巧用“平行线之间的三角形面积相等”解题

杨翠苏

中图分类号：G633.6

一.平行线之间的三角形面积相等    

1.构建基本图形

已知直线m∥n，

• B为直线m上的两点，C、D为直线n上的两点;

连接任意两点间的线段。

（1）请你找出图中面积相等的各对三角形;

（2）△ABC与△ABD的面积为什么相等？（等底同高）

（3）为什么等高？（平行线间的距离处处相等）

证明：（1）S_△ABC=S_△ABD;S_△AOC=S_△B0D

（2）因为等底同高，所以S_△ABC=S_△ABD

（3）因为平行线间的距离处处相等，所以等高。

2.基本图形图形特征

两个三角形的公共边在一条平行线上，兩个三角形的第三个点在依托数学应用，指导学生掌握“问题解决”的策略。

二.构造平行线，利用“ 平行线之间的三角形面积相等”解题举例

解数学题时，构造平行线，利用“平行线之间的三角形面积相等”，往往能化繁为简，那么题目中的条件具备什么样的特点时，能构造平行线，利用“平行线之间的三角形面积相等”呢？

1. 题目条件中含有平行线 ，直接利用平行线之间的三角形

已知：如图，面积为6的正△ABC，P是BC边上一点，以PB为一边向外作正△PBD。

提出问题：

（1）如图2若点P是BC边的中点，则△ADC的面积为多少？

（2）如图3若点P是BC边的三等分点，则△ADC的面积为多少？

（3）如图4若点P是BC边的四等分点，则△ADC的面积为多少？

（4）如图5已知任意△ABC的面积，你能否构造出基本图形？你能找到面积相等的三角形吗？

解析：∵△ABC与△PBD均为正三角形，

∴∠CAB=∠PBD=60°，∴AC∥BD

∴S_△ACB=S_△ACD =6

点评：巧用两个等边三角形中的平行线，问题的关键是怎么发现平行线。

2. 题目条件中无平行线 ，根据题意连接点作出的平行线，形成平行线之间的三角形

（1）两个正方形如图6摆放，边长分别为2和5，则△AFC的面积为多少？

（2）两个正方形如图7摆放，边长分别为4和6，则△GEB的面积为多少？

（3）两个菱形形如图8摆放，两菱形的面积分别为3和9，则△BDF的面积为多少？

（4）两个正5边形如图9摆放，阴影部分的面积等于△ABC的面积？

（5）两个正6边形如图10摆放……..

解析：（1）连接FD，∠FDE=∠ACD=45°，∴AC∥FD

∴S_△ACF=S_△ACD = S_{正方形ABCD}=

同理：（2）（3）（4）（5）……的问题解决都是构造平行线

3.根据题目条件创造平行线，再利用利用“ 平行线之间的三角形面积相等”解决实际问题

如图11，四边形ABCD中，AD与BC不平行，S_△ABC>S_△DBC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？

解析：1.连接AC，

2.过D作AC的平行线交BC的延长线于点E

3.则△ADC与△ACE同底等高，S_△ACE=S_△ACD

4.所以四边形ABCD的面积就等于△AEB的面积

5.取EB边的中点F， 需连接AF 所以S_△ACB=S_△ACD。

6.即AF为四边形ABCD的面积等分线。

三.小结

以上几个实例，都有一个共同点，看似无平行线，却有平行线，在解题时，要认真审题，捕捉条件，慧眼识图，灵活构造，实践证明，通过平行线，巧用“平行线之间的三角形面积相等”解题，的确简洁而新颖，是一种行之有效的解题思路。