刍议高中数学解题中构造法的应用

何爱文

【摘 要】构造法是指抓住已知条件与结论之间的内在关联，通过问题中的数据、外形、坐标等特征，将已知条件作为原材料，运用已经学过的数学关系式与数学理论，构造出一个全新的数学研究对象，进而使数学问题中隐藏的关系及数学属性浮出水面，最终达到解决数学问题的目的。该方法在高中数学解题当中得到普遍应用，不但提高了解题效率，而且也相对提高了解题准确率。本文围绕构造法在高中数学解题中的实际应用案例展开论述。

【关键词】高中数学;解题;构造法;應用

运用构造法能够解决高中数学中的函数、方程、数列等问题，它能够将抽象的数学问题变得形象，能够将复杂的数学关系变得简单，能够将繁杂无头绪的解题过程变得清晰，是一种特殊、高效、科学的解题方法。

1   构造法在数列题型中的应用

高中数学中的数列知识点在高考数学试卷当中占据着较大分值。求解数列的通项公式问题，给学生带来了诸多困扰。在面对这一题型中较为简单直观的问题时，学生通常运用求差法、求商法、叠乘法、递推公式、倒数法来求解通项公式，这样能够快速解出正确答案。但是，当解答一些较为复杂的求解通项公式问题时，这些常用方法的效果并不尽如人意。这时学生可以应用构造法，根据已知条件，构造出一个新的数列，从而使问题迎刃而解[1]。

如这道数列题“已知a1=2，an+1=2an+3n+n，求an的通项公式。”对于这道数列题，如果运用构造法，首先应当构造一个新的数列，即an+1+m3n+1+x（n+1）+y=2（an+m3n+xn+y），将此数列展开，进一步进行化简，根据已知条件可以得到m=-1，x=1，y=1，所以an-3n+n+1=（a1-31+1+1）·2n-1=2n-1，所以an=3n+2n-1-n-1。由此可见，利用构造法解决求数列通项公式的问题，不仅使求解过程变得简单易懂，而且省略了大量的中间转换过程，能够达到事半功倍的解题效果。

2   构造法在函数题型中的应用

函数知识贯穿整个高中阶段的数学学习，是数学教师的教学重点，也是学生的学习难点。这主要是因为函数知识具有可变性，不但题型千变万化，而且应用的数学理论也复杂多变。为了降低函数问题的难度，提高解题速度，学生在解决相关函数问题时，可以借助于构造法来准确判断函数的单调性、奇偶性以及周期性特征，并且构造出一个简单的函数，将函数问题化繁为简，使问题得到有效解决。

3   构造法在方程题型中的应用

高中阶段的方程知识是数学知识点中的一项难点内容，不但题型复杂、计算量大，而且对学生逻辑推理能力的要求较高。如果采取常规的直接计算的方法，不仅难以求解出方程的根，而且往往一道题将占用学生大量的解题时间，久而久之，就会直接影响学生的数学成绩。因此在高中数学教学中，教师应当正确引导学生运用构造法，从而降低问题的难度，快速得到正确答案。

4   构造法在几何题型中的应用

代数与几何是高中数学的两大组成元素，在学习几何知识或者解决相关的几何题型时，学生会认为几何知识的学习和掌握难度相对较大。这主要是由于几何知识点中融入了各种各样的图形元素，学生在解决代数问题时，必须具有较强的图形分析能力。因此，如果在解决几何题型时，能够引入构造法，重新构造出一个形象化、具体化的几何图形，将对学生解决复杂的几何问题大有帮助[2]。如这道题“求出cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos215°的值。”当面对这道题型时，学生容易被题干给出的已知条件所误导，直接运用余弦定理进行求解。实际上根据几何知识中的角与边的关系，该问题也涉及正弦定理。因此，可以利用构造法，构造出一个三角形，并且令∠A=85°，∠B=80°，∠C=15°，然后根据这个构造出的三角形，得到，从这道题可以看出，学生在面对类似的几何题型时，首先应当考虑构造一个新的几何图形的方法，将抽象化、不易于理解的题设条件转化为直观的几何图形，进而学生根据图形快速找到问题的突破口，求解出最终的正确答案。

总之，构造法不仅是解题思维上的一种全新突破，而且也是经过长期实践而得出的一条高效解题路径。对于难度较大的高中数学知识来说，在解决数学问题时合理应用构造法，既能够锻炼和培养学生的创新思维，也能够提高学生的数学学习能力，从而破解更多的数学难题。

【参考文献】

[1]潘威威.简析高中数学解题中运用构造法的措施[J].新课程·中学，2019（6）.

[2]李朝磊.巧借构造法妙解数学题——解析构造法在高中数学解题中的应用[J].数学大世界（中旬版），2019（1）.