机载MIMO雷达发射波形和接收滤波器组联合稳健设计方法

童日武，张剑云，周青松

(国防科技大学电子对抗学院，安徽 合肥 230037)

0 引言

机载雷达在下视工作时将面临强地杂波的干扰，传统的杂波抑制方法为空时自适应处理(STAP)，但机载雷达往往工作在复杂多变的恶劣环境下，此时仅仅通过接收端处理难以有效抑制杂波，而结合发射端对雷达发射波形进行设计[1]则能够进一步提高雷达对地面动目标的检测性能。

已有的公开文献中对机载MIMO雷达波形设计的研究主要都是基于精确已知的目标先验信息(包括角度信息和多普勒频率信息)。文献[2—4]研究了假设在目标先验信息均已知条件下的机载MIMO雷达波形设计，该假设对于雷达进行检测处理确认或者对已知目标跟踪时是合理的，但是当雷达工作在搜索模式时则不再适用，因为此时目标的先验信息未知，其信息失配会造成严重的信干噪比(SINR)损失。另外目前的文献中对于雷达的稳健波形设计均没有针对机载MIMO雷达的特点加以研究。文献[5—6]研究了在目标多普勒频率信息缺乏时的单输入单输出雷达(SISO)的稳健波形设计，文献[5]是基于单滤波器的稳健波形设计，文献[6]则是基于滤波器组的稳健波形设计。文献[7—9]研究了在目标角度信息缺乏时的MIMO雷达基于单滤波器的稳健波形设计。

另一方面，文献[6]提出使用广义分式规划方法求解优化问题的解，但该算法只适用于能量约束和相似性约束条件下的优化模型，当考虑其他约束条件如峰均比约束时则不再适用，并且该算法具有较高的运算复杂度，需要消耗较多的运算时间，在数据维度较小的SISO雷达系统中尚可接受，但是在数据维度很高的机载MIMO雷达系统中其消耗的运算时间急剧上升，无法满足波形设计的实时性要求。针对上述问题，本文提出了在杂波环境下目标角度信息和多普勒频率信息均未知时的机载MIMO雷达发射波形和接收滤波器组联合稳健性设计方法。

1 系统模型

考虑集中式机载MIMO雷达，具有NT个发射阵元和NR个接收阵元。雷达平台匀速直线运动，速度为v，无偏航。在一个相干处理间隔内发射M组脉冲信号，脉冲重复周期为恒定值T，波长为λ，其发射波形矩阵为ST∈NT×L，L表示每个阵元发射波形的采样点个数。

对于目标而言，其对应于第m个脉冲(m=1,2,…,M)的接收信号经过下变频和基带采样后可表示为：

(1)

(2)

(3)

将Yt,m向量化，则有：

yt,m=vec(Yt,m)=

(4)

其中,

(5)

式(4)、式(5)中，IL表示L×L的单位阵，s=vec(S)且s∈NTL×1，⊗表示克罗内克积。

(6)

其中，

(7)

式(6)、式(7)中，p(f0)=[1,ej2πf0,…,ej2π(M-1)f0]T表示归一化多普勒频率为f0的时间导向矢量。为方便起见，使用A0来表示A(f0,θ0)。

对于杂波信号，如图1所示，将杂波分为2R+1个等距离环，每个距离环分为Nc个杂波块，杂波信号可表示为所有杂波块信号的叠加[3]。

图1 杂波距离环Fig.1 Clutter range cells

类似于目标信号，位于第r(r=0,±1,…,±R,r=0表示目标所在距离环；r>0表示目标后面距离环；r<0表示目标前面距离环)个距离环中的第k(k=1,2,…,Nc)个杂波块的回波信号表示为：

αc,r,kA(r,fc,r,k,θc,r,k)s

(8)

式(8)中,

(9)

Jr∈L×L表示转移矩阵[10]，定义如下：

(10)

由以上可得杂波信号表示为：

(11)

雷达接收机接收到的总信号为目标信号、杂波信号以及内部噪声之和，表示为：

y=yt+yc+n=

(12)

2 设计方法

2.1 设计准则

本节考虑在目标先验信息未知时，以最大化最差情况下的SINR为指标，对发射波形和接收滤波器组进行联合设计。

假设目标角度不确定集为Ω(θ0∈Ω),目标多普勒频率不确定集为Θ(f0∈Θ)。接收信号y通过一组线性接收滤波器wi,j∈NRLM×1，每个滤波器均调谐到不确定集内第(i,j)个特定的角度和多普勒频率对上[6]，即i=1,2,…,I;j=1,2,…,J。则对应于第(i,j)个滤波器wi,j的输出SINRi,j可表示为：

(13)

式(13)中，

(14)

