基于进化算法的一维多相声子晶体拓扑优化设计

2020-07-18郭凯红许卫锴

人工晶体学报 2020年6期

郭凯红,赵铮,许卫锴

(1.海装装备审价中心，北京 100071；2.南京理工大学能源与动力工程学院，南京 210094；3.沈阳航空航天大学，辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳 110136)

0 引言

一维声子晶体也称为超晶格，由于构造简单，易于制作，因此具有十分广泛的应用前景。超晶格一般由两种或更多种弹性介质按一定的顺序周期叠加而成，其中由两相材料组成的一维声子晶体已经取得了阶段性的成果，并发展了几种常用的带隙分析方法，如集中质量法[10-11]，传递矩阵法[10,12]和杆纵振解析解方法[13]等。然而，由于一维两相声子晶体带隙频率往往比较高，且相应的带隙宽带不够大，因此，研究人员开始将目标转移到三相或多相结构上来[14-17]，并讨论了结构参数和材料参数对其带隙的影响。

研究表明，声子晶体作为一种复合介质，其结构参数和材料参数是影响其带隙特性的主要因素，通过控制和调整周期性单胞内的材料布局及属性，可以设计出所需的具有特殊带隙特性的复合材料，这需要拓扑优化的思想。基于拓扑优化技术，研究人员对一维和二维声子晶体的微观结构进行了设计[18-24]。然而，已有的工作绝大多数都是设计两相复合材料，对一维三相声子晶体的拓扑优化设计研究仍然较少。

本文将利用遗传算法对一维三相声子晶体进行拓扑优化设计。通过引入改进的二进制变量[20]以描述三相材料单胞，并给出了两个拓扑优化算例。计算结果将为一维多相声子晶体的设计及多目标优化提供理论依据。

1 模型与方法

1.1 声子晶体模型

理想的一维声子晶体结构多由无穷多个无限大平板依次排列组成，且在其中的一个方向上具有周期性。但在实际工程中不可能存在无限大的模型。研究表明[21]，有限周期的层状结构即能表现出良好的带隙特性。如图1所示，三种不同的材料周期性交替排列，当弹性波仅沿排列方向传播时，将可能出现弹性波的禁带。

1.2 传递矩阵法

考虑图1所示的一维周期性结构，Floquet’s定理[25]和传递矩阵法[12]是常用的有效方法。在实际的优化设计中，实际的材料层数往往大于3。不失一般性，假设具有n层的一维层合材料，当弹性波在其中的任意单层中传播时，其纵波的控制方程为：

(1)

其中j表示单层的序号，Ej和ρj分别为该层材料的弹性模量和密度。于是，该层的传递矩阵可表示为：

(2)

烽火台下，废校场上，四拨人马四向而立。为了体现公道，决斗双方皆避开阳光。风云八虎一方朝南，秦铁崖一方朝北，老太医、乔十二郎等观战之人朝西。乔十二郎出门，照例涂黑额头面颊，一来为掩盖真面目，二来为遮住额头伤疤。乔十二郎一方的队列后有座高高的土墩，那是旧时的检阅台，其上坐着一位重要人物，乃决战见证人，长城大侠魏长安。魏长安须发皆白，然雄风犹在，在北方乃至中原武林威望极高。以上三方都没什么异常，令人狐疑的是，背朝太阳的一方，居然是一队骑兵，乔十二郎数了数，有三十二骑。骑兵身后，停着一顶装饰华贵的马车。

(3)

利用Floquet’s定理，可得到表征周期性层合材料色散关系的特征值问题：

(4)

其中xL表示介质的左边界。求解改特征值问题即可得到表示弹性波带隙的色散曲线(ωvs.k)。

1.3 多相材料的设计变量

一般来说，材料的拓扑优化设计是将设计域离散成细小的网格，然后在网格中填充不同的材料。鉴于遗传算法的二进制变量中仅有1和0两种元素，因此在两相材料的拓扑优化问题中具有独特的优势[26-27]，如“1”表示一种材料而“0”表示另一种材料，但在多相材料的设计中将不再适用。另一方面，在一维结构的拓扑优化设计中，不同的染色体还会产生另一种问题：相邻的1和0元素的个数会导致不同层数的拓扑构型，即需要将二进制的设计变量转化为不同材料分层的单胞形式。为了解决这两个问题，引入“二元对”变量

(5)

若将一个设计周期细分为l个细条，则该单胞可由一个长度为2l的染色体表示

a=((x1,y1),(x2,y2),…,(xl,yl))

(6)

定义

(7)

于是单胞的材料分布可由变量b=(b1,b2,…,bl)表示。进一步的，为了描述单胞内材料的真实分层，参照文献[21]，引入逻辑算子：

(8)

并定义si=XOR(bi,bi+1)，于是s=(s1,s2,…,sl-1)表示材料在单胞中的突变，即si=1时表示即将变成另一种材料。于是，单胞中材料的总层数为

(9)

若引入变量q=(q0,q1,…,qn)，其中q0=0,qn=l, 且qj(j=1,2,…,n-1)表示s中元素为1的序号，则单胞中每层材料的厚度和属性分别为

(10)

mj=bqj,j=1,2,…,n

(11)

联立方程(5)～(11)即可将一个任意的染色体a转化为真实的单胞构型，从而计算其带隙性质并利用遗传算法进行优化设计。

2 结果与讨论

本文选取以下三种材料：0为铝，1为橡胶，2为PMMA。材料参数如表1所示。单胞的总厚度为0.18 m。在对单胞进行离散时，尽管更多的分层数可能会产生更好的数值结果，但过薄的分层将导致加工困难和成本增加。因此，为了便于与文献[21]比较，将单胞分为30份，即染色体的长度为60。遗传算法的运行参数见表2。与文献[21]类似，为了保证设计结果的稳定性，每个算例运行5次。