相干矢量表象中的量子相干性度量

丁 磊

(西南交通大学物理科学与技术学院， 成都 610031)

1 引 言

由量子态叠加原理产生的量子相干性是量子力学中最重要的基本特征之一，是量子世界从经典领域中分离出来的标志.在跨学科领域中，量子相干性扮演着极其重要的角色，比如纳米热力学[1]，量子度量学[2]，量子生物学[3]等. 在物理学中，它更是发挥着核心作用，能实现经典物理学和射线光学无法实现的一些应用. 量子相干性是量子物理和量子信息科学中的一个热门的研究课题，是一些量子应用的基础条件，如量子隐形传态[4]，量子信息分裂的量子参数估计等.

值得关注的是，人们已经注意到，在Baumgratz等人[5]提出的框架中，如果对量子态进行基矢变换，那么就会出现相干态与非相干态相互转换的情况[10]. 进一步说就是基矢的变换，会导致同一量子态的相干性在同一度量下发生变化. 从物理学的角度出发，物理系统量子态的物理特性在相同度量下不应该随基矢变换而改变，但是允许其数值随度量方式的改变而改变. 王伟臣等人[10]已经提出独立于基矢选择的度量方式，重新定义的非相干态为经典最大混合态.

本工作在相干矢量表象下提出另一种独立于基矢选择的量子相干性度量，称为相干矢量相干性. 给出了符合相干矢量相干性的非相干态、非相干算符和性质.

2 量子态的相干矢量

在介绍相干矢量相干性之前，本部分将简短回顾量子态的相干矢量描述及其部分性质. 众所周知，N维Hilbert空间H中的量子态用密度矩阵ρN来描述，ρN满足厄米性、正定性和单位迹性. 同时，离散N维Hilbert空间H中的量子态ρN还可以用一个单位算符IN和SU(N)群的生成元展开并得到发展和广泛应用[11-18]. 其中SU(N)群生成元由如下过程构成[17].

首先，在离散N维Hilbert空间H中的一组正交规范基{|i〉,(i=1,2,…,n)}下引入一组转换投影算符:

Pij=|i〉〈j|

(1)

然后，利用以下这三组算符

Pll-lPl+1,l+1)

(2)

来构造生成元，其中1≤l≤N-1,1≤j

(3)

其中i=1,2,…,N2-1，并满足如下关系：

(4)

利用Tr(ρN)=1,密度矩阵ρN可以表示成如下形式：

(5)

根据文献[16]中的球坐标观点，在(N2-1)维相干矢量表象B(RN2-1)中，所有可描述密度矩阵的相干矢量形成一个闭合有界凸集，到达该闭合有界凸集边界上的相干矢量的模长并不相等. 其中纯态所对应的相干矢量的模长最大，为:

(6)

同时，Schlienz等人[11]已经证明，当对N维Hilbert空间H中的密度矩阵ρN做一个酉变换UN时，该密度矩阵在相干矢量表象中对应的相干矢量做了一个(N2-1)维的转动O(UN).

3 相干矢量相干性度量

基于对密度矩阵做酉变换时，其在相干矢量表象中对应的相干矢量做旋转的独特性质,本文在相干矢量表象中利用相干矢量的归一化模定义了一种新的量子相干性度量：

(7)

(8)

即为经典最大混合态. 实际上，这样定义的非相干态是Baumgratz等人[5]定义的非相干态中δi全部相等时的那一类. 王伟臣[10]已经证明，把经典最大混合态作为非相干态时，非相干算符就只能是酉算符UN. 在本文定义的相干矢量相干性度量中，也是把非相干态定义为经典最大混合态，因此本文定义的非相干算符也是酉算符UN.

4 相干矢量相干性的性质

虽然本文定义的非相干态和非相干算符与文献[5]中的不同，但是其提出的四个条件却是普适的，所以本文依然需要依据其条件讨论相干矢量相干性的性质.

性质a：非负性，即

0≤Ccv(ρN)≤1

性质b：凸性，量子态的混合态的相干矢量相干性不增大，即

证毕.

性质c:非相干算符作用下的不变性, 即

Ccv(ρN)

总的来说，相干矢量相干性度量完全符合Baumgratz框架的条件(C1)和(C3). 而量子态在非相干算符酉算符UN作用后，不管测量与否，其相干矢量相干性都保持不变.

5 结 论

本文在相干矢量表象中提出了一种新的量子相干性度量，即相干矢量相干性，其实质就是采用相干矢量的归一化模长来度量量子相干性. 相干矢量相干性能避开相干态与非相干态随基矢的选择而相互转换的问题，也就是对量子态进行幺正变换后其相干矢量相干性保持不变. 本文还在这种度量方式下讨论了把非相干态定义为经典最大混合态和把非相干算符定义为酉算符的可行性. 最后，本文还得到了相干矢量相干性的三条性质：非负性、凸性和非相干算符，即幺正算符，作用下的量子相干性不变性. 这对探索量子相干性更好地度量和丰富量子资源理论具有一定的积极意义.