雷达对目标做检测处理过程如图2中框图所示。

图2 滤波器组处理框图Fig.2 Block diagram of the filter bank processing

图2中sinri,j定义为：

(15)

则对于输入信号y其通过滤波器组后的输出SINR定义为：

SINR = max1≤i≤I,1≤j≤Jsinri,j

(16)

因此本文中的设计指标是优化最差情况下的输出SINR，即：

max SINRworst=max min1≤i≤I,1≤j≤JSINRi,j

(17)

2.2 波形约束条件

在实际应用中，发射机发射功率往往恒定，因此需要发射波形的能量恒定，这里假设发射波形具有归一化能量值，即‖s‖2=1。另外为了得到良好的波形特性(如较低的峰值旁瓣水平，理想的模糊函数)，需要对波形施加相似性约束[11]，即‖s-s0‖2≤δ，0≤δ≤2表示相似性控制程度。s0(‖s0‖2=1)表示已知参考波形，具有理想的波形特性，如线性调频信号(LFM)。

为了能够充分利用发射机发射功率，需要对发射波形施加恒模或低峰均比约束[9]，低峰均比约束比恒模约束条件更为宽松，既能保证充分利用发射功率又比恒模约束具有更高的SINR，其表达式如下[12]：

(18)

式(18)中，sn表示波形s的第n个采样点，当ζ=NTL时，退化为能量约束。当ζ=1时则为恒模约束。

进一步可表示为：

(19)

Φn定义如下：

(20)

综上可得如下优化问题：

(21)

2.3 求解算法

问题是一个关于s和wi,j的非凸联合优化问题，一般难以获得最优解，本文提出了如下循环迭代算法加以求解。

当固定s时，问题等价于如下一系列无约束优化问题：

(22)

式(22)中，

Rcn(s)=Rc(s)+INRLM

(23)

(24)

问题等价于如下著名的MVDR问题：

(25)

其闭式解为[13]：

(26)

将式代入到问题中，经过一番整理后可等价于如下关于s的优化问题：

(27)

问题是一类max-min问题，可等价于如下优化问题：

(28)

式中,

(29)

此时问题中目标函数是一个凸函数，但约束条件是非凸集，下面对约束条件做凸近似处理。

通过以上分析可得在第m次迭代时的优化问题如下：

(30)

观察可发现sH[Σi,j(sm-1)]s≥t和sHs≥1仍然为非凸集。进一步问题可转化成如下优化问题：

(31)

式(31)中，εi,j和ε0为辅助变量，u为惩罚项参数，用来平衡原目标函数和辅助惩罚项。当εi,j,ε0→0时，问题的解不断接近于问题的解，当εi,j,ε0=0时，问题的解同样为问题的解。又因为Σi,j(sm-1)为半正定矩阵，故对于任意z∈NTL×1, 一定有如下不等式成立：

(s-z)H[Σi,j(sm-1)](s-z)≥0

(32)

展开可得：

sHΣi,j(sm-1)s≥
2Re(zHΣi,j(sm-1)s)-zHΣi,j(sm-1)z

(33)

利用替换sH[Σi,j(sm-1)]s≥t-εi,j可得：

2Re(zHΣi,j(sm-1)s)-zHΣi,j(sm-1)z≥t-εi,j

(34)

此时式(34)为凸集。

同理约束条件sHs≥ 1-ε0可凸近似为：

2Re(zHs)-zHz≥1-ε0

(35)

通过以上凸近似处理后，问题(30)转化成如下可解的凸优化问题：

(36)

优化问题可通过文献[14]中FPP-SCA算法求解，其在迭代过程时，初始化z0=sm-1。

本文提出算法总结如下。

输入：参考波形s0，惩罚项参数u，退出条件η。

输出：优化解sopt，wi,j。

1)m=0

初始化sm=s0，根据式(23)计算Rcn(s0)，根据式(17)和式(27)计算SINRworst(0)。

2)m=m+1

根据式(23)、式(29)更新Rcn(sm-1)和Σi,j(sm-1)，利用FPP-SCA算法求解优化问题(36)，得到优化波形的解sm，根据式(17)和式(27)计算SINRworst(m)。

3) 重复步骤2)，直到|SINRworst(m)-SINRworst(m-1)|≤η停止。

4) 根据式(23)更新Rcn(s)，根据式(26)计算滤波器组wi,j。

5) 输出最优波形sopt=sm和滤波器组wi,j。

3 仿真分析

本章提供了具体数值实例证明所提算法的有效性。在实验中考虑机载MIMO雷达由均匀线性阵列构成，发射阵元个数NT=6,接收阵元个数NR=6,阵元之间间隔均为半波长。发射脉冲数M=6,每个发射阵元发射波形码长L=16。对于机载平台而言，其飞行速度v(正侧视)和脉冲重复周期T以及波长λ之间关系为4vT/λ=1，即杂波脊斜率β=1。

