沙漏中的物理——趣味问题的研究性学习

陈艺灵

(北京师范大学附属中学,北京 100052)

在解题过程中,学生总是习惯用牛顿运动定律.虽然大部分题目可以解决,但是在遇到连续体、变力、短时间作用等情况时,牛顿运动定律便不好用了,需要求助动量定理.事实上,动量定理的意义比牛顿运动定律更深刻,它不仅仅在宏观、低速的情况下成立,在微观、高速情况下也适用.或者说牛顿运动定律可以解决的问题都可以从动量的角度来解决,只是我们在题目中碰到的大多数情况用牛顿运动定律更便捷,而需要用到动量定理的生活实例比较少.

沙漏作为一个学生们都见过的计时物品,它内部的沙粒流动是连续且小质量的,必须用动量定理来分析(图1).而同时它是一个易获取易展示的实验器材,方便验证理论计算的结果.因此我们可以选择沙漏来做研究性学习的对象,分析其中的物理原理.2018年国际青年物理学家竞赛(IYPT)的第13题即是沙漏问题:“时间计量众所周知,沙漏的重量会随沙子的流动而改变(按比例度量).研究这种现象.”

图1 沙漏与其简化模型

问题1:在瓶中正在下落的这部分沙有向下的加速度,是否因此整个沙漏(包含沙)质心向下加速,称重小于实际重量?

如果用整体法研究,那么不仅要看“失重”的这部分沙,还要要看到落到瓶底突然停下的这部分沙,它们有向上的加速度,或者它们对瓶底有向下的冲击力,因此问题1的观点不成立.

问题2:因在空中下落而被少算的部分沙子有多少?

问题3:沙子冲击瓶底带来的比自身重量多出来的力是多少?

空中“失重”的沙“失去”的重量竟然与撞击瓶底“超重”的沙“超出”的重量一样,这两部分抵消后,沙漏无论是否在流动,称重重量应该不变.这个计算过程是标准的用动量定理解决连续体或流体,以及涉及到短时间冲击力的复杂问题方法.对沙漏问题的研究是从身边事物出发,以问题为向导,建模探索答案的过程.

当然如果不计算,也可以解决这个问题,我们可以用整体法来考虑.

沙漏中的沙子虽然一部分有向下的加速度g,一部分受到冲力而有向上的加速度,并不是受力平衡的研究对象,但是中间的沙流动态分布是稳定的.这类似稳恒电流中电荷在运动,不是静电平衡,但电荷的动态分布不变.同样的，沙漏中间的那段沙流的质量分布不变,速度分布不变,处在动态平衡中，而大部分不流动的沙子速度一直为0.既然研究对象的速度分布不变,那么整体或者说质心就是没有加速度的.沙漏流沙的过程中,若Q0不变,那么Δt时间内有同样多的沙从上方搬运到下方,质心只是在匀速下降,于是称重重量就应该等于实际重量.

问题4:为什么沙漏的重量在沙子流动时会改变?

这个问题最容易想到干扰因素,也是IYPT中一些队伍提到的因素,就是空气阻力.如果空中的沙子受到向上的空气阻力,各处沙子速度减小,空中“堆积”的沙子多,少算的沙子就多;而撞击底部的沙子速度小,由冲击力多算的沙子重量就减少,两者不能抵消,会造成称重重量小于实际重量.但事实上沙子与雨滴等流体不同,受空气阻力更小,且在沙漏瓶的短距离内,空气阻力的效果应该不大.

事实上,沙漏在稳定下漏阶段称重是增加而非减少的,并且稳定沙流阶段测量重量被测量并报道过,如图2所示.[1]

图2 沙粒下落过程中沙漏受到支持力的监测结果

那么是什么原因导致沙子稳定往下流,但称重增加呢?有学生提到沙子落下后反弹.根据动量定理,如果沙子反弹,则对瓶底冲击力更大,的确会使称重增加.但实际观察沙漏,反弹的现象并不明显,特别是流沙扎入下方沙堆后,受到较大摩擦力,几乎不反弹,但无论是什么样的沙漏,都能观测到“重量增加”,因此反弹说并不成立.

从整体法,或者说质心的角度来看,先前的假设是每段时间沙子往下漏同样的高度h,于是质心匀速下降;但现在每段时间沙子下降的高度不同了.刚开始下落时,沙子整体看是从上瓶的上表面减少,在下瓶的沙表面增加,上面沙高,下面沙低,降落高度大;沙子漏了一阵之后,上瓶的沙表面下降了,下瓶的沙表面升高了,新流动的沙子需要下降的高度减小.流量不变的情况下,Δt时间内总有Q0Δt的沙子被搬运,后来的搬运距离小,质心就不是匀速下降,而是减速下降.

