新课标视域下高中数学教学的再审视*——从2019 年全国Ⅰ卷“维纳斯女神像”考题说起

刘 明

2019 年高考数学全国Ⅰ卷有一道“维纳斯女神像”考题（见例1），在考后迅速成为“网红”，引起了广泛关注。

例1（2019 年高考全国Ⅰ卷文、理科第4 题）

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

那么，这道题为何能引起广泛关注呢？2019年高考试题带给我们怎样的启示呢？在新课程方案实施了一年半以后的今天，有必要结合高考评价的变化，再审视我们该如何落实课标、推进教学改革。

一、试题的启示

2019 年6 月，笔者参加了由人民教育出版社主办的“中学数学课程与教材国际论坛”，高中数学课程标准修订组负责人史宁中教授在论坛上做报告，他对2019 年高考数学全国卷的试题表示满意，同时认为以下几类问题能够引发学生更好的思考：一是结论不明；二是条件不全；三是由特殊到一般。这道“网红”题就属于“条件不全”——题中所给的条件并非两个黄金分割比所对应的长度。我们不妨先解剖一下这只“麻雀”——

思路1 运用生物学知识，由已有的数据估算身高。

（1）利用腿长进行估算。利用腿长进行估算，首先要知道腿长的概念。腿长是指髂骨（位于腰部下方、腹部两侧的骨）到踝骨最下端的距离。因此，可以用自己身体的相关数据去估算：肚脐到髂骨的距离、踝骨最下端到足底的距离分别约为1cm 和3cm，则肚脐到足底的长度大约为109cm，由此估算出身高约为109×（1+0.618）≈176.3cm，得到正确答案B。

这就需要我们数学地思考：是什么原因导致两种估算的结果出现较大的差异呢？一方面，从生物学的角度看，每一个人喉结至脖子下端的长度存在差异，另外把“头顶到咽喉的距离”看作“头顶到喉结的距离”是否准确？另一方面，从数学的角度看，由腿长估算出肚脐至足底的长度（记为a），得到身高约为1.618a；但是，若由头顶至脖子下端的长度估算出头顶至咽喉的长度（记为b），得到身高约为2.6182b≈6.854b。可见，前、后两种估算分别把误差放大了约1.6倍和6.8 倍，故前者精度较高。

思路2 利用不等式模型，求实际身高的取值范围。

设实际身高为x cm。因为头顶至咽喉的长度小于头顶至脖子下端的长度，所以若把头顶至脖子下端的长度当作头顶至咽喉的长度来计算，得到的值大于x，即x＜6.854×26≈178.2；又因为肚脐至足底的长度大于腿长，故x＞1.618×105≈169.9。所以x∈（169.9，178.3），故该题应选B。

从上述分析可以看出，该题由于“条件不全”，给考生带来了解题障碍：有相当一部分学生不知道腿长的概念，无法由腿长去估算，于是用头顶至脖子下端的长度进行估算，由于未认识到误差被放大而出现错误。

事实上，命题者故意给出与两个黄金分割比不相吻合的条件，甚至“题意模糊”（难以确定头顶到咽喉的长度），其目的就是为了引导考生：在由“等量关系”估算身高未果时，联想到“不等关系”，最终运用“不等式”这一数学模型来解决问题。笔者认为，本题很好地体现了新课标理念：重视学科综合（涉及了生物学知识），考察学科核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等）。

此外，与往年相比，2019 年试题应用题数量明显增多，笔者以为，这是为了落实《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》中提出的“优化考试内容，突出立德树人导向，重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。创新试题形式，加强情境设计，注重联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题”的育人要求。因此，2019 年高考带给我们的启示是：研究新课标，改革课堂教学。

二、对2017 年版课程标准的再认识

1.课标的权威性增强，内容愈加全面。

为了落实立德树人的根本任务，2017 版课程标准在原来的基础上做了较大幅度的修订：在课程目标上，新增了学科核心素养（六大核心素养）的课程目标，认为“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现”；在课程内容上，增设了“数学的建模活动与数学探究活动”作为单独的教学内容，与“函数”“几何与代数”和“统计与概率”并列，形成4 个教学主题——函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动；在教学建议中，提出了“突出学科核心素养、整体把握教学内容”等要求；在学业评价部分，提出了“注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系”等命题原则。

过去，我们在课程与教学上有“课程标准”，在高考评价上有“高考考试大纲”，尽管课程标准提出了很多新理念，但高考并未作出与之相应的改革，存在题型固化，甚至试卷某一位置考什么内容的试题每年都相对固定的状况。于是“高考怎么考，老师就怎么教”，导致课程改革的理念只停留在口号上，并未得到真正地落实。这一轮课改吸取了以往的教训，课程改革与高考改革配套推进。

