实际问题中的包装盒问题

摘 要：本节课是导数在实际生活中的应用的第一节课，在之前学习了导数在求最大值与最小值的应用后，通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。而本节课主要是解决几何方面有关最大（小）值问题，一般是先建立目标函数，建立好目标函数后，则问题就转化为上一节的内容了，所以要求学生学会分析实际问题，将其抽象成数学模型，建立目标函数，再用导数求目标函数的最值问题，最后根据实际问题作答。促进学生解决问题的能力，进一步提高学生学习数学的兴趣。

关键词：实际问题;函数;目标函数;优化问题

一、情境活动

双十一就要到了，那时候大家都很忙，卖家搞促销，想赚更多的钱，买家想货比n家，买到物美价廉的商品，在这个交易过程中，快递不可或缺，你们有没有发现，商品都会被形形色色的盒子所包装，对于快递公司而言，包装同一个商品，用的材料越少越好，而给你一张硬纸片，制作出的盒子当然体积越大越好，那么就比如说这个问题

二、新课讲授

（1）在边长为60cm的正方形纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底纸盒，当盒底边长与高分别为多少时，盒子容积最大？最大容积是多少？

答：当盒子底边长为40cm时，盒子容积最大，最大值为16000cm3。

说明：本题学生在一开始的设计变量上会有不同的选择，比如设盒底边长，设高，再或者设盒底边长和高，利用图形寻求两者之间的关系，然后在表示盒子的体积时候用两只之间的等量关系进行消元，得到体积关于变量的函数，转化成求目标函数的最值问题，这样就转化为前一节的内容了。最后再让学生回忆这道题的解法，从实例—建模—解模—回归。

[设计意图]将生活中的实际问题抽象成数学模型，建立目标函数，转化成求目标函数的最值问题，这里用导数的方法解决了此类问題，这就是这节课要研究的主要内容。盒子体积的最值问题可以归结为优化问题，关键是让学生从实际生活中抽象成数学问题，教学中让学生充分体验目标函数的建立过程（涉及的变量之间的关系，如何表示目标函数等）再利用导数解决此类问题，体现导数的应用价值;其次，在这题教学中还让学生学习应用题的板书要求及实际意义的注意。解决了体积最大问题，那么接下来我们看一看材料最省问题。

（2）将一张正方形纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个容积为16000cm3的无盖方底盒子，它的底面边长为多少时，才能使它用的正方形纸片最省？

三、课堂小结

请大家回顾一下本节课我们主要学习了哪些内容？

总结利用导数解决优化问题的基本思路：实际中的优化问题，建立目标函数，优化问题的答案，求目标函数的最值。

生活中处处有数学，今天主要解决了用导数解决实际生活中的优化问题，至于导数在其他方面的应用，下节课介绍，谢谢！

四、设计说明

本节课是“导数在实际生活中的应用”第一课时，需要让学生在一开始的应用题问题中充分发挥主观能动性，能够将实际生活中的问题抽象成数学问题，建立相应的数学模型，这就要求学生本身必须具有一定的基本数学素养，其次还要求学生对利用导数的方法求函数的最值问题非常熟悉，本节课结合以上两点，在活动1、2及变题中充分利用现有的教学设施进行教与学的双赢。

参考文献：

[1]李秉德，李定仁.教学论[M].人民教育出版社，1991.

[2]罗增儒，李文铭.数学教学论[M].陕西师范大学出版社，2003.

作者简介：夏玫（1986-），女，汉族，江苏镇江人，研究生（理学硕士），中学一级，研究方向：中学教学。