高zeta电势下多孔聚合物膜内非牛顿流体电渗流动*

邓曙艳，吴森明

(广东石油化工学院 建筑工程学院，广东 茂名 525000)

近年来，微流体技术在微电子机械系统、生物传感器系统和片上实验系统等领域的广泛应用引起了越来越多的关注[1]。为了精确控制微机械系统，必须深入了解微通道内的流体流动行为。电解质溶液与微通道带电壁面(假设负电)之间的接触触发了附近液体内自由带电离子的重新分布，形成了电双层(双电层)[2]，双电层上由于自由电荷粒子的聚集而产生的电势差为zeta电势。当沿着微通道中心线施加电场时，在库仑力下带电离子定向迁移，该迁移在流体黏性作用下带动管道内流体微团往前流动，进而产生电渗流(电渗流)。基于电渗流动的电渗泵是微机械系统关键元件之一[3]。电渗泵不依赖移动机械部件，能够精确控制微量流体，且便于在微芯片上集成[4]。基于多孔介质的电渗泵可通过诱发多个孔内的流体电渗流动，提高输送流体的流量，提供良好的泵送性能。综上，提高外加电压是产生高流量和高压力能力的有效途径。

随着外加电压的提高，电解质溶液容易出现焦耳热效应，进而影响电渗泵的输送效率。因此，文献[5]提出了基于低电压的电渗泵，通过使用薄膜缩短微通道长度获得较高强度的电场；且聚合物薄膜因其低成本、高生物相容性和柔韧性强日益受到学者们的关注。Kwon等对多孔聚合物膜电渗泵与多孔玻璃结构电渗泵的性能进行了比较研究，结果表明，多孔薄膜结构电渗泵更具优势[6]。电渗泵中被操作的工作介质通常被假设为牛顿流体。然而，一些生物样品或长链分子聚合物溶液在微流体系统中频繁应用，不能始终利用牛顿流体线性的本构关系。Das等[7]首次利用幂律本构关系提出了非牛顿幂律流体的定常电渗流动模型。因其简洁的本构关系，学者们开始关注幂律流体在不同几何体内电渗流的流动特性[8]。文献[9，10]研究了幂律流体在矩形微通道内的电渗流和矩形微通道内周期性压力驱动流中的电黏性效应。大多数电渗流模型均假设zeta电势小于0.025 V，利用DH假设，电势方程才可以被解析求解。本文根据逼近方法[11,12]，计算了高zeta电势(>0.025 V)下流动流量，为电渗泵性能预测提供理论参考。

1 数学模型

本文考虑了具有给定表面积At的蚀刻多孔聚合物膜，其任意孔假设为孔隙半径为R直圆柱微细管，当在多孔膜两端施加电压,幂律流体在多孔膜内形成电渗流。

图1 多孔聚合物膜的中单个微孔结构

将任意单孔视为直柱状微毛细管(见图1)。提出如下假设[6]：(1)根据微流控装置中液体流动特性，微孔孔隙半径远小于其轴向长度[1]，假设流速仅沿z方向；(2)多孔薄膜内的微孔均被具有对称电容常数的电解质溶液填满；(3)双电层厚度远小于孔隙半径；(4)孔隙表面具有恒定zeta电势；(5)重力忽略，无压力梯度；(6)流体流动为已经充分发展的不可压缩层流。

由于微孔截面的对称性，仅考虑孔截面的四分之一，采用图1所示的坐标轴。根据静电理论和假设(1)～(4)，在单孔内电势分布ψ(r)服从Poisson-Boltzmann方程

(1)

式中：εr为相对介电常数；ε0为真空中的介电常数；n0为中立状态ψ(r)=0下的离子浓度；e为元电荷；kb为玻耳兹曼常量；T为绝对温度[13]；ζ为zeta电势。

为了克服式(1)的非线性，引入近似解[11]，其解域由低势域l和高势域h组成(见图1)，电势解为

(2)

(3)

式中：B= cos-1[-C/ (exp(eζ/(kbT))R2)]1/2；C= [2 +r*I1(r*)/I0(r*)]-exp(1)·r*2；ψl(r*) =ψh(r*)；Ii(r)为修正的i阶贝塞尔函数[11]。

流变指数n的变化代表流体黏度和剪切应力的变化。n<1，n=1和n>1分别代表对应剪切变薄流体、牛顿流体和剪切变厚流体。结合假设(5)和式(3)，有柯西动量方程

(4)

