一类带有分层接种的麻疹模型的稳定性分析

王 茉,刘俊利

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

0 引 言

传染病一直是人类致力于攻克的难题,为了预防和控制疾病的传播,学者们常常建立微分方程数学模型研究分析传染病特性[1-2]。麻疹是一种由副黏病毒感染引起的急性呼吸道疾病,其传染性极强,在人口密集区域且未普及接种疫苗地区易流行传播,约2～3年形成一次大流行。其中儿童期为高发年龄段,且大多数是5岁以下儿童,发病率可高达95%以上,是全球幼儿死亡的主要原因之一。临床表现为发热、上呼吸道炎症、眼结膜炎以及皮肤上现斑丘疹等,常见的并发症有中耳炎、肺炎、麻疹脑炎,严重者可危及生命。潜伏期最长可达21天,并且麻疹发病具有较为明显的季节性规律,其中春季和冬季为高发季节[3-8]。目前接种常规麻疹疫苗是预防麻疹疾病的关键公共卫生战略,但在实际生活中,往往存在漏种、不及时接种以及自身免疫等因素使接种效果受到影响,因此对麻疹病情的传播及治疗还需要做进一步的深入研究。

目前,国内外诸多学者对于麻疹疾病的流行病学特点都已经进行了较为全面的分析。其中,考虑到接种一剂疫苗的时效性问题,2015年佘连兵[9]建立了一类具有二次接种的麻疹传染病模型,并对模型的全局稳定性进行了分析。由于麻疹患病者的治疗情况较为复杂,2017年Garba等[10]研究了关于疫苗接种和麻疹治疗相结合的确定性模型,定性评估了接种和治疗相结合的方式对于麻疹染病人群的综合影响。随着二次接种的普及率越来越高,Li等[11]针对我国麻疹疫苗接种的二剂常规剂量情况进行了建模和分析,并通过数值模拟验证了二剂疫苗接种率对麻疹疾病控制的影响。Stephane等[12]建立并研究了一类通过补充常规免疫的偏微分方程,得出了通过提高麻疹疫苗接种覆盖率可控制麻疹传播的结论。在文献[12]的研究基础上,本文考虑了麻疹分人群接种的传播影响,建立并分析一类带有分层接种的常微分方程麻疹模型,证明了模型平衡点的稳定性以及疾病的一致持久性。

1 模型建立

将总人口N(t)分为6类:S(t)、I(t)、R(t)、V1(t)、V2(t)、V3(t)分别表示t时刻人群中的易感者、染病者、恢复者、接种易感者、接种染病者和接种恢复者,模型如下:

(1)

式中:A表示人口输入率;β表示感染率;r表示恢复率;μ表示自然死亡率;k1、k2分别表示第1次、第2次接种疫苗覆盖率;τ1、τ2分别表示第1次、第2次接种疫苗的有效性;θ1表示由于接种原因,相对于染病者,接种染病者对易感者的相对传染性;θ2表示相对于易感者的传染,染病者和接种染病者对接种易感者的相对传染性;并且0≤τ1≤1、0≤τ2≤1、0≤θ1≤1、0≤θ2≤1。

定义集合Ω如下:

假定模型(1)中所有参数都是非负的,且A>0,μ>0,根据文献[13]中定理2.1的证明,可得系统的解是非负的。将模型(1)中的6个方程相加得总人口N(t)=S(t)+I(t)+R(t)+V1(t)+V2(t)+V3(t)满足方程

因此Ω为模型(1)的正向不变集。

2 平衡点和基本再生数

模型(1)总存在唯一的无病平衡点

根据文献[14-15],有

(2)

计算得到模型(1)的基本再生数为

R0=[Aβ(μ+τ2k2)(μ+r+k1θ1)+Aβk1θ1θ2(1-τ1)(k1+μ+r)]/

[(k1+μ+r)(μ+r)(k1+μ)(μ+τ2k2)]

3 平衡点的局部稳定性

定理1如果R0<1,则模型(1)的无病平衡点E0是局部渐近稳定的;如果R0>1,则E0不稳定。

证明模型(1)在平衡点E0处的雅可比矩阵为

J(E0)=

得

则E0处的特征方程为

(λ+μ)(λ+k1+μ)2(λ+μ+τ2k2)·

[(λ-x1+k1+μ+r)(λ-θ1x2+μ+r)-

θ1x1(x2+k1)]=0

因此,该特征方程存在4个负特征根:λ1=-μ、λ2=-μ-τ2k2、λ3=λ4=-k1-μ。其余特征根满足方程

λ2+aλ+b=0

其中

由 Hurwitz 判据[16]可知, 当R0<1时, 有a>0,b>0, 从而方程λ2+aλ+b=0 的根均具有负实部, 此时无病平衡点E0是局部渐近稳定的。当R0>1 时, 得b<0, 即方程λ2+aλ+b=0 有一个正实根, 此时无病平衡点E0是不稳定的, 从而定理1结论成立。