2.如何真正而又全面地落实课程标准。

2017 年版课标提出了“四基”“四能”“六大核心素养”和“三会”等课程目标，厘清它们之间的关系是正确理解、全面落实课标的前提。通过学习课标并结合自己的教学实践，笔者认为，它们之间存在着如图1所示的逻辑关系。

（图1）

第一，“三会”（会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界）从其本质上来看，分别对应着数学抽象、逻辑推理和数学建模这三大核心素养，所以，它是数学教育的终极性目标。

第二，“四基”“四能”和“核心素养”的形成过程是相互依存、彼此促进的，所以，笔者把它们放在以“三会”为圆心的一个圆周上。那么这对我们的教学有什么要求呢？

（1）关注“四能”。“四能”（从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力）需要在数学学习活动中逐步培养，良好的“四能”可以促进“四基”和“核心素养”的形成，故把它放在圆周的最底部。

具体而言，以“四能”为抓手，让学生开展积极有效的数学活动，并在数学活动中，进一步理解数学的概念、掌握数学技能、形成数学思想方法、积累数学活动经验，获得“四基”；发现和提出问题，需要经历数学抽象的过程；而分析和解决问题，又需要逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养的参与。因此，以“四能”为抓手，能促进“四基”和“核心素养”的形成。

反过来，良好的“四基”与“核心素养”又能促进学生发展“四能”。学生一旦具备了良好的“四基”，尤其是具备了一定的数学活动经验，就能将已有的活动经验，类比、迁移到新的数学学习活动中去，发现并提出有意义的数学问题、分析并解决问题；同样的，学生具备了良好的“核心素养”，就能够从社会生活或具体的数学问题中，经历数学抽象、逻辑推理和数学建模等思维过程，发现并提出数学问题、分析并解决问题，发展“四能”。

因此，在教学中，应积极创设有意义的问题情景（包括让学生自主地发现并提出问题），以发展学生“四能”为抓手，促进“四基”和“核心素养”的形成。

（2）统筹兼顾，让“四基”和“核心素养”协调发展。2017 年版课标指出：“‘四基’是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学生数学学科核心素养的有效载体，教学中要引导学生理解基础知识，掌握基本技能，感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，促进学生数学学科核心素养的不断提升。”笔者认为，“四基”与“核心素养”的特点如表1 所示：

表1 “四基”和“核心素养”的特点

可见，“四基”具有外显性的特点，因为对每一节课，我们都会围绕基础知识、基本技能、数学思想方法和数学活动经验开展教学，因而也有即时性的特点；同时它又是发展核心素养的有效载体，所以它是教学的基础目标——每一节课都要落实相应的“四基”目标，相对易于操作。

“核心素养”具有内蕴性的特点，教学时，在考虑“四基”目标的基础上，还要结合教学内容，挖掘、确立与教学内容或学习过程相关联的学科核心素养目标并加以落实，所以“核心素养”的培养是一个长期持续的过程；对于每一节课，比较容易根据教学内容确定“四基”目标，但并不一定能够同时培养六大核心素养，可能只能培养其中的某一个或某几个，且同一个核心素养可以依托不同的知识载体呈现，因而它具有综合性的特点，在教学中较“四基”难操作。

尽管“四基”是培养核心素养的沃土和有效载体，但也应该看到：学生核心素养的提升又能使其更加容易地获得“四基”。所以，“四基”和“核心素养”的提升是一个相互促进的过程，应当统筹兼顾、协调发展。

三、课堂教学改革之路

1.培养提出问题能力，以“四能”为抓手提升素养。

从目前的教学现状来看，学生“分析和解决问题的能力”培养得到了重视：在课堂上，教师通常会提出问题，让学生去分析和解决问题。但是对“发现和提出问题的能力”培养，尚未得到足够的重视。事实上，提出问题比解决问题更重要，因为提出新的问题，需要创造性和想象力，有利于创新意识的形成。所以，让学生主动地发现并提出问题，是培养学生“四能”（而非“两能”）的突破口与关键所在。因此，教师应当积极地创造条件，给学生发现问题、提出问题的机会，并在解决问题的过程中，发展“四能”，提升“四基”和核心素养。

当然，学生的“四能”（尤其是“发现和提出问题的能力”），不能任由学生“自然地”生长，还需要教师在平时的教学中，有意识地去鼓励和培养：结合教学内容，创设恰当的问题情境，帮学生搭建施展“发现问题能力”的舞台。