本文使用正交线性调频信号作为参考波形SLFM∈NT×L,其第(m,n)个元素的数学表达式如下[15]：

(37)

式(37)中，m=1,2，…,NT；n=1,2,…,L；s0=vec(SLFM)。

以下仿真实验中凸优化问题均通过CVX 工具箱求解。FPP-SCA算法中惩罚项参数u=100，退出条件设置为ξ=10-3或最大迭代次数为30。本文所提算法退出条件η=10-3。

3.1 本文设计方法有效性评估

峰均比约束ζ=1.5，相似性约束δ=1。目标角度不确定集Ω=[-10°,10°]，均匀采样步长为2°，目标多普勒频率不确定集Θ=[0.3,0.5]，均匀采样步长为0.02。表1给出了具体的采样数值，由表中数据可以看出共需要有11×11=121个滤波器。

表1 不确定集内离散采样点

图3给出了SINRworst随迭代次数的变化情况，从图中可以看出SINRworst随着迭代次数增加呈单调增趋势，最终达到平稳点。图3中第0次迭代表示初始化波形s=s0，可以看出经过波形设计后的SINRworst相比较于使用s0作为发射波形时提升了大约4.5 dB，说明了本文提出的方法能够有效提升最差情况下的SINR。

图3 SINRworst随迭代次数变化曲线Fig.3 TheSINRworstversus the number of iterations

图4给出了在三种不同设计方法下不确定区域内的SINR值分布情况，包括本文提出的方法设计(稳健设计)，滤波器组但未波形设计(使用LFM发射波形)，以及目标先验信息精确已知条件下的非稳健波形设计(Ω=[0°,0°]，Θ=[0.4,0.4])。从图中可以看出非稳健设计时在θ0=0°，f0=0.4位置取得最大SINR，且比其他两种设计方法的SINR值都要大，但在信息失配时会出现严重的SINR损失，在整个不确定区域内SINR最多下降至2.31 dB。通过滤波器组设计但发射波形为LFM信号时，不确定区域内各点的SINR稳定在10 dB左右。而通过本文方法设计后不确定区域内各点的SINR稳定在14 dB左右,具有很好的稳健性，并且相比较于使用LFM信号而言SINR有了明显提升。综合比较，在先验信息不确定时本文提出的设计方法具有很好的稳健性，且相比较于其他设计方法SINR能够稳定保持在一个更为满意的水平。

图4 SINR在不确定区域内分布情况Fig.4 Distribution of SINR in uncertain area

3.2 峰均比约束和相似性约束的影响

本节分别给出了在不同峰均比约束条件下以及不同相似性约束条件下SINRworst的变化情况。其他仿真条件均和先前仿真条件相同。

图 5给出了在峰均比约束ζ=1.5，相似性约束δ=1,0.5,0.3时SINRworst随迭代次数变化情况。从图中可以看出随着δ的减小，SINRworst值也在不断减小，这是由于δ的减小意味着波形s的可行集在不断减小，从而导致SINRworst值不断下降。

图5 不同相似性约束下SINRworst变化曲线Fig.5 TheSINRworstcurves under different similarity constraints

图 6给出了在相似性约束δ=1，峰均比约束ζ=96,1.5,1(分别表示能量约束，低峰均比约束，恒模约束)时的SINRworst变化曲线。从图中可以看出由ζ的减小造成的SINRworst损失微乎其微，因此对波形施加低峰均比约束是合理的。

图7给出了在以上三种不同峰均比约束下的波形幅度。从图中可以看出随着ζ的减小，波形幅度的波动范围在不断减小，当ζ=1时波形具有恒模特性，说明了本文提出的算法对波形能够起到峰均比约束的作用。

图6 不同峰均比约束下SINRworst变化曲线Fig.6 TheSINRworstcurves under different PAR constraints

图7 不同峰均比约束下的波形幅度变化曲线Fig.7 The waveform amplitude under different PAR constraints

3.3 不确定集对SINRworst的影响

本节评估了不确定集的大小对SINRworst的影响。设角度不确定集Ω=[0°-X,0°+X],多普勒不确定集Θ=[0.5-D,0.5]，其他仿真条件和3.1节中相同。

图8给出了Θ=[0.3,0.5]时，SINRworst随X的变化曲线，图 9给出了Ω=[-10°,10°]时，SINRworst随D的变化曲线。从图中可以看出，随着X或D的不断增大，SINRworst将不断减小。这是由于X或D的不断增大，意味着不确定区域范围在不断扩大，反映在空-时二维平面上则是目标区域和杂波的距离越来越接近，这将严重影响STAP抑制杂波的性能，从而导致了SINRworst的下降。

