小学数学六种推理基本模型的应用

吴永华

【摘  要】  新课程改革进入了一个深水区，三维目标的设置，核心学科素养的认知都从显性的知识技能转向隐性的思维发展研究。数学如何落实加强数学思想和方法的渗透始终是一线教师绕不过的主题。推理是基础数学核心十大概念之一，如何培养学生的推理能力是大家关注的问题。

推理是一个极其复杂的心智操作过程，把这个隐性过程用典型的表征方式表达出来，使隐性过程显性化，就产生了模型。推理的表征形式有三大类，具体模型在小学数学涉及到六种，这里的种属分类不是单纯的隶属分类，而是交织的交集分类，构成一个立体网络。六种模型的具体应用是教师对数学教学文化实践的深度提炼。

像数学家一样认知世界，像物理学家一样思考问题，把数学思想和方法移至小学数学教学的中央，这是数学教师专业发展的梦想。

【关键词】  小学数学;推理;模型;应用

数学是工具性、人文性、社会文化性的综合。学习数学是学生借助数学语言，吸纳人类智慧进行文化实践的过程。这个过程有态度和感受，获取知识和炼制知识，有意义地应用知识以及养成良好思维习惯等多个维度。推理是获取知识和炼制知识维度中最重要的部分，也是学习者一个复杂的心智过程。

基于模型的推理能力培养是当前数学教学改革的热门话题。模型是表征系统的典型表达形式;模式是心智操作的程序性表达形式。推理模型存在着复杂的连续体，有机动性和不变性，缩放性和再生性相统一的特征。应用好推理模型原理的数学教学课堂实践探索，是深化数学课程改革的有效路径。小学数学推理模型有三大类六种基本模型：三大类指物理缩图类、表征系统类和句法模型类;六种基本模型是比较、分类、抽象、建模、归纳和演绎。推理能力的培养致力于学习个体的经验炼制和已有知识的拓展，在态度和感受因素的参与下，创造新的知识结构，形成良好的思维习惯和思维品质。

一、比较和分类——从直观到炼制

比较指个体能确定并说明各种事物的相似点和不同点。分类指个体能根据属性把事物分组成为可定义的种类。一般不同的属性标准就有不同的分类模型，多数用于陈述性知识的意义建构过程。分类和比较有时是相互交集，同时发生的推理过程，用于知识网络结构的组建。

小学生的分类和比较是从直观开始的，先从生活场景中实物开始介入。例如衣服、工具、垃圾分类等等。讲清分类的意义，感受分类的类别可定义性，再进入图形和符号的分类。例如几何图形的分类，数学符号工具的分类等等。但是图形和符号的分类，往往会缺乏可定义的炼制，使比较和分类不能进入到概念分类的思维高级推理阶段。例如“字母表示数”，传统的教学只从为教方程作铺垫，并不关注分类，所以会出现学生“一锅熟”的现象，缺乏对字母表示数的深度意义理解。字母的数学应用是有分类的：一是表示任意数，并给字母有定义域;二是表示函数间的关系;三是表示特殊意义的特殊性;四是叙述中用缩写表示特殊意义。数学是一种文化语言，数学符号是这种语言的特殊意义记录，符号感的形成除了意义建构，还要加强分类和比较的推理能力培育，从直观到炼制，养成说明事物相似点和不同点的习惯，学会自觉分类的可定义性本领。

分类和比较的交集会产生类比和迁移的功能，形成知识结构。目前小学的解决问题教学是分散的，传统算术思维是分类的，从“九章算术”开始，中国古代的算术是以个案范式来传统地解答知识的。现代数学思维解决问题并不分类，其实工程问题和行程问题的基本模型是相似的，如果工程总量、效率、时间跟距离、速度、时间对应起来比较，就发现两种模型都属于一次函数的类别。从直观到炼制，既是一种认知结构拓展，也是一种认識事物的精炼。我们在数学比较和分类教学中，不能只关注直观性的学习结果，要特别重视比较和分类的知识炼制过程，把直觉感知变成探索未知的推理过程，提高小学生思考问题的层级性。

二、抽象与建模——关于数学文化的浸润

数学是一门抽象的科学，建模是数学的核心理念。抽象指确定信息的基本主题，舍去非本质的东西，建立一般范式的推理过程。例如人们在生活实践中，积累起了人走路、马车行、火车跑的信息，发觉人、马、车都是事物非本质的东西，时间、速度、路程是最本质的特征，于是建立起“路程=速度×时间”的表征范式，并推广到飞机、自行车、动物等所有物体的运动过程。人们对事物本质的炼制也是有一个深化过程的，速度就有方向性、加速和减速，时间是相对的，路程是位移，从体验感知到抽象推理，形成数学文化的历史性长河，集中体现了人类的伟大智慧。抽象和建模是两种相关联的推理过程，抽象致力于推理的过程，建模关注推理的结果，这种复杂推理是一般和特殊的心智操作的互动，也是图像系统、符号表征系统和句法模型系统的可视化建构。

