联系数伴随函数的若干问题探讨

金菊良，张浩宇，崔 毅,*，宁少尉，周玉良，吴成国

(合肥工业大学 a.土木与水利工程学院;b.水资源与环境系统工程研究所, 合肥 230009)

0 引 言

作为复杂性之源的不确定性是自然界、人类社会中普遍存在的现象，长期以来，人们总是希望不确定性在一定条件下可转换为确定性，从而研究不确定性的规律[1]。中国学者赵克勤先生认为客观事件都是以系统的形式存在，应当采用系统科学方法研究系统不确定性的复杂性，于1989年提出了集对分析(Set Pair Analysis，SPA)这一系统不确定性分析理论[2]，它是一种将确定性与不确定性联系起来、作为确定不确定系统进行分析的新颖系统理论，从两个集合间同异反3方面的确定不确定关系结构出发去分析研究集对事物的确定性、不确定性及其联系和转换，构成了一种基于同异反关系结构的确定不确定性系统分析新理论，为构建联系科学奠定了基础[3-5]。对于集对事件间的同异反程度采用同异反联系度进行度量，简称联系度[1,3]，目前多统一称为联系数[5-6]。联系数是描述研究对象同异反确定不确定性状态在宏观层次上的结构函数[3-5]，是对两个集对事件在某研究问题下关联程度的测度。进一步挖掘联系数中联系分量与差异度系数隐含的信息，对联系分量与差异度系数作不同的定义和运算，得出原联系数的伴随函数[3, 5]，伴随函数是联系分量在微观层次上的关系结构函数，联系数的伴随函数作为深入挖掘联系分量、差异度系数之间关系的结构函数，将集对事件所蕴藏的不确性信息充分考虑其中，并用于分析集对事件发展趋势等有关特征，为研究联系数开辟了广阔的领域[6-7]。

联系数的伴随函数是联系数研究的热点，已提出的伴随函数主要有集对势[1, 6, 8]、偏联系数[4, 7]、邻联系数[9-10]、联系熵[11]等。目前，联系数的伴随函数适用于许多学科领域，但大多用于判断事件的发展趋势和评价，且多局限于应用方面，对于联系数伴随函数的改进与创新尚较少，有些联系数伴随函数所表达的物理内涵尚不清晰、所采用的计算公式尚未统一，严重限制了联系数伴随函数的发展。为此，本文在已有联系数伴随函数理论和应用研究的基础上，聚焦于联系数伴随函数的理论方法层面来系统分析伴随函数的现有研究，同时借助文献计量分析方法，重点阐述联系数的关系结构和伴随函数、集对势、偏联系数、邻联系数和联系熵等热点方向的研究现状和发展趋势，分析讨论伴随函数当前发展遇到的若干问题，以进一步促进联系数伴随函数的理论和应用研究，展望联系数伴随函数的未来发展方向。

1 联系数的关系结构和伴随函数

1.1 联系数的关系结构

联系数是对两个集对事件在某一问题中同、异、反关系程度的量化表达[1-2]，是考虑同一度项、差异度项、对立度项的关系结构函数[1, 5, 12]。联系数的函数表达式包含了两个集对事件的确定不确定关系，其中同一度项、对立度项是相对确定的模糊关系，差异度项是相对不确定的模糊关系，同时，同一度、差异度、对立度在宏观层面上又是确定的值，差异度系数在微观层面上又是不确定的、可以继续分解的，由此，构成了联系数这个确定不确定的关系结构函数。三元联系数定义为[1]：

μ=a+bi+cj

(1)

式中，a为同一度，b为差异度，c为对立度，均为非负实数且a+b+c=1；差异度系数i∈[-1,1]，对立度系数j=-1，i与j有时仅起标记作用、不取值[1]。

1.2 联系数的伴随函数

联系数中同一度、差异度、对立度表征集对事件在宏观层次上的确定不确定关系，差异度系数表征集对事件在微观层次上的不确定关系，对于宏观层次的研究可进一步分解为不同方向微观层次上的研究，由此演化出多类联系数的伴随函数：集对势、偏联系数、邻联系数、联系熵等。这些伴随函数对于分析集对事件提供了不同的分析角度，可以全面、深入反映集对事件的发展趋势等微观问题。基于此，联系数的伴随函数可定义为：联系数μ=f(a,b,c)在联系数分量a=a0、b=b0、c=c0确定的前提下，在(a0,b0,c0)处作用不同的函数f(a0,b0,c0)，f(a0,b0,c0)仅包含联系数分量、差异度系数等变量的函数称为原联系数的伴随函数，伴随函数是一种在宏观与微观层次上的关系结构函数[1,12]。

