高等数学中不等式证明的方法示例

摘 要：不等式证明问题是高等数学中的重要内容，针对不等式的证明问题，本文分析并总结了高等数学中证明不等式的主要方法及其解题思路，并辅以典型例题，使学生能够系统地掌握不等式的证明方法。

关键词：高等数学;不等式;证明

不等式是研究数学问题的重要工具，也是高等数学中的重要内容。不等式的证明也是考研试题中的重要考点，也是难点。很多学生对不等式问题缺乏系统的思考和总结。本文举例说明了不等式证明的常用方法及适用情况，使学生更好地掌握不等式的证明技巧。

1 利用函数的单调性

利用函数的单调性证明不等式，常将不等式进行恒等变形以便于构造辅助函数f（x），在判断辅助函数f（x）的单调性时，若判断f′（x）的符号困难，则可考虑求f″（x）甚至f（x）来递推确定。当然，若此时无法确定导数符号，则说明此方法失效，应改用其他方法。

3 利用拉格朗日中值定理

利用拉格朗日中值定理证明不等式的关键在于满足定理的两个条件，通过观察不等式经过恒等变形可以化成函数值之差的形式，可考虑用拉格朗日中值定理，并合理设定f（x），再根据ξ的取值范围对f′（ξ）进行估计，进而推导出所证不等式。

4 利用泰勒公式

这种方法适合于题中所给（或能推导出）条件f″（x）存在且>0（或<0）的命题，此时只能利用带拉格朗日余项的泰勒公式证明不等式，关键是在哪一个点将函数用泰勒公式展开，通常展开点一般选取已知导数信息最多的点。然后根据题设对展开式的余项进行适当的放缩，导出所证不等式。

种方法是高等数学中证明不等式的常用方法，不等式的证法因题而异，灵活多变，我们应该具体问题具体分析。要想熟练掌握其中的技巧，我们要多思考多总结，才能快捷地解决不等式的证明问题。

参考文献：

[1]同济大学数学教研室.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]夏靜.高等数学中不等式证明的常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2015（10）：19-20.

[3]李永乐，王式安，武忠祥，季文铎.2019考研数学复习全书[M].北京：国家行政学院出版社，2017.12.

作者简介：杨雪（1982-），女，吉林长春人，长春工业大学硕士研究生，吉林工商学院助教，研究方向：最优化理论与应用。