两点边值特征值问题的弱有限元方法

徐晓明 冯立婷 孙轶男

（东北大学，辽宁 沈阳110004）

1 概述

弱有限元方法可以看作是标准有限元方法的推广，在变分方程中，经典导数被弱有限元函数上定义的弱导数所代替。这个方法的主要特点是可以使用完全不连续的有限元函数，而有限元函数在边界上的值可能与单元内部的值无关。

本文将重点研究一维两点边值特征值问题的弱有限元方法。首先建立弱有限元空间，并给出一维两点边值问题的弱有限元近似；然后将这些结果应用于一维两点边值特征值问题的求解并给出误差分析。

2 一维两点边值问题的弱有限元逼近

考虑一维两点边值问题的特征值问题：求实数λ 和函数u是满足：

则该问题的等价变分问题为：求λ 和||u||=1 使满足

现在考虑问题（1）的弱有限元逼近。在区间I=（0，1）上，对区间I 进行剖分：

在弱有限元的分析中，在剖分Ih上定义全局离散弱函数空间，空间如下：

下面在一维空间中定义弱有限元空间：

其中

现在给出（1）的弱有限元方程，对于uh∈Sh，有

那么一维两点边值问题的变分方程为，对于f∈L（2Ω），求Ω）满足

则问题（5）的弱有限元逼近为：求uh∈Sh满足

也即：u=Kf 是问题（5）的唯一解。

然后定义算子K 的弱有限元离散近似Kh：f∈L2（Ω）→（Khf）0∈Sh满足

可得u=（Khf）0是问题（6）的弱有限元近似。

根据椭圆问题的有限元逼近理论得到

因为f∈L2（Ω），Khf∈Sh而不属于L2（Ω）空间，所以我们需要引进一个新的算子。

根据上面两个式子整理可以得到

3 特征值问题弱有限元逼近的误差分析

证明：利用特征函数的正规正交性，有

综合上述，得到

因此结论成立。

故得到