本文运用文献计量分析法，在CNKI中以“集对势”“偏联系数”“邻联系数”“联系熵”为主题词进行高级检索，运用VOSviewer工具分析上述检索文献在CNKI数据库中联系数伴随函数研究热点的关键词[13-14]，以揭示伴随函数研究进展、研究热点和研究团队状况，结果见图1。

图1 CNKI数据库中四类伴随函数研究关键词共现年代标签和国内外合著标签图Fig.1 Keywords co-occurrence age labels and co-authored labels of four types of adjoint functions study in CNKI database

图1(a)表明：联系数的伴随函数中“集对势”“偏联系数”“联系熵”3类伴随函数研究较多，“邻联系数”的研究相对较少，以至于在图1中未显示；伴随函数的应用研究领域较为广泛[12]，主要涉及到风险评价[1]、水资源承载力[6]、趋势分析[7]等领域；从时间上，伴随函数当前与多元联系数(四元、五元联系数)、水资源承载力、风险评价的联系密切，这些方向仍将是今后的研究重点。

图1(b)表明：四类伴随函数国外研究者几乎没有，国内研究者较多但合作关系一般相对松散，集对分析和联系数理论的创始人赵克勤与李斌等[15]合作密切，与其余研究者几乎没有合作，研究相对较多的团队有王亚鹏、刘杰 、韦琦、金菊良等；由于研究者之间合作较少，伴随函数的研究也相对独立，其发展速度、应用领域受到了制约。

2 集对势

式(1)中联系数分量a、b、c反映了集对事件间同、异、反的关系程度，三者之间的大小差别在一定程度上表达集对事件在某一问题下的发展趋势[1, 6]，按照表达式的不同结构可以把集对势分为除法集对势[1,16]、广义集对势[17]、减法集对势[6,18]、粗糙集对势[19]、区间集对势[20]等。

2.1 除法集对势

将联系数μ=a+bi+cj中同一度与对立度间的比值定义为除法集对势shi(H)[1]：

shi(H)=a/c

(2)

式中，c≠0。除法集对势能反映集对事件在指定问题下某种确定性联系趋势，其等级和次序关系见文献[1]。文献[1]给出了除法集对势划分等级表，将该表与除法集对势计算结果对照可判别集对势等级状态。在式(2)基础上周家红[21]等从系统内最不利的角度考虑提出了悲观集对势，即将所有不确定项(差异度)均转移到对立项(对立度), 通过同一度与对立度的比值来分析系统的态势[21]：

shi(H)P=a/(b+c)

(3)

式中，b+c≠0，同时差异度系数i=-1。同理，可定义乐观集对势为[22]：

shi(H)O=(a+b)/c

(4)

式中，c≠0。当shi(H)P、shi(H)O=1时，为划分系统“安全”与“危险”状态的界限；当shi(H)P、shi(H)O<1时，系统为危险状态；当shi(H)P、shi(H)O>1时，系统为安全状态[22]。悲观集对势与乐观集对势是相对存在的，是除法集对势的两个极端取值，即shi(H)∈[shi(H)P,shi(H)O]。

2.2 广义集对势

为避免除法集对势中分母为零时无法计算集对势的情况，李德顺[22]提出了广义集对势：

shi(H)e=ea/ec

(5)

2.3 减法集对势

金菊良等[6]分析指出联系数集对势的实质就是刻画所研究集对事件在当前宏观期望层次上所处的相对确定性状态和发展趋势，据此提出了减法集对势sf(u)：

sf(u)=a-c+ba-bc=(a-c)(1+b)

(6)

式中，sf(u)∈[-1,1]；差异度按比率取值法[1]计算；若差异度项按最有利或最不利情形分配到同一度项或对立度项，可得乐观减法集对势sfa(u)=(a+b)-c或悲观减法集对势sfc(u)=a-(c+b)。根据sf(u)的大小比较次序，依据“均分原则”[1]将sf(u)分成5个势级[6]：反势sf(u)∈[-1.0, -0.6)，偏反势sf(u)∈[-0.6, -0.2)，均势sf(u)∈[-0.2, 0.2]，偏同势sf(u)∈(0.2, 0.6]，同势sf(u)∈(0.6, 1.0]。