图3 直筒型与圆锥形沙漏模型

图4 圆锥形沙漏重心降落的加速度随时间变化规律

若沙漏是直筒、圆锥的组合或者漏斗等其他情形,也可以类似计算,但无论什么样的沙漏,沙子需要下降的距离都是随时间减短的,只要h是t的减函数,都能定性地得出称重增加的结论.

问题5： 如何解释沙子刚开始流下和马上要漏完时称重与实际重量不符?

以上讨论均在沙流稳定的情况下进行,即去掉一头一尾,不看沙刚开始下落以及最后沙快要落完的时候.刚开始下落的时候沙子还没有触及到瓶底,因此只有少算的空中流沙,而没有冲击力,这时候称重重量会小于实际重量.而且沙子在漏口并不是稳定流出,刚开始堵在漏口的沙子落下后,上瓶中的沙子开始缓慢运动下来补充漏口的沙.上方沙面也并不是保持水平下降,中间会出现一个凹坑,再保持凹坑面往下降,因此称重大小可能波动,并不规则.沙子流到下方的瓶中也不是马上堆平,而是先形成一个沙堆,当沙堆增高角度达到稳定角[2]或者摩擦角时,沙再往两边流下铺在底瓶中.在形成沙堆的过程中,质心比平铺上升得快,也会给称重带来波动.

特别地,当沙子颗粒太小,阻碍空气流动,造成上下气压不同时,沙漏可能不流动;颗粒增大,沙漏可能断续的崩塌式流动,[5]称重随时间的图线会出现锯齿状小起伏;而颗粒大到可以使空气很容易渗透时(>300 μm),就会出现连续流动;当然颗粒不能大到与漏口可比,否则颗粒之间的拱形结构会阻塞漏出,[6]就像人太多挤着通过门口会比人少时通过的流量小,当漏口直径小于颗粒直径5倍时会完全堵塞无法自行下落.

至此我们讨论了沙漏在流动过程中为什么称重会改变.这种从身边现象提出问题,再进行研究的问题式学习对学生而言更有代入感,研究中并不指定要用到哪部分知识,需要学生从自己的知识库中去寻找解决问题的理论工具,并与实际问题相结合,有理有据地进行逻辑阐述.

但这样的问题完全抛给学生自行解决是很难的,需要教师设置问题,层层深入.这些问题不一定得正确,比如第1个问题所提到的猜想,也可以是学生讨论出来的思路.在错误的探索中学生们才能体会研究的一般过程.在这个过程中,教师可以先预估学生们可能会提出一些什么问题,每个问题可能有些什么回答,做好预案.当然这种问题式的研究型学习,作为教师也不可能全都能马上回答与判断,可以与学生们共同花时间研究计算再得出结论.

解决问题的正确道路很多,但如果讨论方向跑偏太多,教师需要通过提问把学生的思路拉回正确的路上.例如可以把沙漏称重问题进行分解,变成第2、3两个问题,他们的分别计算并不难.问题2的流量类似于人教版教材必修2第5章第2节课后练习第1题所求体积流量,第3个问题类似于第16章第2节课后练习第4题,是学生稍加引导能够得到的,并且整体法的动态平衡思想是恒定电流一章学过的.通过这2个问题,我们已经搭建了沙漏模型的基础,但是粗略的模型往往不能给出与实际一致的结果.这并不是说粗略模型的搭建没有意义.只有有了这个基础,我们才能在此之上进行修正与改进,不断逼近真相.实际生活的世界往往与物理教科书中不同,即使是一个小小的沙漏,也不能用简单的模型来完整构建.同学们需要体会并理解这一点,知道如何对模型得到的结果做解释,也知道如何修正——看理论建立的假设条件是什么,是否与实际有出入,再根据实际改变假设条件.

经过这样的训练,相信学生对为什么要建立与实际并不完全相符合的物理模型有了认识,知道理论中的物理与实际的区别,具备化繁为简的模型搭建思想,更珍视前人搭建的物理基本框架,也知道自己在遇到实际问题时应该如何去在理论基础上做出修正.第4问的理解需要学生学习基础较好,如果要进行定量计算质心加速度,还需要学生具备竞赛基础.至于问题5,可以作为教师对感兴趣的同学的科普讲座,不要求完全理解.

经过这一系列问题的设计,把学生能力之外的问题通过搭梯子,逐步变成可以达到难度,引导学生们自己得到答案,实现从学生的现实水平向未来水平的跃升.同时通过研究身边的趣味问题,打破知识的模块化教学,需要哪个工具用哪个工具,需要查什么资料可以自行查找,最终能够培养实际解决问题的能力.用科学的眼光看待身边的事物,建立模型,逻辑分析,研究规律,提升物理核心素养.而实际问题的解决与做完一套题不同,它可以培养学生自主学习习惯,提升研究学习的成就感,减少大量刷题带来的疲惫与倦怠感,提升学生学习物理的动力.