统揽全局整合图形，让学生的知识成片开发

管永梅

【设计背景】

在前几节课的基础上，学生学习了全等三角形的概念、性质，经历探索三角形全等条件的过程，掌握了判定三角形全等的基本方法（“边边边”“边角边”和“角邊角”“角角边”），能判定两个三角形全等，积累了一些几何研究的经验。本节课将进一步强化这些经验，学生知道全等三角形的判定是研究几何图形的一个重要方面。本节课通过统揽全局整合图形，将平移、翻折、旋转三种图形的变化与全等三角形联系起来，让学生通过观察和借助生活中的经验认识到一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形与原来的三角形全等。让学生用运动的眼光看待全等问题，丰富学生认识全等的角度，培养学生直观想象能力，使学生跳出题海，做到“做一题，会一类，通一片”，提高学生解决问题的速度与技巧。

【教学目标】

1.掌握全等三角形的判定方法。

2.能选择合适的方法判定三角形全等。

3.能利用三角形全等证明一些结论（线段、角等），能统揽全局整合图形，用运动的眼光看待全等问题。

【教学重点】

能选择合适的方法判定三角形全等，教会学生整合图形，用运动的眼光看待全等问题。

【教学难点】

教会学生整合图形，用运动的眼光看待全等问题。

【教学过程】

一、知识回顾

1.判定方法

师：我们学习的两个三角形全等的判定方法有哪些？每一种判定方法的条件是什么？

教师提出问题，学生知识回顾，教师适时点拨，学生展示如下：

【设计意图】复习全等三角形的判定方法，分析条件与结论的关系， SAS、ASA、AAS、HL的条件的书写顺序是易错点，引起学生的注意。

2.适当选择

如图，在△ABC 中，AD⊥BC，要判定△ABD≌△ACD。

（1）根据“SAS”，还要添加一个条件：____;

（2）根据“ASA”，还要添加一个条件：____;

（3）根据“AAS”，还要添加一个条件：____;

（4）根据“HL”，还要添加一个条件：_____。

师生活动：师生共同分析解题思路，如（1）题，要证△ABD≌△ACD（SAS），已知AD⊥BC，∠BDA=∠CDA，题中有一个隐含条件—AD是两个三角形的公共边，即AD=AD，故只需找BD=CD。其他题目学生口述证明过程，教师板书。

【设计意图】运用五种判定方法证明两个三角形全等，感悟条件选择的适当性，体会证明过程的规范性。

二、整合图形

1.平移全等形

如图，AC = DF，BC = EF，AD = BE。

求证：△ABC≌△DEF。

学生独立完成。

师点拨：此题容易选定判定方法，利用“边边边”判定方法证得△ABC≌△DEF。另外，当△ABC≌△DEF时，得到∠A=∠EDF，从而AC∥DF，得到∠ABC=∠E，因此BC∥EF。故可以看成△DEF是由△ABC平移得到。常见的平移全等形如下：

【设计意图】平移前后，图形的形状、大小不改变，只是位置发生改变，平移前后两个图形是全等形，由此整合成平移全等形，此类图形的特点是可能产生公共线段，让学生学会归纳，培养学生直观想象能力。

2.翻折全等形

如图，AC平分∠BAD，AB=AD。请你判断AC是否也平分∠BCD，并说明理由。

学生在黑板板书，师生共同评价，规范解题过程。

师点拨：由已知AB=AD，AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC，AC是隐含条件公共边，根据判定方法“边角边”，△ABC≌△ADC（SAS），最后得到∠BCA=∠DCA，所以AC也平分∠BCD。不难发现，△ABC可以看成是由△ADC沿AC所在的直线翻折得到，给我们对称的感觉。本题选择的判定方法是“ASA”，下面是常见的翻折全等形：

