一种板桁结合型加劲梁竖向抗弯刚度的近似算法

2020-07-16崔子鑫李海超张艳萍

国防交通工程与技术 2020年4期

崔子鑫，李海超，张艳萍，庞彧

(1.陆军军事交通学院五大队，天津 300161；2.陆军军事交通学院国防交通系，天津 300161)

板桁结合型加劲梁(后称加劲梁)是由正交异性桥面板与主桁架结合起来共同承担荷载的结构。与非结合型加劲梁相比，加劲梁具有自重小、刚度大的特点，现已成为桥梁特别是大跨度桥梁的主要结构形式，例如闵浦大桥、清水河大桥、北盘江大桥、岳阳洞庭湖大桥等。

对于加劲梁的研究主要采用有限元法，但建立实际结构模型会因建模复杂、节点单元数量大而降低计算效率[1]，并且在较多针对其竖向变形特性的研究中，往往多关注桥梁整体竖向动力响应，因此只需要研究相同竖向刚度下的单梁模型即可满足工程需要。

对于梁来说，计算抗弯刚度的方法包括手算与电算。手算是根据经典材料力学的方法，选取截面，计算截面的惯性矩I，将惯性矩与材料弹性模量相乘即可求出抗弯刚度K；电算方法则是需要建立实际结构模型，通过施加特定约束和荷载工况计算挠度，依据材料力学的挠度计算公式反推梁的抗弯刚度。而对于像加劲梁这一类“非连续”结构的梁，由于截面惯性矩随着截面选取的位置不同而变化，手算方法不再适用，而用电算反推惯性矩也无法避免因建立复杂模型而带来的问题，因此需要提出一种计算加劲梁竖向抗弯刚度的简化算法。在之前，许多学者对空间桁架与板的组合结构进行了研究。1965年，日本学者Okumura[2]将华伦桁架梁等效成近似箱型截面梁。1970年，李国豪院士[3，4]提出了便于应用的桁梁扭转、侧倾稳定以及挠曲—扭转的基本理论。贺拥军[5]分析了交叉立体桁架网格结构的变形受力特点与简化计算方法。周燕其[6]等人以某钢管桁架悬索桥为例，分别通过手算、Midas建模计算以及荷载试验三种方法研究加劲梁的受力情况，发现在活载作用下，桥面板会与桁架梁共同抗弯。陈常松[7]等人研究不同桁高和节间下的华伦式和普拉特式空间桁架梁模型的惯性矩。王磊[8]等将正交异性板简化为虚拟主梁和虚拟斜杆组成的X型桁架。戴学宇[9]等人应用挠曲扭转理论推导计入桥面板作用的抗弯刚度的计算公式。

综上，虽然学术界对加劲梁结构抗弯刚度的算法进行了一些研究和探索，但是并没有提出一个统一的算法，而传统的算法[4]因忽略了桥面板的贡献导致计算精度不高。因此本文通过将加劲梁连续化处理为箱梁，再通过箱梁提出计算加劲梁竖向抗弯刚度的算法。由于本文仅考虑竖向荷载所引起的挠曲变形，因此后文中惯性矩和抗弯刚度如没有特殊说明，仅指竖向弯曲惯性矩和竖向抗弯刚度。

1 加劲梁的结构特点及连续化等效原则

1.1 加劲梁的结构特点

通过对国内外26座典型加劲梁结构分析[10]，汇总可知加劲梁依据桥面位置可分为上承式、下承式以及双层桥面式，主梁结构主要包括桥面系、主桁架、主横桁架以及下平联；主桁结构包括单斜腹杆系(如普拉特式桁架结构)和双斜腹杆系(如X型、米字型桁架结构)，如图1所示；下平联一般采用斜杆组合结构，例如K型、M型和X型下平联，如图2所示。

图1 主桁架结构示意图

图2 下平联结构示意图

1.2 连续化等效原则

所谓连续化等效，就是采用“拟腹板”的思想，将主桁腹杆和下平联的斜杆连续化处理为薄板结构，基于应变能互等原理计算薄板的等效厚度，最终将加劲梁连续化等效为箱梁。

通常，在竖向挠曲变形中，桥面板、中纵梁与主桁上弦杆共同承受压力，下平联与下弦杆共同承受拉力，主桁的斜腹杆主要承受剪力，其余部分在竖向弯曲变形中或不受力或受力较小。

