一种基于小波高斯去噪声方法的迭代算法*

杨前华，赵 力

（1.南京信息职业技术学院教务处，江苏 南京 210023；2.东南大学信息科学与工程学院，江苏 南京 210018）

0 引言

磁共振成像（Magnetic Resonance Imaging，MRI）是一种常用的临床研究和疾病诊断的诊断工具，因为它提供了有关组织化学和生理信息。磁共振成像与其它医学成像方法相比，具有对人体无损害、可以采用多种参数成像和能够反映器官或组织的生化特征等特点，成为医学临床诊断重要的手段之一。然而，由于成像机制的限制，磁共振成像的时间/空间分辨率和信噪比之间存在矛盾。在磁共振图像中，噪声主要来自硬件电路的热噪声和被成像对象的生理学噪声两个方面。这些噪声会大大降低磁共振图像的质量，使得一些组织的边界变得模糊，细微结构难以辨别，增加了对图像细节识别与分析的难度，影响医学诊断。因此，采用后处理的方法进行图像去噪很有意义。

关于磁共振幅度图像中的噪声数学模型目前仍存在争议，多数学者认为磁共振幅度图像中的噪声是Rician 噪声，但是，也有些学者认为是高斯白噪声。大多数MRI 系统都是通过正交检波在频域采集成像对象的数据：

这里以yi,j是复观测数据，si,j是复无噪数据，ni,j是复高斯白噪声。考虑相位误差的影响，通常使用yi,j的模构成重建图像，幅度图像定义为：

式中nRe和nIm分别表示实部通道和虚部通道的高斯白噪声，θ表示相位差。由于|yi,j|是两个独立高斯随机变量平方和的平方根，服从Rician 分布。Rician 噪声是一种与信号相关的噪声，在信噪比高的区域表现为高斯噪声，而在信噪比低的区域是瑞利噪声。一般MRI 图像背景区域的信噪比非常低，因此，图像背景区域的噪声接近瑞利噪声。Rician噪声不仅可以引起像素值的随机波动，而且可以引入与信号相关的偏差。

Rician 噪声的联合概率密度从两个正交通道可以表示为：

它的均值和方差的期望值分别是：

其中，I0和I1表示第一类Bessel 函数，其中σ0表示噪声标准差。

可以看出，不同于被高斯噪声污染，如果一幅MRI 图像信号被Rician 噪声污染，噪声与信号相关，并且是真实信号是含噪信号的有偏估计。这些特征也会从空域传递到小波域，很难对小波域里的Rician 噪声建立数学模型。所以和高斯噪声相比，Rician 噪声更难去除。早期的一些去除Rician 噪声的方法[1-3]效果都不太理想。比较有代表性的去除Rician 噪声的方法是文献[4]中提出了一种多功能的小波噪声滤波器，它基于广义似然比的Bayes 萎缩函数，巧妙的回避了噪声数学模型的这个问题。

考虑Rician 噪声和高斯噪声的相关性，把这些去高斯噪声算法整合到去除Rician 噪声的算法中也是一个有效的思路。

1 一种多功能的小波噪声滤波器

一幅MRI 图像信号被Rician 噪声污染，很难对该图像小波域里的噪声建立数学模型；而对于大多数的小波去噪方法，噪声模型是非常重要的，它直接影响着去噪的效果，这是基于小波域去Rician噪声的主要困难。在文献[4]中，Pižurica 提出了一种多功能的小波噪声滤波器，它基于广义似然比的Bayes 萎缩函数，巧妙的解决了这个问题。

设H1表示假设“小波系数对应的是信号”，H0表示假设“小波系数对应的是噪声”。由统计理论，真实信号的概率密度为：

x的最小均方误差估计（MMSE）为：

由于在小波域中，式（7）简化为：

运用根据Bayes 公式和一些近似，Pižurica 提出了在实际应用时可以选择的一种基于似然比的萎缩滤波器：

它们分别表示了三个因素，这三个因素决定了某个小波系数是信号的概率：系数自身的大小（用η来表示）；周围小波系数的大小（用ξ来表示）和该系数所在子带系数的统计规律（用μ来表示）。

