浅谈数学建模在经济领域的应用

●靳旭东 方秀男

一、数学经济建模的含义

数学经济建模是指将经济领域中的实际问题抽象为简单的数学模型，综合运用计算机技术以及相关数学建模软件解决实际经济问题的过程。

二、数学经济建模的意义

在通常情况下，数学并不能直接且完整地展示出经济领域问题的真实情况，因为很多经济领域的实际问题都是客观存在的，而且具有动态发展的趋势，在这种情况下，数学经济建模就完美地给出了此类问题的解决方案，其具有以下意义：

1.数学经济建模使经济领域的实际问题变得直观化、简单化。很多经济领域的实际问题的描述都是十分复杂的，而且部分经济领域的实际问题还有许多数据需要进行处理，通过数学经济建模，我们可以将实际问题的数据进行可视化处理，对复杂的经济问题转化成数学问题求解，大大降低了解题难度。

2.数学经济建模使经济领域的实际问题变得更加具有说服性与前瞻性。通过数学经济建模，我们可以通过给出相关变量间的具体关系表达式，展示出数据的说服性，此外，很多经济领域的实际问题是需要对未来的发展趋势进行预测，我们可以通过对数据进行拟合与回归分析来预测其未来的发展趋势，这正是数学经济建模应用性的最直接体现。

三、数学经济建模的若干问题分类

经济领域的实际问题是多样化的，根据应用数学模型的不同，大致可以将此类问题作如下分类：

1.经济发展中的最优化问题，很多经济领域的问题都可以转化为求解最大值或者最小值的问题。即数学建模中的优化模型，主要是根据问题中所蕴含的约束条件和目标列出相关的不等式进行求解，约束条件可以是线性规划问题，也可以是非线性规划问题。

2.经济领域中的预测问题，在经济领域中，有时需要根据已有的部分数据对未来的经济发展趋势作出相关预测，这就是数学建模中的预测模型，我们可以运用Matlab 软件或SPSS 软件对数据进行拟合与回归分析，或通过观察回归曲线的总体趋势，给出对未来发展趋势的预测。

3.经济领域中的政策问题，政策评价是指决策者从已有的众多方案中选出做好的执行方案，其中可以用到的数学模型包括层次分析模型、综合评价模型等等，本文将就部分模型给出实例。

四、数学建模在经济领域的应用实例

1.数学经济建模中的最优化问题模型。在经济领域的日常生产活动中，经常会遇到如何利用现有的客观因素来安排生产，以获得更高的经济效益的问题。于是，一个重要的运筹学分支应运而生，即线性规划。自从G·B·Dantzig 于1947 年提出用单纯形法求解线性规划问题以来，线性规划在理论和实践中的应用越来越广泛和深入。特别是在计算机能够处理成千上万的约束和决策变量之后，线性规划的应用更加广泛，已经成为现代经济管理科学中常用的基本方法之一。

例题：一卡车厂生产A 车和B 车两种，每次销售后利润分别为3 万元和4 万元。A型卡车生产需要a、b 生产线加工，每辆卡车生产时间分别为 20 小时和 15 小时；B 型卡车生产需要 a、b、c 生产线加工，每辆卡车加工时间为10 小时。如果每天可供生产的机器装配线数量为：a 装配线10 小时,b 装配线8 小时c 装配线7 小时，那么卡车厂应生产A、B 卡车各多少量，以实现利润总额的最大化？

上述问题的数学模型：设该厂生产N1 台A 卡车和N2 台B 卡车时总利润最大，则N1,N2 应满足的目标函数为Ymax =3N1+4N2

本例题所给出的是较为简单的线性规划模型。它的解题思想与建模过程就是经济领域中的典型最优化问题，即求解利润的最大值，对于此类问题来说，求解是相对简单的，常用的数学建模软件包括Lingo 与Matlab,其中Lingo 是运筹学中求解线性规划问题最直接有效的建模软件。

2.数学经济建模中的预测模型。在数学经济建模中较为有效的预测模型就是对已有数据进行回归分析,对于回归分析来说，它的预测效果往往要优于曲线拟合，简单地说，回归分析就是对拟合问题作进一步的统计分析。进一步说，回归分析就是在一组数据的基础上研究以下几个问题：建立因变量与自变量之间的回归分析模型；对回归模型进行置信度检验；判断每个自变量Xi(i 1,2,,m)i=L 是否对Y 存在影响；诊断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对Y 的趋势进行预测。

例题：某电子厂生产的一种U 盘的销售量y 与其他厂家的价格X1和本厂的价格X2有关。表1 是该商品在10 个地区的销售记录。试根据这些数据建立Y 与X1和X2的关系式，对得到的模型进行检验。若某市本厂产品售价150（元），竞争对手售价160（元），预测商品在该市的销售趋势。

表1

上述问题的数学模型：先利用Matlab 对数据进行可视化处理（图 1，红色为 Y 与 X1曲线，蓝色为 Y 与 X2曲线），分别画出 Y 关于X1和Y 关于X2的散点图，可以看出Y 与2x有较明显的线性关系，而Y 与X1之间的关系则难以确定，我们将作如下尝试，用统计分析决定优劣。

设回归模型为：y=β0+β1X1+β2X2，运用Matlab 进行求解，可得出可以看出结果不是太好：p=0.0247，取α=0.05 时回归模型可用，但取α=0.01 则模型不能用；故我们取α=0.05，进而得出在该市的产品销量会增加。

本例题所应用的回归分析模型相对于其他数学模型较为复杂，适用于对大量销售数据进行处理。

3.数学经济建模中的政策问题。对于经济领域的政策问题，常用的数学模型就是层次分析模型，将各种选择方案与影响因素进行分层处理，通过列出判别矩阵与进行一致性检验，求出各种方案所占的比重，进而得出最佳选择。

图1

例题：工厂选址问题：工厂选址，一般要依据交通、水源、地盘价格、能源、劳动力等方面因素选择某一地址。

图2

上述问题的数学模型举例：（1）建立AHP 模型。（2）构造判别矩阵。判别矩阵的构造是根据人们已有的经验进行构造的，带有一定的主观色彩。（3）计算层次单排序的权向量与一致性检验。由于判别矩阵带有一定的主观色彩，因此要进行一致性检验。（4）进行层次总排序与总一致性检验。通过层次总排序可以得出总权重排序，进而得到比较满意的结果。

五、结束语

本文中所给的应用实例较为简单，便于读者深入体会数学建模在经济领域的实际应用意义，此外，在经济领域的数学模型还有很多，本文未一一列出。经济的发展不仅仅是变量之间的宏观体现，更存在于巧妙的微观领域，而数学建模在经济领域的应用很好地揭示了微观变量的相关性质，为经济领域问题的解决打开了全新的世界，数学建模是一个应用性很强的实用工具，我们应该树立应用它的意识，培养探索科学的精神。