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类比思维在高等数学中的应用

2020-07-20江颖宜杨付贵

科学导报·学术 2020年27期
关键词:类比高等数学应用

江颖宜 杨付贵

摘  要:在高等数学的学习中不仅要重视数学知识和技能的汲取,也要重视思想方法的吸收。本文阐述概念、定理,运用类比法积极思维,培养和提高自身数学学习的推理能力和创造性的思维能力。

关键词:类比;应用;高等数学

一、类比推理与高等数学的联系

(一)类比推理的概念

类比,就是将一个抽象的(复杂)问题,转化成另一个具象的(简单)问题。而类比的对象,是抽象的、不易直接理解的问题。类比是将问题A转化成问题B,它们之间之所以可以转化,是因为它们之间,至少在某一点上,有着相似的共性。

(二)类比推理在高等数学中价值作用

高等数学主要包括一元函数微积分与多元函数微积分两大部分人你,它们是相互独立的,却又是相互联系的。特别是多元函数微积分,许多的概念、定理可与一元函数微积分中相应的概念、定理进行类比。例如n元函数的极限、连续、偏导数、全微分、重积分等重要概念都能与一元函数的极限、连续、导数、微分、积分相类比。站在数学发展历史的层面上看,很多数学问题都是在观察、总结、比较和推测中找到解决问题的方式。

二、类比推理在高等数学中的应用

根据中学学习的直线方程的五种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式为出发点,怎样能确定一张平面呢?平面方程会有什么形式呢?进而推出平面的点法式、一般式、截距式及三点式方程。由此可见,类比推理在概念及公式的形成之初是不可少的,是发现概念和公式的要素。

由距离公式d=  为出发点,给出定点P( 及直线方程Ax+By+C=0,若将平面的点类推到空间点P  ,直线方程类推到平面方程 ,那么点到面的距离公式会是什么形式呢?这就很容易类推得 。

类比法也能应用于大学微积分中,主要知识点是一元函数与多元函数的概念、定理和性质等,在学习一元函数微积分时,对概念和性质的理解可以结合直观性较容易接受,可是到了学习多元函数微积分时,多变量和空间变化,往往让我们感到束手无策,如何通过类比,把多元函数的概念和相关性质的形成从一元函数找出原型,引入新的观点,加于推广并注意它们之间的异同,这可使学习效果达到事半功倍的作用。

在学习二元函数极限概念时,可用与一元函数极限概念相类比的方法给出定义。即首先指出二元函数的极限与一元函数的极限类似,都是反映在自变量的某个变化过程中,函数值无限趋近于某个常数的情况,基于这一种一致性,可类比于一元函数的极限定义给出二元函数的极限的定义,所以也应考虑到让两个自变量与一个自变量的不同之处。再分析一元函数的极限是由哪些量描述的。例如以一元函数 时, 以A(常数)为极限的概念为基础给出二元函数 时 以B(常数)为极限的定义。

一元:  使当0  时,总有不等式: ,

于是根据类比可得出

二元:  使当 即描述自变量得某一变化过程的是两个量)总有不等式: ,微积分中有许多定理可以作相互类比,通过类比逐步引导自己引出新定理的內容,猜想证明新定理的方法,同时看到所类比的两个对象间的一致性和差异性例如多元函数连续、可偏导、可微的三者关系时,可与一元函数的连续、可导、可微的三者关系类比。

我们还可以根据类比法利用一元函数连续性、有界性定理类比出二元函数的相关性质与定理。

一元函数的连续性:设 的定义域为D,对任意D的聚点,且 ,如果 称 在 点连续。

一元函数在定义域范围内,只要当任意的 无限接近 ,它的函数值 也无限接近 时,那么就说它在 连续。对于二次函数也是需要在定义域范围内,这时是两个自变量 ,利用类比,只需要当 无限接近定义域内的聚点 时,它们的函数值 也无限接近 ,那么就可以说 在聚点处连续。

设 的定义域为D, 有意义且 是D的聚点,如果 ,则称 在点 连续。

一元函数若在区间D上每一点都连续,就可称它在这个区间D上连续,因此多元函数只要当它在区域D上每一点连续,也称它在区域D上是连续的。

一元函数的有界性定理:在给定闭区间[a,b]上连续那么它在闭区间[a,b]上一定有界,类比可以给出多元函数有界性定理;如果多元函数在有界闭区域上连续,则函数在该闭区域上有界。

三、类比法应用于数学的意义

根据以上的分析,可以得出类比法在数学解题过程中仍存在局限性,但是不影响它成为最富创造力和想象力的思维方式,在高等数学的学习过程中,需要广泛地运用类比法,培养自身的联想能力和对知识与技能的分析转换能力,有利于很好地培养自己在学习、解题的过程中发现问题并解决问题的能力,促进综合能力的提升。在高等数学中,恰当地运用类比方法能够使知识点化难为易,能提高自身的创造性思维,但类比不是盲目的,需要教师的正确引导和学生的自我感悟。合理的利用类比,才能实现数学学习质的飞跃。

不仅是应用于学习,甚至延伸至数学教学,类比法也可以让学生所熟悉的知识迁移过来,从而更容易掌握新知识,教学达到事半功倍的效果;另一方面,类比的过程是由已知向未知推广与发展的过程,是学生掌握的数学领域逐步扩充的过程。因此,在教学过程中引入类比,不仅可以引导学生懂得如何探索问题,而且有利于学生发展数学思维。

参考文献

[1]  牛新宇,吕闯,邰志艳. 类比推理在高等数学教学中的应用[J]. 中国校外教育,2016,575(30):139.

[2]  孙彩贤,王小平. 类比法在微积分教学中的应用[J]. 科技信息:学术研究,2006(08):306.

[3]  蔡琳文,陈跃辉. 大学数学教学中类比法的应用[J]. 闽南师范大学学报:自然科学版,2018,v.31;No.99(01):116-119.

[4]  王艳红. 数学解题中应用类比法的分析[J]. 数学学习与研究:教研版,2014,000(017):P.89-89.

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