集对势是联系数较早广泛应用的伴随函数，已有集对势中尚存在以下问题[1, 6]：①除法集对势shi(H)=a/c，当c取值较小时shi(H)会趋于不稳定且不适用于c=0的情况，在实际应用中需要谨慎分析除法集对势这类情况;②除法集对势的等级划分表对于个别情况下适用性较差、与实际会存在差别，例如分别取联系数μ1=0.51+0i+0.49j和μ2=0.95+0.01i+0.04j，按照文献[1]的划分，联系数μ1为准同势，联系数μ2为强同势，而根据实际的各联系数分量值应是μ2的同势程度明显强于μ1，可见对于除法集对势结果值的划分需进一步改进;③广义集对势shi(H)e=ea-c虽然弥补了对立度c趋近于零以及c=0的情况下的应用，但是改变了原有联系数中a和c的数量级变化关系。④减法集对势sf(u)弥补了除法集对势shi(H)存在的上述缺陷，保留了原联系数中a和c的数量级变化关系，但式(6)仅适用于三元联系数，减法集对势对于解决多元联系数问题尚需研究提出相应的数学表达式。

集对势适用于许多研究领域，计算简便，是一类适用性强的伴随函数，同时对于其它集对势的研究也可成为今后研究的热点方向。这里运用文献计量分析法，在CNKI中以“集对势”为主题词进行高级检索，汇总相关的文献，运用 VOSviewer工具分析上述检索文献在CNKI数据库中的集对势研究热点的关键词[13-14]，以揭示集对势研究进展、集对势领域的研究热点以及相应的研究团队状况，见图2。

图2 CNKI数据库中集对势研究关键词共现年代标签和国内外合著年代标签图Fig.2 Keywords co-occurrence age labels and co-authored age labels of set pair potential study in CNKI database

图2表明：集对势作为联系数的伴随函数，在现有文献中与集对分析、联系度保持了紧密的联系，集对势应用较多的领域为安全评价；合著作者中共有9个研究团队，但是9个团队之间相互没有交集，现有研究相互合作的情况较少，从时间上看，李宗坤、许开立、王亚鹏等学者研究、运用集对势较早，当前汪明武、刘杰、徐岩等学者研究集对势较活跃。

3 偏联系数

赵克勤先生于2005年提出了联系数的新伴随函数—偏联系数的概念[4]，偏联系数是一种由联系分量的系统层次关系递推而来，刻画集对事件中同异反确定不确定性状态变化趋势的伴随函数，判断事件发展趋势是其最主要的用途，偏联系数包含偏正联系数、偏负联系数和全偏联系数等。当前，对于偏联系数的研究较为广泛，对于联系分量间层次关系的发展基本取得共识，而对于偏负联系数、差异度系数的取值方式以及所处的位置则尚存在争议，笔者将有代表性的3种理论[7,23-24]进行分析。

3.1 全偏联系数

在联系数μ=a+bi+cj中，偏正联系数可定义为：按照事物不断发展变化的角度看,假设差异度原本位于对立度上，是对立度朝正向发展而来，用∂b=b/(b+c)表示原本位于对立度上发展到差异度上的比例；同理可用∂a=a/(a+b)表示原本处在差异度上发展到同一度上的比例。偏正联系数的大小表征了集对事物朝同方向(正方向)发展趋势的强弱程度[23]。集对事件内部存在对立统一的辩证性,通过对比偏正联系数来定义偏负联系数：假设差异度原本是位于同一度的层次上,是同一度朝负向发展而来,用∂-b=b/(a+b)表示原本位于同一度上发展到差异度上的比例；同理可用∂-c=c/(b+c)表示原本位于差异度上发展到对立度上的比例；偏负联系数的大小表征了集对事物朝反方向(负方向)发展趋势的强弱程度[23]。全偏联系数的值由偏正、偏负联系数相互作用得到[23]。

覃杰等[23]认为三元联系数μ=a+bi+cj的全偏联系数定义为：

(7)

(8)

当前，对于偏正联系数获得了统一认识，存在较大争议的地方源于偏负联系数的定义与函数表达式。笔者认为偏负联系数应参照偏正联系数的定义与函数表达式进行展开，对立度系数j的取值是明确的，取-1仅仅是与同一度表明方向的差别，在偏负联系数的计算中必须带上对立度系数j，以示方向性，在计算偏负联系数的差异度系数i-时，往往容易忽略其隐含的方向性，偏负与偏正的不同方向恰恰是由差异度系数和对立度系数的正负号进行表达，偏负联系数的差异度系数显然应取负值，全偏联系数应是偏正、偏负联系数在以偏正联系数为正方向的前提下，带有方向的相加，进而得到全偏联系数。上述两种方法在刻画偏联系数的物理内涵方面尚存在不足，例如式(7)未能考虑到偏负联系数中差异度系数i的正负取值、对立度系数j的取值对于最终趋势起到的作用，而式(8)未能考虑偏负联系数中i的正负性以及偏正联系数与偏负联系数加或减的作用问题。