4 疾病的持久性

用s(A)表示n×n矩阵A的稳定性模,定义为

s(A)max{Rez:z定义为A的一个特征值}

由式(2)可知,显然F-V是不可约的,并且具有非负的非对角元,则s(F-V)是(F-V)的一个简单特征值,且对应正的特征向量[17]。

引理1[13]下列等价条件成立:

R0>1⟺s(F-V)>0,R0<1⟺s(F-V)<0

定理2如果R0>1,则模型(1)至少存在一个正平衡点,且∃ε>0,使得模型(1)具有非负初值条件的任意解(S(t)，I(t)，R(t)，V1(t)，V2(t)，V3(t))满足

证明由模型(1)得

则

则∀η>0,∃t0>0,当t>t0时,有

S(t)>m1-η

(3)

当t>t0时,由式(3)有

则

当t>t0时,由式(3)有

rV2-μV3≥τ1k1S-μV3

则

定义

X0={(S,I,R,V1,V2,V3)∈X,

I+V2>0,∀t≥0}

∂X0=XX0

易证模型(1)关于X和X0是正不变的。

令Φ(t)=(S(t),I(t),R(t),V1(t),V2(t),V3(t)),定义

M∂={Φ(0);Φ(t)∈∂X0,t≥0}

下证

M∂={(S,0,R,V1,0,V3):S≥0,

R≥0,V1≥0,V3≥0}

(4)

为了证明式(4)成立,假设Φ(0)∈M∂,只需证明∀t≥0,有I=0,V2=0即可。若不成立,则∃t1≥0,使得I(t1)+V2(t1)>0,因此Φ(t1)∈X0这与Φ(0)∈M∂相矛盾。 用ω(Φ(0))表示模型(1)从Φ(0)∈X出发的解的ω-极限集。令

P=U(ω(Φ(0)):Φ(0)∈M∂}

在M∂={(S,0,R,V1,0,V3):S≥0,R≥0,V1≥0,V3≥0}上有

(5)

其中Φ(t)是初值属于X0的模型(1)的任意解,只需证明

Ws(E0)∩X0=∅

(6)

其中Ws(E0)是E0的稳定流形。假设式(6)不成立,则在X0中存在一个解Φ(t),满足

(7)

则存在充分小的δ>0,当T1>0时,有

(8)

当t≥T1时,根据模型(1)的第2个和第5个方程,由式(8)得

即

其中

5 数值模拟

通过数值模拟来验证模型(1)理论结果的正确性。从文献[10]中得到参数τ1=0.85,τ2=0.98,文献[19]中得到参数A=1 340 000,k1=0.629 1,k2=0.8,r=1/0.633 3。参数以月为单位,假设人的平均寿命是840个月,因此死亡率u=1/840≈0.001 2。考虑参数θ1=0.01,θ2=0.05，可得以下结论。

当β=0.000 008 5时,求得R0=8.212 5>1,图1分别表示染病者和接种染病者与时间的关系,显示了麻疹疾病是持续存在的,与定理2结论一致。

当β=0.000 000 85时,无病平衡点为E0=(2.1×106,0,0,2.6×105,0,1.1×109),R0=0.821 3<1。图2分别表示染病者与接种染病者与时间的关系,表明此时无病平衡点E0是局部渐近稳定的,麻疹疾病绝灭,与定理1结论一致。

图3为部分相关系数(PRCC)的结果R0对每个参数的依赖性。从图3可知,β和A对R0有较大的正的影响,r和k1对R0有较大的负的影响。相比较而言,μ,θ1和τ1对R0的影响较小,即不敏感。另外,麻疹疾病的感染率β对R0的影响最大,其次是恢复率r,然后是第一次接种覆盖率k1和人口输入率A,这些因素在很大程度上影响着疾病的存在和持续传播,因此,为了减少麻疹染病者人数的增加并达到控制疾病流行的目的,可以采取的有效措施有:①尽量减少麻疹染病者和普通人群以及从未接种过麻疹疫苗的易感者的接触,从而达到降低感染率的目的;②在麻疹患者染病的整个潜伏期过程中,需尽量缩短治愈周期,控制治疗时间在潜伏期范围内,以期望达到高效的治愈率,从而避免了麻疹疾病再次传播;③全面扩大新生儿首次接种覆盖率,第一次接种的覆盖率对基本再生数的影响要大于第二次接种覆盖率,因此新生儿出生后的第一剂麻疹疫苗覆盖率需尽可能达到100%。

6 结 语

本文在文献[12]的基础上考虑了分人群接种对麻疹疾病传播动力学的影响,通过计算得到了模型的无病平衡点和基本再生数,证明了无病平衡点的局部渐近稳定性和疾病的一致持久性,并进行数值模拟验证。结果表明：感染率、接种覆盖率以及恢复率对基本再生数的影响较大,对阈值的敏感性较强。由此总结得到控制麻疹流行的3个有效措施,从而达到控制麻疹疾病流行的目的。