开启思维之门：加减法的实质与拓展

刘宪升

摘 要：加减法是数学中最基本的运算，对其实质进行研究，对其运算范围进行拓展，能开启学生思维之门，促进学生思维发展。文章结合加减法的起源，揭示了加减法（运算能进行）的实质，实现了从小学到大学诸多数学知识的融合与统一，使刚学加减运算的学生就能解决整式、根式、复数、向量、矩阵的加减运算问题。

关键词：加法;减法;运算;实质;思维发展

中图分类号：G623.5 文献标志码：A文章编号：1008-3561（2020）17-0114-02

加减法是数学中最基本的运算。一个幼儿园大班和一年级学生都会的加减运算还有什么实质？然而，可能正是人们都觉得它简单、好学、会算，往往就熟视无睹，缺乏深入思考，导致了各种加减法不得不反复学习。文章从学生刚学加减运算谈起，通过揭示其实质并进行拓展，展现数学美丽的景观。

一、认识加减法的实质

众所周知，原始人类为了维持生活，他们常外出狩猎和采集果实。数或数量及加减运算就来源于收获的物质或消费分配的计量（即现代的统计）。一开始是以实物的形式直观表达的，后来才抽象出了数的概念及算式的表达，标志着人类的思维逐步由直观思维走向形式或抽象思维，实现了认识上的一次飞跃。下面的三个算式就是人们比较初始计量的表现形式（当然早期算式中的数字不是阿拉伯数字，也没有加减号）。

上面的算式为什么能进行加减运算呢？上面每个算式中，前面的数表示个数，数字后面是相同的东西。那么，下面的1）、2）两个加减法式子能进行运算吗？若能算，得到什么？

若1）式中的金条同质，且同样宽、厚，后面金条的长度是前面金条长度的2倍。它们能相加吗？若说是6块金条，是长的还是短的？若说这无所谓，假设3根短金条是我的，3根长金条是你的，既然长短无所谓，那我拿回3根长金条，短的给你，你愿意吗？2）式能运算吗？有的人说是7个水果。是的，这是单纯抽出数量进行归类的结果，但它不能明确表示古人采摘果实的成果，会影响人们对生活的规划。将情况放大一点，比如一天打猎收获了2只野兔和3只野猪，若单纯抽出数量并归类说收获了5只动物是可以的，可表意不明。若理解成5只野猪，可以吃多天，这些天不出去打猎人不会饿死。由此可见，这样归类进行的运算，是人们单纯抽出数量运算的结果，既不能达成古人要实现的目的，也偏离了古人进行加减运算的实质。当然，上面的算式是可以算出结果的，如2）式中可以理解为一个篮子里有3个苹果和4个桃，但只能到此为止，严格来说是不能再进行运算的。

因此，从加减法的起源来看，在加减法算式中，要使运算能进行下去，必须保证加数和减数是完全相同事物的数量，差一点都不行。或者说，加法是完全相同事物的累计或叠加，减法是从完全相同的一些事物中去掉一部分。这就是加减法的实质，是加减运算得以进行的保证。当然，若能把不完全一样的东西变成完全一样的，仍可进行运算。如，在1）式中，把每块长金条换成2块短金条，运算后可得9块短金条。基于上述分析，笔者给幼儿园大班的孩子和小学一年级学生出了类似下面的算式，他们很快就写出了结果。

有人说，算式2+3=5中并未表明相同的东西相加减啊？如果理解了自然数的构成就清楚了。此式表示2个1和3个1相加等于5个1，只不过把1省略了。

二、放飞思维，展翅冲天

探讨加减法实质的目的，一方面是拓展学生的思维，激发其养成善动脑、勤思考、会思考的习惯，进而开发智力，训练思维。另一方面是把这一实质迁移到其他知识的加减运算中，使幼儿及一年级的学生会解决小学还没学习的问题，及中学数学，甚至高等数学中的加减法问题。把高深的数学知识简单化、生活化，能让学生感受到数学的趣味性，在树立自信心的同时提高学习兴趣。让学生感悟、领会到认识知识的实质比多练题更重要，能促进其反思学习方法，学会学习，从题海之中爬上岸来。

下面，笔者结合实际数学内容来说明加减法实质的应用（考虑到学生实际，字母等基本不读，只让他们判断是不是相同的东西即可）。

1.可实现小学有关知识的融合

刚上一年级的学生，虽然只学了简单的加减法，但在认识到实质的情况下，很多没学的就都会运算了。如：

这些算式中，虽然带单位，并且学生大都不知道啥意思，但他们照样可以运算。而给出如4米+30分米=   、2元+30角= 等问题，学生都知道不能直接进行运算，这比一遍遍强调必须统一单位省了很多功夫。

2.可以实现中学及高等数学有关知识的融合

（1）整式的加减运算。在上面一些算式中，如果用字母表示单位，那么就是整式加减运算。如1）2a+ 3a=___，2）4ab-2ab=___，3）4ab+2a2-2ab+3a2=   ，结果就没必要说了。但需指出的是，初中課本上的同类项其实质就是完全相同的东西;整式的加减运算就是人们一开始认识的实质上的、有意义的加减运算，不相同的东西（不是同类项）就不能再进行运算（合并）了。

（4）向量坐标的加减运算。考虑到学生的实际，可以把向量的坐标表示形象地解释成一个长条筐，逗号表示把筐隔开，筐两头分别放不同的东西。如筐左边的表示苹果的个数，右边的表示梨的个数，并且说明所有的框都是这样放。给出下面类似的题目，要求学生把等式左边两个筐里的东西放到右边的筐里：（3，2）+（1，3）=（ ， ） （4，5）-（1，3）=（ ， ）。结果学生很快写出了答案。不仅如此，提出把长条框分成三个格、四个格等的三、四维向量的加减运算，学生也很快就解决了。

（5）矩阵的加减运算。在向量坐标的加减运算基础上，提出将筐分成如下的四个格，每个角上放不同的东西，且所有筐都这样放。给出下面问题，结果学生也能很快解决。如果把十字线去掉就是矩阵加减运算（此处带着是为了学生好理解）。而后，又给出3行3列、3行4列等多行多列的矩阵加减法，学生也很快就能解决。并且，引导学生回想一下，在超市看到过这种做法吗？有的孩子说出了卖糖果排着的很多格子，每天往上添加糖果就是这么做的。

由上可见，对加减法实质的揭示，可使数学变得简单易懂，不用学都会进行形式上的运算。这既可实现数学知识的融合与统一，又可启迪学生思维，还可缩短学习时间。

总之，加减法是数学中最基本的运算，对其实质进行研究，对其运算范围进行拓展，能开启学生思维之门，促进学生思维发展。众所周知，“数学是思维的体操”，可要实现数学对思维的训练价值，不是死学苦练就能做到的。因此，广大数学教育工作者要更新教育观念，不断创新教学方式方法，提高教学效率和教学质量，提升学生学科素养。

参考文献：

[1]江倩. 三年级小学生数学运算能力提升研究[D].重庆师范大学，2019.

[2]孟颖.关于小学数学加减法的教学策略探究[J].数学学习与研究，2018（05）.

[3]杨亚萍.小学计算教学策略的研究[D].云南师范大学，2016.