图8 SINRworst随X的变化曲线Fig.8 TheSINRworstversus X

图9 SINRworst随D的变化曲线Fig.9 TheSINRworstversus D

3.4 滤波器个数的影响

本节评估了滤波器组的规模对不确定区域内各点输出SINR的影响，由于所提方法是在不确定区域内通过采样有限个离散点后使用有限个滤波器进行匹配，因此滤波器组中的滤波器个数会影响不确定区域内的各点的输出SINR。

由定义在不确定区域内的点目标(θ0,f0)(θ0∈Ω,f0∈Θ)，其输出SINR表示为SINR(θ0,f0)，类似文献[6]中定义“SINR损失比”Loss为：

(38)

为方便起见仿真中设I=J，其他仿真条件均和3.1节中相同。图10给出了Loss随滤波器个数I,J的变化曲线，从图中可以看出随着滤波器个数的增加，Loss急剧减小且收敛于0，当I=J=5时, Loss下降至0.427 7 dB,当I=J=11时，Loss下降至0.082 0 dB。需要指出的是，滤波器个数的增加虽然能够获得较低的Loss值，但同时也增加了优化问题的运算复杂度，需要消耗更多的运算时间，同时在工程实践中较多的滤波器还增加了成本代价。因此，需要根据实际情况和需求选择合适的滤波器个数。

图10 Loss随滤波器个数变化曲线(I=J)Fig.10 The Loss versus thenumber of filters(I=J)

3.5 与文献[6]中算法对比

在文献[6]中研究了SISO雷达场景下目标多普勒信息未知时的稳健波形设计，并使用广义分式规划方法求解优化问题的解。然而该算法存在一定局限性，一是该算法仅仅适用于能量约束和相似性约束条件下的优化模型，当考虑其他约束条件如本文所施加的峰均比约束时则不再适用；二是在文献[6]中已经明确指出该算法消耗的运算时间较多。

下面对本文算法和文献[6]中算法的性能作了具体比较和分析。仿真中只考虑能量约束和相似性约束，设置δ=1。目标角度不确定集Ω=[-10°,10°]，两种算法的均匀采样步长均为5°,则I=5;目标多普勒频率不确定集Θ=[0.3,0.5]，两种算法的均匀采样步长均为0.05，则J=5。(在仿真过程中考虑文献[6]中算法消耗的运算时间太长对实验进程造成影响，而选取较长的采样步长能够减少滤波器的个数，进一步能够缩短该算法的运算时间，另外在3.4节中已经分析在此滤波器个数下Loss值很小，故设置角度搜索步长为5°，多普勒频率搜索步长为0.05)。注意为了公平比较，在本文算法中，峰均比约束条件直接舍弃，而不是设置ζ=96。

表2给出了两种算法的性能指标，包括SINRworst(dB)和CPU运行时间T(s)。从表中可以看出本文算法的SINRworst值相比较于对比算法要略低0.05 dB，这是完全可以接受的损失，但运算消耗时间要比对比算法缩短将近两个量级，这对于具有实时性要求的波形设计具有重要的意义，说明了本文所提算法更加具有优势。

表2 两种算法性能对比

下面试图分析两种算法消耗运算时间差别较大的主要原因。图 11给出了两种算法的SINRworst随迭代次数的变化曲线，从图中可以看出本文算法收敛速度更快，而对比算法则需要更多次的迭代。另一方面，本文算法只需要在最后求解一次滤波器组wi,j，而对比算法则在每次迭代过程中都需要更新wi,j，增加了运算时间。更重要的是，本文算法求解SOCP时的运算复杂度要比对比算法求解SOCP时的运算复杂度低得多，具体体现在仿真过程中利用CVX工具箱求解本文算法中的SOCP问题时重构成一个具有249个优化变量，29个约束条件的优化问题，而对比算法则重构成一个具有5 246个优化变量，220个约束条件的优化问题。

图11 两种算法的SINRworst随迭代次数变化曲线Fig.11 TheSINRworstof two algorithms versus the number of iterations

4 结论

本文提出了机载MIMO雷达发射波形和接收滤波器组联合稳健性设计方法。该方法以最大化最差情况下的SINR为设计准则，同时对波形施加了能量约束、相似性约束和峰均比约束。并针对这一复杂的非凸联合优化问题，提出了循环迭代算法加以求解，通过凸近似处理将非凸优化问题转化为凸优化问题，再通过FPP-SCA算法求解该凸优化问题。仿真结果表明，在目标先验信息未知时本文设计方法具有稳健性并能够显著提升SINR，与现有算法对比具有更低的运算复杂度，且所设计的波形满足约束条件。