3.2 效应全偏联系数

金菊良等取三元联系数的偏正联系数为[4, 7]：

(9)

(10)

效应全偏联系数取自差异度系数在不同偏联系数中表达的含义，效应全偏联系数定义为[7]：

(11)

效应全偏联系数通过对偏负联系数的重新定义，采用偏正联系数与偏负联系数带有正、负效应[1]方向地进行相加，可更加深刻地刻画全偏联系数内涵，得出的结果可进一步准确揭示集对事件的整体发展趋势；偏联系数具有与偏导数不同的复杂内容，式(11)仅适用于三元联系数，当前面对的实际问题较为复杂，多元效应全偏联系数会更适用于今后问题的研究中[7]。本文仅针对于一阶偏联系数说明，对于多阶偏联系数目前的研究比较薄弱，多阶偏联系数的物理内涵和计算形式尚未完全确定，多阶偏联系数的研究也将是今后研究的重点方向。

这里运用文献计量分析法，在CNKI中以“偏联系数”为主题词进行高级检索，运用VOSviewer工具分析偏联系数研究热点的关键词[13-14]，以揭示偏联系数的研究进展、研究热点和研究团队状况，见图3。

图3 CNKI数据库中偏联系数研究关键词共现年代标签和国内外合著年代标签图Fig.3 Keywords co-occurrence age labels and co-authored age labels of partial connection number study in CNKI database

图3表明：偏联系数作为联系数的伴随函数，在现有文献中与集对分析、联系度保持了紧密的联系，偏联系数应用较多的方向为趋势分析方面，应用领域多为水资源承载力[6-7]、医疗[15]、风险[1, 22]等方向；合著作者中共有11个聚类，但是聚类之间合作较少，赵克勤与李斌等团队合作较多，偏联系数研究以赵克勤团队为主，王万军、孙爱峰等人起步较早，当前，李斌、金菊良等团队对于偏联系数的研究较活跃。

4 邻联系数

哈丽阳等指出当取三元联系数的“+”方向为参考方向时，a、bi、cj具有层次性和优先性，即a优先于b，b优先于c，据此三元联系数的邻联系数定义为[9]：

(12)

(13)

孙爱峰等[10]认为邻联系数揭示出联系数中两个相邻联系分量的“联系作用”所呈现的显在发展趋势(简称联系趋势)，是对集对事件将来状态的一种描述，邻正、邻负联系数分别表征了联系数中相邻联系分量的左、右侧拉动程度，全邻联系数揭示了两种拉动作用的矛盾运动及其结果。三元联系数的全邻联系数μ2为[9-10]：

(14)

5 联系熵

通常，有m个集合组成的系统可依据不同的要求组成n个集对，由此可得n个联系数[27]。针对有n个集对存在的系统的同一性、差异性、对立性和联系性进行度量，参照熵的传统定义，引入系统的同、异、反和联系熵的概念。联系熵(总熵)由同熵、异熵和反熵组成，是刻画系统的有序、无序演化以及有序和无序的度量。其中，同熵和反熵分别是对有序和无序的度量，异熵是对系统演化过程中有序无序混乱情形下的度量[28]。当前，由联系熵衍生出同异反态势熵[29]、脆性联系熵[30]、广义联系熵[31]等，联系熵是其发展的主要基础，下面仅讨论联系熵。

(15)

联系熵S(总熵)一般定义为[27]：

S=Sa+Sbi+Scj=∑anlnan+(∑bnlnbn)i+(∑cnlncn)j

(16)

式中，i∈[-1,1]，j= -1；同熵Sa和反熵Sc相对确定，但Sb相对不确定，但三者之间互相联系、互相影响和互相制约，在某些问题中可相互转化[27]。

在目前应用过程中联系熵的物理内涵尚未能明确反映同异反3个方面，割裂了联系数包含的同异反结构，对于联系熵的求解应将异熵与反熵考虑其中，借鉴联系数的表达形式，笔者建议直接计算联系数的熵，这样或许能够综合反映集对事件的有序状况，联系熵今后的发展方向应反映集对事件的内部不确定性状态和有序性发展。