在教学实践活动中，教师往往责怪学生思维死，不会“举一反三”。事实上这不是学生的过错，而是教师长期缺乏抽象与建模的数学文化浸润所造成的后果。有一段时期小学数学课程改革有一种去模式化的时尚，似乎模式会束缚学生的思维创新，教师不支持和帮助学生去抽象和建模，这就是题海战最可悲的地方。大运动量训练一要注意不要过度训练，超越学生的可接受极限;二要建立属于学生自己的认知模型，通常说的“举一反三”就是建模，“反三”就是模型的应用和实证，这个推理复杂过程有一个调节机制，就是学生的批判性思维能力，让每个学生在数学的学习过程中建构属于自己的心智操作范式。

小学数学是一个境脉剥离的学科，知识点是以明示结论性形态传授给学生的，在解题训练中形成技能。数学课堂改革的生活教学主要是沟通学校数学跟生活境脉的联系，这是可取的尝试。但是数学毕竟是一门抽象的科学，小学数学教学的去数学化是不可取的，培养学生抽象和建模能力，最好的路径是数学文化的浸润。所谓数学文化的浸润就是注入一些数学发展史的故事和知识，让学生从小能像数学家一样认识世界，像物理学家一样思考问题，树立科学意识，抱着科学家的态度，探索未来世界。

自然数的计数法从幼儿园就开始，但是学生到小学高年级并不清楚知道计数法有许多种，不会比较阿拉伯计数法和中国计数法、罗马计数法有什么区别。中国计数法来自于筹码，没有数位的位值概念，在实物标记层面操作。阿拉伯计数法有抽象的位值概念，所以成为全人类的计数法主流模型。阿拉伯计数法发源于印度，由阿拉伯商人传到欧洲，以后根据位值概念便产生二进位、八进位等其他进位的方法。二进位制是现代计算机的基础语言，在“字母表示数”的一章节，要浸润数的文化，让学生深度理解多位数展开式的意义：           =a×10m-1+b×10m-2+c×10m-3+……+k×100。

三、归纳与演绎——学一点逻辑学

归纳推理指从信息或观察中推断出未知的概念或原理。演绎推理指运用概念和原理推测具体信息或情境的结论。两种推理过程是相向的，且都带有猜想、论证、检验、调整的过程。归纳与演绎的推理过程是否正确指这个过程是否符合逻辑学的一般原理。小学数学虽然不出现逻辑的概念，但是要把数学思想方法适当地说出来，让学生的思维轨迹在准确的逻辑起点上发展。例如在学习小数意义时，一般教师是用元、角、分直接指向方式来引入的，2.56元就是2元5角6分，1角是1/10元，故写成0.5元，1分就是1/100元，故写成0.06元，把2元5角6分以元作单位合起来就是2.56元。那么2.567千克是什么意思呢？2千克567克。这样的认知就缺乏一种逻辑关系，学生只能死记硬背了。所以灌输教学最大的弊病就是把思维的结果呈现给学生，缺乏一种归纳与演绎的思维推理过程，让学生从“理解”异化成“机械性记忆”。小数意义的直接指向方式来源于数学的生活化和情境化，但教师教学的方式要注意数学内在的逻辑关联。

学生在小学阶段的归纳推理与演绎推理主要用句法模型呈现，也就是多解题的讨论和证明题的说理。小学数学的课堂教学中动手做题目的训练多，说明自己的思路和解题过程的少，到中学在几何证明题教学，代数不定方程讨论的学习中就出现了问题：一是不能准确使用“因为……所以……”句型，“因为”后面是相关条件，“所以”后面是得出的结果，要么条件不相关，要么结论不正确，主要是归纳与演绎的能力较弱;二是不会使用“   ”推导符号，对符号感的理解度较低;三是缺乏对变量的定义域或值域的认识。小学（尤其是高年级学生）要让学生学会讨论，学会发表自己的观点，使隐性推理过程显性化。加强认知过程的逻辑关联，使推理更加有深度。

接以上小数直接指向引入方式的案例讨论，可不可以换一种学习思路呢？2.56元是多少元、多少角、多少分呢？从结论倒置提问，因为生活经验告诉我们，学生对于2元5角6分的认知是没有障碍的，那么你能说一说理由吗？1角是1元的1/10，小数点后第一位表示个位的1/10，所以0.5元就是5角。依此类推0.06元就是6分。能否给小数点后面第一位一个名称呢？因为是个位的1/10位值，所以取十分位比较好，那么第二位当然是百分位了，第三位可以是千分位，表示个位的1/1000……任意n位就是个位的1/10n，永远可以无穷小。如果每个学生在直接指向后有深度思维展开，那么对于2.567千克问题的解答，还会有什么难度呢？

小学数学是每一个现代全人培养的基础学科，许多小学问题都包含着深刻的大道理。每个学科都有每个学科的核心素养，小学数学的核心素养除了基础知识和基本技能之外，还包含思维方式、情感态度和学习方法。传统的“双基”并没错，只是不够完整。“四基”的框架是在“双基”的基础上发展起来的。知识、技能、情感三维度构成一个立方体，方法和过程的实践活动是这个立方体的充填物。当前课堂教学改革的焦点应该集中在数学思想方法的浸润上，关注隐性思维过程的显性化研究，提升学生的有效性学习水平，凸显数学学科的核心素养功能。

【参考文献】

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[3]张奠宙.数学教育的“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2017.

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