大学物理教学中关于夫琅和费单缝和圆孔衍射光强分布对比探讨

刘钢

摘 要 本文以惠更斯—菲涅耳原理作为理论基础，利用旋转矢量法，对比探讨夫琅禾费单缝及圆孔衍射光强分布的相似与不同。并借助开源计算软件Python，计算并绘制出了它们的光强分布图。

关键词 夫琅和费单缝衍射 夫琅和费圆孔衍射 旋转矢量法

中图分类号：O436.1文献标识码：A

夫琅和费衍射是大学物理波动光学中的一个知识重点，同时对于学生来说也是一个知识难点。我们知道，通过菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式可以对夫琅和费单缝和圆孔衍射光强分布进行严格的计算。但是，由于该方法比较复杂， 在主要面对非物理专业学生的大学物理教学中一般很少使用， 而是采用较为简单的菲涅耳半波带法以及选择矢量法对夫琅和费单缝衍射光强分布进行近似地探讨。对圆孔衍射，通常则是直接给出结果，没有给出具体的计算过程。这样虽然避免对学生展示枯燥繁复的数学运算，但是，同时也造成了学生对两种衍射过程的迷惑，不清楚两种衍射的区别如何产生。本文以旋转矢量法为基础，对两种衍射进行图示研究，并配合计算程序进行数值求解，力求使学生对两种衍射的过程及原理产生较为深刻的理解与掌握。

1旋转矢量法

考虑一束平行光通过单缝或者圆孔，发生的衍射光路如图1所示。这里我们对单缝和圆孔采用了同样的模型。我们以单缝或圆孔的最上方为原点，向下建立x坐标轴。这里圆孔半径为r，单缝x方向的高度为D=2r。在x处选择一个长度为，高度为dx的狭窄的水平波带。相比于原点位置，这一波面内各点对应的光程差均是 =xsin ，对应的相位差则都是△ = 。由于这一狭窄波带内的任意光振动相互之间没有光程差，那么它们的合振动振幅A'x～cAds，这里设波面内任意一点发出的光振动振幅为A，c是一固定系数，ds=dx为波带的面积。从这里可以看到，单缝衍射和圆孔衍射有一个明显的不同：单缝衍射中波带长度是固定不变的，而圆孔衍射中是会随x改变的弦长：=。而这会导致x处的波带产生不同的干涉结果：对于单缝衍射来说，产生的合振动振幅始终不变，而在圆孔衍射合振动振幅将会随x变化。最终我们会看到，这将导致两种衍射的不同光强分布。

现在我们用旋转矢量法来考虑沿着x方向的各個波带的叠加。对于单缝衍射来说，这是多个等振幅、相邻相位差相等的振动矢量叠加，对应于正多边形的一部分。当我们在x方向进行无限多的分割之后，参与叠加的矢量也变成无限多，这就形成了一段圆弧，如图2所示。当振动矢量正好构成完整的圆的时候，合振动为零，对应于单缝衍射的暗条纹;当正好构成半圆弧的时候，合振动有极大值，对应于衍射的明条纹（近似）。但是对于圆孔衍射来说，这是多个振幅变化、相邻相位差相等的振动矢量叠加。在图2中可以看到，它不能构成正多边形和圆弧，因此合振动极大、极小值的位置求解也变得相应复杂。

图2：夫琅和费单缝和圆孔衍射旋转矢量合成示意图。其中（b）、（c）、（d）分别表示圆孔衍射的1级暗纹、1级明纹以及2级暗纹的旋转矢量合成示意图。

2计算模拟

基于前面的讨论，我们采用开源软件Python来进行数值运算。我们将波面分成N等份，每份高度△x==，第i份的位置xi=△x i，相位差△ i=△xi，光振动振幅Ai=△x i，波带长度对于单缝衍射来说i=L（L是表示单缝水平长度的常数），对于圆孔衍射而言，i=。它们对应的光振动在平面直角坐标系内可以表示为xi=Aicos△ i，yi=Aisin△ i。进行三角形矢量叠加之后，它们在平面坐标系内的位置则可以表示为：X=xi，Y=yi。合振动对应光强是I=。计算得到的结果如图3，其中具体数值见表1。参考严格的积分结果，可以发现我们计算的结果非常接近，证实了我们模型和计算的正确性及可靠性。

3结论

本文基于旋转矢量方法，提出了关于夫琅和费单缝及圆孔衍射的一种讨论方案。对比于严格的菲涅耳—基尔霍夫积分方法，我们采用的图示方法比较形象，并且避免了繁杂的公式推导和数学运算，容易为工科学生理解和接受;它采用了同样的模型探讨单缝及圆孔衍射，明确地指出了这两种衍射光强分布不同的产生原因。同时，它得到借助计算软件进行数值运算，得到了非常严格的结果，有助于加深工科学生对数值运算和计算机软件应用的重要性的理解及认识。

参考文献

[1] 姚启钧.光学教程[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] 马文蔚.物理学教程[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3] 张庆国，尤景汉.大学物理学[M].北京：机械工业出版社，2013.

[4] 马垄，褚园，焦铮.夫琅禾费圆孔衍射光强分布的研究[J].黄山学院学报， 2011，13（05）：16-19.