考虑多类型通勤者的高占有率车道均衡分析

臧广智，徐 猛

(北京交通大学 轨道交通控制与安全国家重点实验室，北京100044)

0 引 言

拼车优先是政府缓解交通拥堵的重要管理政策之一.为响应该政策，交通管理部门建立了鼓励通勤者选择拼车出行的交通设施，最典型的就是高占有率车道.高占有率车道是非常有效的鼓励拼车优先的交通管理方案，通过禁止低占有率车辆(车上人数少于一定准入值的车辆)进入，将有限的道路资源优先供给高占有率车辆.因获得更多的道路资源，高占有率车辆相应的出行时间减少，部分通勤者改变单独驾车习惯，从而达到鼓励拼车出行的效果.为取得良好的实际运行效果，交通管理部门需指定高占有率车辆车上人数的准入值，哪些路段适合设立高占有率车道等管理细节.因此，如何制定合理的高占有率车道管理方案，成为学者和管理者需要研究的问题.

高占有率车道设立与管理的研究包括：降低车辆排放[1]，收费效益最大化[2]，交通服务水平[3]等多领域内容.本文关注高占有率车道静态均衡分析的研究.Yang等[4]研究了如何利用拥挤收费理论管理高占有率车道的问题.Chu 等[5]研究了高占有率车道起点位置的设置问题.Konishi等[6]研究了通勤者异质性对高占有率车道和高占有率收费车道的影响.Song等[7]建立优化模型研究高占有率车道及相关车道在路网中的设置问题.Wu 等[8]在一个包含高占有率车道的多模式网络中设计了一个帕累托提升的收费策略.

本文研究在设立高占有率车道的情境下，系统最优和用户均衡之间的差异，包括通勤平均成本变化和不同类型通勤者的平均通勤成本变化.建立了一个新的基于高占有率车道的交通系统，相比之前的研究[5]，加入了多类型拼车组织时间通勤者和轨道交通通勤方式的影响.通过引入通勤者拼车组织时间的差异，采用多类型用户网络均衡模型的描述，建立等价的数学规划模型；证明系统中，用户均衡和系统最优的存在性，讨论了唯一性不能成立的原因；通过对数值算例的分析发现，交通管理部门可以通过制定合理的管理政策，使低拼车组织时间的通勤者获得更大收益，从而对中长期通勤者选择拼车的意愿带来积极的影响；通过对高占有率车道的长度分析发现，高占有率车道长度越长，管理政策的效果越明显.

1 问题描述与建模

假设一定数量的通勤者在一个共同的住宅区居住，且在同一个商业区工作，一条包含多车道的高速公路连接两个区域.通勤者可以使用3种通勤方式，即单独驾驶小汽车(独驾通勤者)，与他人拼车(拼车通勤者)，乘坐轨道交通(轨道通勤者)，独驾通勤者和拼车通勤者合称为汽车通勤者.通勤成本分4 部分：主要出行时间成本，次要出行时间成本，拼车等待时间成本和车辆运行成本.主要出行时间成本是指汽车通勤者在高速公路上行驶或轨道通勤者乘坐轨道交通的时间成本，该成本与高速公路和轨道交通的长度正相关.次要出行时间成本是指通勤者花费在高速公路或者轨道交通以外的成本，其中，拼车通勤者不包括拼车等待时间成本.由于换乘公交和步行因素，假设汽车通勤者的次要出行成本小于轨道通勤者.拼车等待时间成本指拼车通勤者花费的额外时间成本.通勤者的家庭结构，工作性质，个人习惯等不同，通勤者的平均拼车等待时间也不同.例如，夫妻在组织拼车时更容易协调从而减少拼车等待时间，单身人士则需要与家庭以外的成员组织拼车，会花费更长的拼车等待时间；工作时间固定的通勤者可以形成固定的拼车群体，减少拼车等待时间.本文假设通勤者根据拼车等待时间分为不同类型，不同通勤者类型会有不同的通勤方式选择特征.车辆运行成本是汽车通勤者花费的车辆运行成本.假设每辆车的运行成本是固定的，如果通勤者选择拼车通勤，那么车上的每位通勤者平分该车辆的车辆运行成本.

参数定义如下：N为通勤者的需求数，C为高速公路的通行能力，R为需求通行能力比，则为一般车道通行能力占比，P·C为一般车道的通行能力.假设高占有率车辆的拼车率S是固定的，即所有高占有率车辆都有一个固定的拼车人数.γ为通勤者的时间价值，U为高速公路的自由流时间，α为轨道交通行驶时间与高速公路自由流时间之比，即轨道通勤者的主要出行时间成本为αγU.V为汽车通勤者的次要出行时间，β为轨道通勤者的次要出行时间与汽车通勤者之比，即汽车通勤者的次要出行时间成本为γV，轨道通勤者的次要出行时间成本为βγV.W为汽车通勤者的车辆运行成本，故独驾通勤者的车辆运行成本为W，拼车通勤者的车辆运行成本为关于通勤成本的变量中，选择汽车通勤的出行时间成本与流量相关，其他成本均为固定值.

K为通勤者类型集合，Ak，γAk分别为类型k的拼车等待时间、拼车等待时间成本，Qk为需求占比，k∈K.M为通勤者的通勤方式集合，M={L,H,T}，其中，L 表示单独驾驶小汽车，H 表示与他人拼车，T 表示乘坐轨道交通.

μkm为类型k的通勤者选择方式m的占比，m∈M，为全部通勤者选择方式m的占比，类型k的通勤者选择方式m的通勤成本ckm为

式中：fT(·)是关于流量能力比的通勤时间成本函数.假设该函数是正的，严格单调递增，二阶连续可导且严格凸的，满足

使用占比模式描述系统的基本状态.