这里运用文献计量分析法，在CNKI中以“联系熵”为主题词进行高级检索，汇总相关的文献，运用VOSviewer工具分析上述检索文献在CNKI数据库中的联系熵研究热点的关键词[13-14]，以揭示联系熵研究进展、联系熵领域的研究热点以及相应的研究团队状况，见图4。

图4 CNKI数据库中联系熵研究关键词共现年代标签和国内外合著年代标签图Fig.4 Keywords co-occurrence age labels and co-authored age labels in China of connection entropy study in CNKI database

图4表明：联系熵作为联系数的伴随函数，在现有文献中与集对分析、联系度保持了紧密的联系，联系熵应用较多的方向为评价方面；因联系熵论文较少，这里将作者出现的阈值设为1，多个聚类之间相互较为独立，研究者之间合作较少，研究较多的学者有韦琦、施式亮、王栋、刘保相等。

6 展 望

联系数伴随函数的研究经过近30年的发展已取得了很多重要进展：对于伴随函数的概念内涵基本明确，深化了联系数理论的研究，进一步揭示了同一度、差异度、对立度三者之间的模糊关系，挖掘出了更多隐含其中的信息，提出了各类伴随函数科学合理和简单实用的应用范式，形成了联系数理论研究的一些重要方向，为联系数在更多领域的研究与应用提供了有力的分析技术。联系数伴随函数在趋势分析、综合评价、决策调控等方面的应用充分显示出其自身的优越性与广泛性，具有不确定性分析的理论思想直观形象、方法模型实现简便、数据挖掘充分、分析结果合理等显著特点。

目前，联系数的伴随函数研究在理论基础、实际应用方面仍都较薄弱，现有的研究多以中文论文为主。为进一步发展出一套完备、成熟的伴随函数理论和方法体系，今后亟待深入研究的问题主要集中在以下方面：

1)需要进一步界定、完善各种伴随函数的概念内涵。伴随函数最初的定义局限于文字描述，定义难免存在涵盖不全的问题，应尽可能使用数学化的语言进行概念界定，这样更有助于伴随函数的发展和推广。伴随函数具有多种类型，现有阶段对于同一伴随函数有不同的理解，导致了后续的研究出现分歧，研究方向的正确性也无法求证，且学者之间深入交流讨论较少，今后希望召开伴随函数的专门会议讨论此问题，统一对于各类伴随函数概念内涵的认识。

2)目前有的伴随函数(例如偏联系数、集对势)具有多种表达式，尚需进一步比较研究这些表达式，尽可能规范统一或阐明相应的适用范围。例如：偏联系数的表达式当前至少有3种，每种表达式均在不同实际领域运用，取得结果也不相同，对于公式是否能准确表达偏联系数的物理内涵，目前尚无统一定论，其它伴随函数也存在类似问题。

3)需进一步论证、检验伴随函数的适用性。每种伴随函数的适用性各有其特点，广泛应用的伴随函数，其应用领域和范围存在差异，对不同的研究问题不能一概而论。例如目前“集对势”“偏联系数”“邻联系数”适用于判断集对事件的发展趋势，“联系熵”适用于评价集对事件，“集对势”“邻联系数”多用于三元联系数，“偏联系数”以一阶三元偏联系数应用为主，多阶多元偏系数的研究较少。

4)伴随函数实质上就是对集对事件的联系数信息作进一步的数据挖掘和信息利用，是当前集对分析学科的研究前沿热点，非常重要。数据挖掘的目的不同，应该可以构造出不同的伴随函数。联系数伴随函数的概念提出已有二十多年，目前主要有四大类伴随函数，从“联系熵”到“集对势”再到“偏联系数”最后到“邻联系数”，新的伴随函数的创新稍显不足，发展速度较为缓慢，其主要原因可能有：①现有伴随函数的概念与表达范式尚未完全达成一致，较多学者研究专注已有伴随函数，分散了注意力；②已有的研究团队间相互交流不足，限制了伴随函数的持续创新；③众多研究者对于伴随函数的研究不够深入，仅仅停留在运用阶段，未深入探讨伴随函数的物理内涵和挖掘联系数信息的需求；④对于伴随函数研究的传承出现断层，以小团队为基础进行研究，受到外界的影响较大，很容易由伴随函数转向其它研究方向，持续性较差。

5)伴随函数的研究进展需要立足于联系数自身的理论基础研究，同时需要适当与其他方法相结合。如将灰色关联的思想融入到伴随函数的研究中，将减法集对势的思想融入到差异度系数的求解中[3, 6, 33]，融百家之长于伴随函数，进行多学科交叉研究[34]，推动伴随函数研究的持续发展。