【案例1】“对数的概念”教学设计。[1]

某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1 年，该物质剩余的质量是原来的84%。（设该物质最初的质量为1）

问题1 你能就此情境提出一个问题吗？

问题2 若2b=3，这样的b 存在吗？

【设计意图】先由问题1，让学生从实例出发，经历数学抽象和逻辑推理的过程，自主地提出问题；然后对提出的问题加以分类，启发学生思考这些问题之间的关联：在指数式ab=N 中，已知两个量，求第三个量；再对a，b，N 中已知的两个量进行讨论，确立本节课的探究主题：在ab=N 中，已知a，N，求b。在教学过程中，让学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，在发展“四能”的同时，理解新知识（对数）产生的必要性，经历知识的发生过程，促使学生加深对新知识的理解，获得“四基”，形成数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。

2.基于经验丰富经验，让学生真正理解数学。

新课标在原有的“三基”（基础知识、基本技能和基本思想方法）的基础上，增加了“基本活动经验”，旨在“使学生参与到那些促进学习的事件和活动中去”[2]，并在数学学习活动的过程中，形成数学活动经验，发展认知策略。如前所述，“四基”具有外显性、即时性、基础性和易操作性的特点，因此，每一节课都应努力让学生获得“四基”，为学生“核心素养”的提升奠定好基础。

从目前的教学现状来看，原有的“三基”已经得到广大教师普遍和足够的重视——在每一节课教学中，教师一般都会结合具体的内容，培养“三基”，但是帮助学生获得“基本活动经验”尚未引起足够的重视。这就需要我们在今后的教学中，积极创设恰当的教学情景，让学生基于原有的数学活动经验，开展数学学习活动，并在学习活动的过程中，不断积累和丰富数学活动经验。

【案例2】“直线和平面垂直”的概念教学设计。[3]

问题1 前面学习了“直线和平面平行”这一位置关系。你觉得，直线和平面除了存在“平行”这一关系外，还存在着其他的位置关系吗？

问题2 你能举出生活中给我们以直线和平面垂直感觉的实例吗？

问题3 在数学上，仅仅有垂直的感觉是不够的，我们还要做哪些事？

【设计意图】从已有的“直线和平面平行”这一位置关系出发，提出“问题1”，让学生借助已有的研究经验，类比直线与直线之间的特殊位置关系——平行与垂直，提出直线与平面之间的另一种特殊位置关系的猜想——“直线与平面垂直”，并进一步积累数学活动经验。

通过问题3 促进学生数学活动经验的形成。一方面，让学生借助已有的研究经验，提出研究空间基本元素位置关系的基本架构（定义→判定定理→性质定理）；另一方面，通过该位置关系的研究，在为后续学习“平面与平面平行”“平面与平面垂直”等内容积累数学活动经验的同时，促使学生从整体上理解数学。

3.突出学科核心素养，实现新课程育人价值。

从目前的教学现状来看，不少教师对“核心素养”的重视程度远不及“四基”。应当注意到，在此轮课程改革中，学科核心素养处于最重要、最突出的地位。培育学科核心素养在具体实施上有一定的困难，这就需要我们结合特定教学任务，思考相应数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点，注意数学学科核心素养与具体教学内容的关联，关注数学学科核心素养目标在教学中的可实现性，研究其融入教学内容和教学过程的具体方式及载体，在此基础上确定教学目标。由此，我们可以得到在每一节课的教学中培养学生核心素养的操作路径：

（1）寻找与本节课教学内容关联的核心素养。包含两个层面：一是与新的教学内容直接相关的核心素养；二是审视新知识的学习过程，寻找核心素养的孕育点和生长点。（2）确立本节课的核心素养目标。（3）通过恰当的方式（情境创设、问题解决等），实现本节课的核心素养培养目标。

需要说明的是：学科核心素养是在数学学习过程中逐步、缓慢地形成的，绝不会一蹴而就。如果我们在平时的课堂教学中，仅仅围绕知识与技能来制订教学目标、设计教学，不去深入细致地挖掘核心素养的培养目标，长此以往，核心素养的培养目标将得不到落实。例如在案例1 中，如果我们直接给出对数的概念，再加上题型讲解和反复训练，那么对于这一节课而言，也就丧失了培养学生数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养的机会。反之，如果我们每一节课都坚持培养学生的学科核心素养，那么学生的核心素养将会得到逐步的提升。

最后，希望广大同行共同行动起来：在平常的教学中，把学科核心素养的培养当作一项长期目标来抓，坚持不懈、持之以恒地加以落实，全面实现新课程的育人价值。