μ用来表示先验信息，一种简单计算方法可通过统计子带中二值掩模值为1 和0 的系数占全部系数的百分比得到。可以对图像做冗余小波分解，这样每一个小波子带都具有相同的尺寸。根据小波系数的尺度传递性，有用信号（如图像边缘）小波系数的幅度随着分解尺度的增加而增加，而表示噪声的小波系数正好系数则相反。利用该性质，令xp表示子带中小波系数x的父系数，可用下式对二值掩模标记进行估计：

其中，K为控制感兴趣信号的因子，σn表示噪声的标准差，可以利用本层小波系数的HH 子带来估计：

进而得到：

其中ek=|yk|。

2 基于高斯小波的迭代去Rician 噪声方法

如前所述，不同于被高斯噪声污染，如果一幅MRI 图像信号被Rician 噪声污染，噪声与信号相关，并且是真实信号是含噪信号的有偏估计。这些特征也会从空域传递到小波域，很难对小波域里的Rician 噪声建立数学模型，这是基于小波域去Rician噪声的主要困难。但其实考虑到第四章所讨论的诸多小波域中去高斯噪声的优秀算法，以及Rician 噪声和高斯噪声的相关性，把这些算法尽量整合到去除Rician 噪声的算法中是一个有效的思路。

如果在小波域还是利用去除高斯噪声的算法，那么可以在进行小波变换之前，考虑直接先在空域中减掉这部分偏差。这样，可以得到一个无偏的MRI 图像：

和高斯噪声不一样，Rician 噪声的方差也和信号相关。如果有较为准确的MRI 复原图像，在空域中可以用式（5）估计噪声方差。对该方差进行小波变换，可以在小波域得到比较为准确的噪声方差信息，回避了无法在小波域对噪声建立数学模型的问题。

可以看到，对于的上面的两点，MRI 图像质量非常重要，为了得到更加准确的估计MRI 图像，可以考虑利用迭代的办法。所以迭代算法如下：

（1）初始化：

（a）对噪声图像进行小波变换；

（b）对每一个高频子带，估计信号的小波系数；

（c）小波逆变换得到第一次的估计MRI 图像。

（2）迭代：

（a）利用式（15），估计无偏MRI 图像；

（c）对（a）步估计出的无偏MRI 图像进行小波变换；

（d）对（b）步估计出的噪声方差图像进行小波变换；

（d）对每一个高频子带，估计信号的小波系数（这里噪声的方差的大小是根据（d）步的结果计算）；

（e）小波逆变换得到估计的MRI 图像；

（f）如果（e）步估计的MRI 图像和前面一次迭代估计的结果的绝对平均差大于某个阈值，更新估计图像，回到2（a）步，继续迭代；否则，结束迭代，得到最终的复原MRI 图像。

一般经过3～5 次迭代，得到最终的MRI 去噪图像。可以看到，利用迭代可以一步一步得到越来越准确的MRI 去噪图像，而这个MRI 去噪图像可以帮助在空域中得到无偏MRI 图像和准确的噪声估计，有了这两点，就可以利用上章中的诸多小波域中去高斯噪声的优秀算法去除MRI 图像中的Rician噪声。

3 实验结果与分析

将上述提出的迭代算法与一些其他现有的去噪算法进行比较。实验对象是两个MRI 图像，对其添加不同噪声水平的Rician 噪声。将上述的迭代算法结合小波域中的Wiener 滤波器（I-WF）和第四章中的三元萎缩滤波器（I-TRISF）与小波域中的Wiener 滤波器（WF）及文献[4]中多功能的小波噪声滤波器（VF）进行比较。从图1 和图2 中可以看出，VF和I-TRISF取得了比较好的去噪效果；另外，相比于WF算法，迭代的I-WF有了明显的进步。从表1 中可以看出，迭代算法能够有效地提高去噪图像的信噪比[5-6]。

图1 不同算法对噪声MRI 图像去噪对比

图2 不同算法对噪声MRI 图像去噪对比

表1 不同算法对Rician 噪声噪声MRI 图像去噪SNR（dB）指标的比较

4 结语

核磁共振医学图像中常出现的Rician 噪声，如前所述，不同于高斯噪声，Rician 噪声与信号相关，并且是真实信号是含噪信号的有偏估计。实验证明，基于高斯小波去噪声方法的迭代算法可以非常有效的去除Rician 噪声，但仍然有提高的空间，主要的着手点应该是对噪声图像的理解与识别，使得去噪声更有针对性和选择性，后续将基于边缘去噪方法进行进一步的研究。