因此在研究过程中做以下处理：

(1)将中纵梁处理为桥面板的加劲肋，使之成为桥面板的一部分，后文所指桥面板即表示计入中纵梁的桥面板。

(2)在竖向挠曲研究中，忽略次要构件的影响，比如主横桁架、次横梁等。

(3)不考虑连续化处理后薄板的稳定性以及剪力滞后效应。

(4)将焊接的节点简化为铰节点。

2 主桁腹杆系连续化等效厚度计算

2.1 主桁腹杆系类型对惯性矩的影响分析

根据加劲梁在竖向荷载作用下的传力机理，将荷载的传力路径分为通过桥面板直接传递到节点和通过桥面板到次横梁再作用到节间两类。对于第1类传力路径，荷载将引起加劲梁整体的竖向弯曲；而对于第2类传力路径，荷载不仅会引起加劲梁整体竖向弯曲，同时还会使上弦杆节间发生局部竖向弯曲。为保证计算精度，杆系单元采用考虑剪切变形的beam188单元，并将中纵梁处理为桥面板的加劲肋。桥面板和加劲肋均采用平面应力四节点的shell181单元，并通过glue命令将桥面板和加劲肋粘结，梁单元与面单元通过共节点传递作用力。选取北盘江大桥中跨梁段进行建模，建立240 m跨度的悬臂梁结构，在自由端施加集中荷载，其中钢材强度等级为Q345，密度为7.8 g/cm3，弹性模量为2.1×1011Pa，泊松比为0.3。

建立如图1所示两种工况的主桁：工况一为单斜腹杆系，工况二为双斜腹杆系。通过数值仿真可以得到主桁各节点的竖向挠度，再根据公式(1)求得加劲梁的惯性矩I，结果如图3所示。

(1)

式中：y为加劲梁竖向挠度；P为自由端集中力；x为距固定端的距离；L为跨度；E＇为加劲梁的弹性模量。

图3 不同斜腹杆工况下惯性矩结果

通过图3结果可以得出，横向来看，边界条件对加劲梁的惯性矩求解有较大影响：在离约束较近的范围内边界约束效应较大，从而导致该区域的结构刚度加大，惯性矩较大。而随着距离的增大，约束效应减弱，并逐步趋于平稳，呈现出来梁自身特有的属性，因此选取平稳处的值作为加劲梁的惯性矩。纵向来看，双斜腹杆系的结果比单斜腹杆系的结果大，但是相差很小，这是因为斜腹杆影响加劲梁的竖向变形中剪切变形的部分，而剪切变形并不是影响竖向挠曲变形的主要因素。

2.2 主桁斜腹杆连续化薄板等效厚度计算

2.2.1 单斜腹杆系连续化薄板

如图4所示，取受剪状态下的单节间主桁隔离体进行分析。为保证两者应变能相等，因此在单位剪力作用下主桁和连续化薄板产生的变形相等，即Δ1=Δ2，所以两者角变形γ也相等。

图4 单节间单腹杆系连续化

截面的弯矩M由上下弦杆作为翼缘来承受，剪力Q则由斜腹杆来承受。如图5(a)所示，在Q=1的单位剪力作用下结构发生位移Δ1，此时斜腹杆的内力Fd为：

(2)

式中：E为主桁架材料弹性模量；Sd为斜腹杆截面积；h为桁高；α为斜腹杆与下弦杆的夹角。

桁架结构的剪切应变能U1为：

(3)

式中：d为斜腹杆长度。

与之对应薄板的剪切应变能U2为：

(4)

式中：G为主桁架材料剪切模量；γ为角变形；l为节间距离。

根据剪切应变能互等原理可知薄板厚度t1为：

(5)

2.2.2 双斜腹杆系连续化薄板

如图5所示为几种常见双斜腹杆系类型，以图5(a)为例计算双斜腹杆系连续化薄板等效厚度。

图5 双斜腹杆系示意图

如图6所示，取受剪状态的单节间桁架为隔离体进行研究，同理两者结构的角变形也相同。

图6 单节间双腹杆系连续化

在单位剪力作用下斜腹杆发生轴向变形，根据变形协调得斜腹杆的轴力Fd为：

(6)

此时桁架体系的应变能U3为：

(7)

与之对应薄板的剪切应变能U4为：

(8)

又因为主桁和等效钢板产生的位移相等，即Δ3=Δ4，根据剪切应变能互等原理可知薄板厚度t2为：

(9)

