那些方法得以问题解决.

例如，上述题目考查的内容主要涉及平面解析几何知识，通常情况下是利用方程和数形结合思想进行分析和解答，还可以通过灵活应用代数表达式以及图形的几何特征逐步优化.具体而言，第一小问主要考查的是学生的逻辑推理能力，不能盲目地将四个点都代入方程进行求解，而应利用椭圆的对称性质，选择合适的点进行代入.而第二小问主要考查的是学生的数学抽象、直观想象、数学运算等能力，可以通过思维导图进行大胆分析.

2.说解题策略—落实数学素养培养

说解题策略能让学生在问题情境中分析问题、解决问题、构建模型，在说解题策略时，教师应有意识地让学生说出自己解决该问题的具体解题思路，并展示解题过程.

在求解第二问时，从点切入和线切入两个角度寻找几何关系.其中，在点切入时，可以从点A、B入手，利用代数特征进行优化，还可以从定点入手，建立等式进行求解.值得说明的是，在利用斜截式或点斜式假设直线方程时，务必对斜率的存在性进行分类讨论.在线切入时，可以直接假设直线AB，然后通过寻找b和k之间的关系，或者利用曲线的线性代换获得kP2A和kP2B的参数关系.还可以事先假设P2A与P2B的方程，进而求出直线方程AB.在此基础上，然后按照联立、代入消元等解析几何常见的解题思路进行求解，其上述解题思维导图如图1所示.值得说明的是，由于篇幅关系，具体解题过程在这里将不再一一赘述.

图1

3.说变式引申—强化数学素养培养

在呈现问题解决之后，教师还应对原题目进行变式与拓展，引导学生有意识地关注“形异实同”的问题，并应用类比思想系统地深入挖掘类似题目中所隐藏的一般性规律，从而达到“解一题、会一法、通一类”的学习效果.

例如，根据教学目标和要求，笔者设计了如下变式题目，要求学生通过说变式引申的方式对原有题目进行有效拓展：

变式2：若将点P(0,b)替换为任意定点P(x0,y0)，其他条件如同变式1，则上述结论是否成立.

变式3：若将变式1中的已知条件点P(0,b)替换为任意定点P(x0,y0)，kPA+kPB=m变换为kPA·kPB=m(m为一定值)，则上述结论是否成立.

变式5:如图2所示，已知抛物线y2=x，过抛物线上的一点M作直线MF、ME分别交x轴于A、B两点，并且MA=MB.

图2

①若点M为一定点，则EF的斜率为定值；

②若点M为一动点，∠EMF=90°,试求△EMF重心的轨迹方程.

4.说反思总结—提升数学素养培养

反思总结是提升学生能力的重要方法，教师应引导学生利用鱼骨图、概念图、思维导图等思维可视化手段建构知识框架，并将解题过程中的解题思想、存在的困惑或学习心得等通过说反思的方式促进所学知识与方法融会贯通，加深学生对所学知识的理解.

例如，学生在求解“圆锥曲线定点问题”时往往存在以下几个难点：一是研究对象多，不能从题目中获取有效的信息；二是探究过程中思维不严密，常常漏掉某些基本信息而出错；三是由于点或直线存在变动，学生难以准确分析过程，感觉无从下手；四是学习高中数学的信心有待提高，忘而生畏的现象较为突出.因此，这就要求学生在说题过程中注意以下几个方面：一是要养成良好的审题技巧，善于从复杂问题情境中发现隐含条件；二是注重过程分析，大致把握解题过程中要应用到那些数学思想和方法，找到数学问题解决的突破口；三是加强变式训练，进一步掌握“形异实同”问题的解题思路和规律，切实提升数学知识的迁移能力.

总之，我们应以培养学生数学学科核心素养为前提，引导学生通过说题教学活动，不断展现思维过程，深入理解类似问题的解题规律和方法，同时，将说题所思延伸到日常教学中，引导学生通过说题活动提升学生对问题的认识和把握能力，不断发展学生的数学抽象、数据分析、直观想象、逻辑推理等素养.