基于伴随方法的冲压发动机进气道反设计研究

2020-07-16王仁杰苏纬仪

机械制造与自动化 2020年3期

王仁杰，苏纬仪

(南京航空航天大学能源与动力学院，江苏南京 210016)

0 引言

对超/高超声速进气道，传统设计方法为正向设计，根据等强度配波理论与Busemann等熵压缩进气道等方法[1]并结合经验设计初始进气道，然后不断改进直至得到满足性能要求的进气道。然而传统正设计方法难以满足日益严苛的工程需求，探求新型进气道设计方法十分必要。

张堃元教授[2]提出全新的弯曲激波压缩进气道反设计方法。通过合理给定进气道壁面参数分布规律，反求进气道压缩型面。反设计方法得出的弯曲激波压缩进气道，其压缩波可逐渐汇聚，成为弯曲激波。这种设计理念给进气道设计带来很大的灵活性，具有很强的应用潜力。

经过大量深入研究，基于特征线理论的弯曲激波压缩进气道反设计方法已发展成熟，然而其局限性不可忽视。首先，特征线理论只适用于超声速流动，对于跨声速与亚声速流动均无法应用；其次，特征线理论基于理想气体假定，经反设计程序计算后需粘性修正才能得到最终型面，而粘性修正的经验公式很多情况下并不准确，以致型面无法达到预期要求；同时，若给定反设计参数分布不合理，则几乎无法得出反设计结果。因此，解决这些局限性显得尤为重要。

将反设计问题转化为优化问题，结合流场计算与优化算法，可解决上述局限性。在诸多优化方法中，基于梯度的局部优化算法计算效率高，获得了广泛应用，在此过程中，梯度求解十分关键。

20世纪80年代，JAMESON创造性地提出伴随方法的概念[3]，其计算多参量梯度问题时具有非常高的效率，得到广泛关注。国内外在飞行器外流气动优化方面对伴随方法进行了大量研究，取得了丰富的成果。

对于参数化困难、设计变量众多的弯曲激波压缩进气道反设计，伴随方法尤其适合，然而，在进气道内流道气动型面反设计领域，公开发表的文献尚不多见。为此，本文构建了基于RANS(雷诺时均N-S方程)及其伴随方程的进气道反设计系统，开展了基于压力分布规律的进气道压缩型面反设计研究，为进气道反设计提供参考。

1 进气道反设计系统

1.1 控制方程与伴随方程

将反设计问题转化为优化问题后，须分别求解控制方程与伴随方程，得到目标函数值及其梯度分布，进行敏感性分析，确定优化搜索路径。

流场计算的控制方程为Navier-Stokes方程，其守恒形式[4]为

(1)

对于伴随方程求解，由针对气动优化的伴随方法[5-6]可知，形状优化的目标函数J为设计变量α与流动参数U的函数，同时U与α必须满足流动方程R(U,α)=0。因此流动优化问题的数学模型为

(2)

通过引入伴随变量λ，可推得

(3)

最终目标函数对于设计变量梯度可表示为

(4)

1.2 几何变形与网格变形方法

优化过程涉及几何变形与网格变形。对于几何变形方法，本文采用自由变形方法(FFD方法)，其最早由SEDERBERG与PARRY提出[9]，广泛应用于计算机图形学中。此方法将研究对象置于由控制节点组成的控制框架中，建立控制框架的节点与控制框架内每一位置的对应函数关系，通过改变控制框架节点的位置，进而改变几何型面中每一个点的坐标[10]。

(5)

为Bernstein基函数。FFD方法使用Bernstein基函数建立了控制框架节点与控制框架内几何对象任意一点的函数关系:

(6)

本文所使用的网格变形方法为弹性体方法[12]，最早由TEZDUYAR[13]为解决不可压缩圆柱流动时提出，后众多研究者对其进行了改进与发展，目前广泛应用于气动优化设计与计算流体力学等领域[14]。该方法将网格看作弹性体，当几何改变时，其网格按照求解线性弹性方程进行变形[15]，因而弹性体方法是一种基于物理模型的通用网格变形方法。

1.3 目标函数及反设计过程

基于伴随方程的反设计方法基本思想是，将目标参数分布与初始型线参数分布的差异作为目标函数，通过求解控制方程与伴随方程，计算目标函数对设计变量梯度以指导变形，最终得到与目标参数分布最为接近的几何型面。

对于基于压力分布的反设计，定义目标函数

(7)

其中Cp,target、Cp分别为目标压力系数与实际压力系数。

优化过程中，优化算法选择同样重要。本文所使用的优化算法为序列最小二乘规划方法(SLSQP方法)，是一种基于梯度的约束优化算法[16]，由于计算量小，此方法在工程中获得了广泛的应用。

伴随方法计算过程如图1所示，对初始的网格进行流场计算后，通过求解伴随方程获得目标函数对于设计变量的梯度，由梯度结果进行几何与网格变形，并对新的网格进行下一次迭代计算。如此循环，直到目标函数达到局部最小值停止计算，并输出优化后的几何构型与对应目标函数值。

图1 优化过程

2 结果分析与讨论

对于线性分布的压升规律，壁面无量纲压力与横坐标之间的关系为

(8)

控制压升规律k=6.0为定值，选取8组不同的来流马赫数进行计算，分别使用罗马数字Ⅰ-Ⅷ来表示不同的马赫数，具体如表 1所示。同时在计算结果中，选取具有明显差异的3组典型马赫数进行对比，两种方法的压力分布及型线如图2所示。

表1 不同马赫数下线性压力分布的系数

图2 不同马赫数下压力分布与几何型线对比

由不同马赫数下的压力分布对比可知，在较低马赫数时，如Ma=3.5与Ma=6.0时，两种方法结果相当；而在较高马赫数时，如当Ma=9.0时，基于伴随方程的反设计方法与目标压力分布十分接近，而基于特征线理论的反设计方法，其压力分布整体高于目标压力分布。这是由于基于特征线理论的反设计方法，其粘性修正并不准确。这充分体现了伴随方法直接基于RANS方法的优越性。

由图2还可看出，基于特征线理论的反设计方法结果均较目标压力偏高，而基于伴随方程的反设计结果在目标压力附近上下波动，这也是两种反设计方法的特点。

两种方法的马赫数分布对比如图3所示(本刊为黑白印刷，如有疑问请咨询作者)。由图3可看出，两种方法所得的反设计进气道构型相差不大，二者马赫数分布有较小区别，基于伴随方法的反设计其马赫数分布更为均匀。因此，基于伴随方程的反设计方法相比于基于特征线理论的方法更为优异。