【设计意图】经过翻折，图形的形状、大小均不会发生改变，由翻折看到对称，学生会想公共线段，公共角等，由对称变换整合成翻折全等形，让学生跳出题海，提高解题效率。

3.旋转全等形

如图，∠1=∠2=∠3，AC = AE。

求证：AD = AB。

找∠B=∠ADE是难点，教师引导，找角的条件时，学生有两种方法：其一，利用三角形的外角，∠ADC是△ABD的一个外角，即∠ADC=∠B+∠1，而∠ADC=∠ADE+∠3，∠1=∠3，故∠B=∠ADE。其二，由直观想象，利用“八字形”模型，在△AEF和△DCF中，∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，由三角形内角和为180°，故∠B=∠ADE。经分析条件，找到两组角对应相等和其中一个角的对边对应相等，最后证得△BAC≌△DAE（AAS），从而AD = AB。

师点拨：这道题有一个隐含条件—∠DAC是公共角，点A是公共顶点，可以看作△BAC绕点A旋转一定角度得到△DAE，△BAC≌△DAE，判定方法选择的是“AAS”，做题时还会遇到下面的旋转全等形：

【设计意图】图形中有公共顶点，要想到公共角，想到对顶角等，想到旋转变换，旋转前后图形的形状、大小不发生改变，由旋转变换整合成旋转全等形，让学生“做一题，会一类，通一片”。

三、回顾反思

1.综合提升

如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥ED，AF = DC，∠AFE =∠DCB。

求证：（1）△ABC≌△DEF;（2）BF∥CE。

2.谈感受

生1：做题前我们应先统揽全局观察图形，判断是属于哪种类型的图形，然后选择适当的判定方法解决问题。

生2：找到图形的特点，首先要有一种直观想象能力，分离图形，找到需要的部分图形解决问题。

生3：这三种类型的全等形，都有一些共性—隐含的条件，比如公共线段、公共角、对顶角等。

四、教后反思

1.培养学生的直观想象能力

直观想象是重要的数学核心素养，我国著名的数学家华罗庚说：“形缺数时难入微，数缺形时少直观。”几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。几何直观能力可以较好地理解数学本质，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。图形是几何的灵魂，识图是学习几何的最基本素养，引导学生看一看、折一折、转一转，然后说一说，说出对图形的感受，将图形语言转化成文字语言。还可以借助技术手段，用《几何画板》软件根据给定的边、角条件画三角形，学生可以自己设计动态过程，教师不断引导与点拨，提高学生直观想象能力。

2.引导学生学会统揽全局整合图形

题目千变万化，但万变不离其宗。图形复杂多样，但都是由简单与复杂之间相互切换的。每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类图形都有着相似的结构特点，这种结构特点的集中体现便是“公共顶点、公共线段”。图形中充分融入了学生对线段相等和角相等的直观认识，也就是欧氏几何中提到的：等量加等量和相等，等量减等量差相等，彼此能重合的物体是全等的。图形中还渗透了研究几何图形的基本问题和方法，由图形结构特点引导学生将这些图形加以分类整合，便得到：平移全等形、翻折全等形和旋转全等形。帮助学生建立起平移、翻折、旋转三种图形的变化与全等形的关系。通过整合图形，使学生跳出题海，做到“做一题，会一类，通一片”，让学生的知识“成片开发”。

3.让学生学会思考

《数学课程标準》的“数学思考”目标中提出要使学生“在解决问题过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服性的说明”。学会思考是学好数学的关键所在。在教学设计过程中，在解决问题的经历中，让学生感受到判定方法的选择、图形的整合是自然而然、水到渠成的，而不是强硬地塞给学生。为什么想到整合图形，怎样整合图形，让学生学会选择不同的视角看待问题，用不同的方法来研究问题、解决问题，积极参与问题中来。托尔斯泰说：“知识，只有它靠积极的思维得来而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。”所以，教“怎样思考”，教“怎样才能想到”是数学教学的首要任务，让学生养成思考的习惯，提高解题速度与技巧。

【参考文献】

[1]陈华安.在变式中探究问题实质，在解题中把握问题规律—“函数图像按向量平移问题”教学设计及反思[J].数学教学研究，2009，28（7）.