3 下平联斜杆和横梁连续化等效厚度计算

3.1 下平联类型对惯性矩影响分析

将下平联结构分为以下3种工况：工况一为X型下平联，工况二为K型下平联，工况三为M型下平联，应用同样的方法反推惯性矩，结果如图7所示。

图7 不同下平联工况下惯性矩计算结果

通过对图7分析可知，与M型和K型平联相比，X型平联会有效提高加劲梁抵抗竖向挠曲变形的能力，这是因为在竖向挠曲中，X型平联中的斜杆和竖杆与下弦杆共同承担外荷载，而M型和K型平联的斜杆和竖杆不承担荷载。

3.2 下平联连续化薄板等效厚度计算

将下平联分为静定结构与超静定结构，K型和M型下平联为静定结构，而X型下平联则为一次超静定结构。

3.2.1 静定平联连续化薄板

取轴向受力状态下的单节间K型平联作为隔离体进行分析，当弦杆作用如图8(a)所示的荷载F时，对节点分析可知，只有1-2弦杆和3-4弦杆受力，其余杆内力为0，因此K型下平联不抵抗竖向挠曲变形；同理对于如图8(b)的M型下平联进行受力分析可知，只有1-2弦杆和6-7弦杆受力，其余杆内力为0。由此推测，对于静定的下平联，主桁下弦杆可直接平衡外力，斜杆和竖杆不受力，因此认为静定下平联不抵抗竖向挠曲变形。

图8 下平联受力示意图

3.2.2 超静定平联连续化薄板

图9 X型下平联受力图

对于如图9(a)的X型下平联，需将2-4杆截断如图9(b)所示，将轴力X1作为外力，再根据力法方程计算轴力X1：

δ11X1+Δ1F=0

(10)

式中：δ11为X1=1的单位荷载作用下引起的位移值；Δ1F为外力F作用下引起的位移值。一般来说，下平联和主桁架材料弹性模量相同，因此：

(11)

(12)

式中：H为两片主桁的中心间距；Aij表示i-j杆的截面积；β为下平联斜杆与下弦杆的夹角。

代入力法方程得轴力X1为：

(13)

再由节点2的平衡关系可得1-2杆的轴力F12和变形Δ12为：

(14)

(15)

根据变形协调可知Δ12为X型下平联在F=1的单位荷载作用下产生的轴向变形，因此X型下平联的拉应变能U5为：

(16)

式中：Fij表示i-j杆的轴力。

薄板在F=1所产生同样变形时的拉应变能U6为：

(17)

所以根据拉应变能互等原理可得薄板的等效厚度t3为：

(18)

最终将加劲梁连续化为如图10所示箱梁。

图10 连续化箱梁截面示意图

对于静定平联，加劲梁则连续化为如图11所示的π梁。

图11 连续化π梁截面示意图

3.3 加劲梁抗弯刚度计算公式

(19)

桥面板所承受力T为：

(20)

式中：Ab为桥面板截面积。

基于压力不变的等效原则，选取几何中心不变的位置，将桥面板截面积等效为相应弦杆材料的截面积Ah：

(21)

因此箱梁的惯性矩I为：

(22)

一般来说，桥面板等效面积Ah要比2S1的值要大，即桥面板对抗弯刚度的贡献较大，因此在计算抗弯刚度时不可忽略桥面板的作用。

4 惯性矩简化计算公式的精度验证

加劲梁主桁分别选择单斜腹杆系和双斜腹杆系两种工况，下平联分别选择K型、M型和X型三种工况，两两组合并建立240 m跨度的悬臂梁有限元模型，反推加劲梁的惯性矩并与简化计算结果比较，计算结果及相对误差如表1所示。

表1 手算惯性矩值与仿真惯性矩值的比较

由表1可以看出，对于同种形式的下平联，双腹杆系主桁比单腹杆系主桁的竖向抗弯刚度高大约5%；对于同种腹杆系不同形式的下平联来说，K型下平联和M型下平联对竖向抗弯的贡献相同，X型下平联比K型和M型下平联的竖向抗弯刚度高大约12%，因此在计算时需要计入X型下平联的贡献，这与理论推导相一致；由于公式推导过程中对加劲梁进行了一定程度的简化，所以手算结果与数值结果存在一些偏差，但是相对误差小于5%，满足工程需要。