考虑牛顿流体(n=1)和低zeta电势(ζ=±0.025 V)的情况下，应用Debye-Huckel近似,求解得到

(5)

进一步获得牛顿流体的流量和平均速度

(6)

式中：1/k为双电层的厚度，k=(2e2n∞/(εrε0kbT))1/2。

考虑非牛顿流体(n≠1)和高zeta电势(ζ>|0.025|V)的情况下，可获得式(4)的半解析解为

(7)

采用数值积分法求解式(7)，具体沿r方向采用变步长离散方法，每一步再采用高斯数值积分法计算。获得速度点的径向分布u(r)后，由式(7)求出幂律流体在单孔内的流量和平均速度

(8)

(9)

式中：Qs为微孔内电渗流流量；ε为多孔聚合物膜的弯曲度。

2 结果与讨论

图2 现有模型与参考文献[6]中实验数据

孔介质内幂律流体电渗流流量的相关参数取值如下：电解质溶液离子浓度为n=NAc。kb= 1.38×23 J · (mol·K)-1，ρm= 1000 kg·m-3，m= 9×10-4Nm-2sn，εr=80，ε0=8.85×10-12C2·(J·m)-1，T= 293 K。微孔孔隙半径的平均值Rm= 1.02 μm，微孔孔隙半径的最小值和最大值分别为0.8 μm和1.2 μm。多孔薄膜的面积为 2.5 mm2。为了验证多孔薄膜电渗流模型的准确性，现有模型为将式(9)得到的牛顿流体通过多孔聚合物膜的电渗流流量与文献[6]给出的实测流量进行了对比(见图2)，结果证明了本文模型的合理性。

图3 在不同的流变指数n下，总流量随外加电压的变化规律

施加在多孔聚合物膜上的电压所产生的库仑力是电渗泵应用中的驱动力，图3描述了不同流体总流量随外加电压的变化规律(c=0.01 mol/m3,ζ=0.1V，L= 20μm，φ=0.05)。以电压为10 V时的总流量对总流量进行无量纲化，幂律电渗流通过多孔聚合物膜的总流量随外加电压的增加而增加，该现象对剪切变薄流体更加明显。对于剪切变厚流体，流速随流变指数的增加速率小于剪切变薄流体。

图4 不同的流变指数n下，总流量随zeta电势变化规律

图4为不同流变指数下，总流量随zeta电势变化而变化的规律 (c= 0.01 mol/m3,V=10 V，L=20 μm，φ=0.05)。图4中，总流量由|ζ|=0.025 V时的总流量进行无量纲化。zeta电势的增强使总流量也随之增加，这对剪切变薄流体的影响尤为显著。并且|ζ|=0.1 V时的总流量比|ζ|=0.025 V时的总流量高出几倍，需要慎重考虑低zeta电势假设是否合理，因为zeta电势变化导致流体尤其对剪切变薄流体的流量的明显变化。

图5为多孔薄膜厚度对不同流体总流量的影响(c=0.01 mol/m3，ζ=0.1 V，V=10 V，φ=0.05)。幂律流体经多孔薄膜的总流量是由厚度L=20 μm时的总流量进行无量纲化，从而突出膜厚度对总流量的影响。流变指数越小，总流量随膜厚度的减小而减小的速率越大。

图6展示了不同流变指数下总流量随电解质溶液浓度的变化规律(ζ=0.1 V，V=10 V，L=20 μm，φ=0.05)。对于每种流体，用溶液浓度c=0.01 mol/m3时总流量进行无量纲化，从而凸显溶液浓度对总流量的影响。总流量随电解质浓度的增加而增加，随着流变指数的增加而降低。

图5 总流量随多孔薄膜厚度的变化规律 图6 总流量随电解质浓度的变化规律

3 结论

假设多孔聚合物膜内孔分布服从高斯分布，建立了幂律流体通过多孔聚合物膜的电渗流数学模型。幂律流体流经多孔薄膜的总流量随外加电压、zeta电势和溶液浓度的增加而增加。这些参数对剪切变薄流体总流量的影响要比剪切变厚流体明显大。因此，在多孔结构电渗泵应用中，为了获得高流量，可适当提高zeta电势，或者采取高离子密度和剪切变薄特性的工作介质，或者采用较薄的多孔薄膜。