定义1占比模式.占比模式是一个向量，满足μ∈Ω.

需要强调的是，占比模式不是由所有占比直接构成的.方式L 和方式T 的占比是以总和的形式构成.这是因为从成本函数性质的角度考虑，方式L和方式T 在计算成本时不需要区分通勤者类型.

定义2用户均衡.一个占比模式μ是用户均衡，满足

用户均衡是一个由通勤者按照通勤成本最小选择通勤方式而达到的状态.从通勤者的角度来讲，在用户均衡下，没有通勤者可以通过改变通勤方式降低通勤成本.这一经典状态被描述为数学规划模型，即

命题1一个占比模式μ是用户均衡，当且仅当该占比模式μ是数学规划问题式(5)的最优解.而且，用户均衡占比模式是存在的.

证明 经计算，数学规划问题式(5)的Karush-Kuhn-Tucker 条件等价于用户均衡占比模式的定义.因此，式(5)的最优解与用户均衡占比模式等价.

式(5)的目标函数是一个连续凸函数，且决策变量的可行集合是一个凸集，故式(5)存在最优解.再根据用户均衡占比模式的等价性，用户均衡占比模式是存在的.

该证明详细过程可参考文献[9].

用户均衡是通勤者按照最小成本原则自发达到的系统状态.但用户均衡并不满足全部通勤者通勤成本总和最小.因此，交通管理部门可以通过政策干预，改变通勤者的选择，使交通系统达到系统最优的状态.

定义3系统最优.一个占比模式μ是系统最优，如果通勤者总成本是最小的，即数学规划问题式(6)的最优解.

命题2系统最优占比模式是存在的.

证明该证明过程类似于用户均衡占比模式存在性的证明.数学规划问题式(6)的目标函数是一个连续凸函数，且决策变量的可行集合是一个凸集，故式(6)存在最优解，即系统最优占比模式是存在的.

关于两种系统状态的唯一性，由于两个数学规划问题的Hessian 矩阵不是正定的，所以本文建立的用户均衡和系统最优不能保证唯一性.但两个数学规划问题都是凸规划，可以保证所有的用户均衡和系统最优是集中在一个连续的区域内.这种集中分布的特性保证了算例分析具备合理性.

2 算 例

数值算例采用Python 编程语言实现，优化问题使用工具箱scipy求解，参数取值如表1所示，需要说明的是，研究高占有率车道长度的影响时，U变化范围为0.5～1.0 h.通勤者各类型的参数取值如表2所示.

表1 模型参数Table 1 Model parameters

表2 多类型通勤者的参数Table 2 Parameters for multi-class commuters

BPR函数被用作关于流量能力比的通勤成本函数，即fT(x)=1+0.15x4.用户均衡和系统最优占比模式都不唯一，在显示数值算例结果时，需进行处理.如果有超过两个类型的通勤者选择方式L和方式T，将其按比例分配到每一个可能被选的类型中.

用户均衡下的通勤成本和占比模式如图1 所示.在用户均衡下，同一类型的通勤者将选择通勤费用最低的通勤方式.拼车组织时间较低的通勤者愿意选择方式H，因为较低的拼车组织时间使该类型通勤者的成本更低；相反，拼车组织时间较高的通勤者愿意选择方式L 和方式T.

系统最优下的通勤成本和占比模式如图2 所示.在系统最优下，通勤者不一定选择对自己而言通勤成本最低的通勤方式，而是通勤者整体最优.拼车组织时间较低的通勤者选择方式H.方式T的通勤成本总是大于方式L，但只有类型2～5的通勤者选择方式L，显然，部分通勤者没有选择通勤成本最低的方式.

用户均衡和系统最优平均通勤成本如图3 所示.类型1(低拼车组织时间)的通勤者平均通勤成本约有28%的下降，类型2～5(高拼车组织时间)的通勤者对应仅有2%的下降，系统总通勤成本下降6.2%.从用户均衡到系统最优，每种类型通勤者的通勤成本都有所下降，即这种改变是帕累托提升的；这一现象不仅有利于短期交通效率提升，更加有利于中长期的效率提升.显然，低拼车组织时间的通勤者获得了更好的效率提升，故通勤者在中长期规划中，更倾向于选择低拼车组织时间的生活方式，获得更大的效益.

图1 用户均衡下的通勤成本和占比模式Fig.1 Commuting costs and proportion pattern in user equilibrium

图2 系统最优下的通勤成本和占比模式Fig.2 Commuting costs and proportion pattern in system optimum

图3 用户均衡和系统最优下平均通勤成本的比较Fig.3 Comparison of average commuting costs under user equilibrium and system optimization

基于不同自由流时间的平均通勤成本如图4所示.汽车通勤者的自由流时间越大，说明高占有率车道的长度越长.自由流时间从0.5 h 增加到1.0 h，通勤者的平均通勤成本随之增大.系统由用户均衡调整为系统最优平均成本下降的百分比也随自由流时间增加，从7%增加到12%.

图4 基于不同自由流时间的平均通勤成本比较Fig.4 Comparison of average commuting costs according to free-flow travel time

基于不同自由流时间的占比模式如图5所示.系统最优和用户均衡下，占比的变化模式相近.随着自由流时间增加，方式L 的占比明显上升，方式H 的占比略微上升，方式T 的占比明显下降.这一现象说明，随着通勤长度的增加，部分通勤者将由轨道交通转换为汽车方式通勤.

图5 基于不同自由流时间的占比模式比较Fig.5 Comparison of proportion patterns according to free-flow travel time

3 结 论

本文研究了拼车组织时间多类型通勤者对高占有率车道交通系统的影响.通过研究，得到以下结论：解析命题表明，建立的数学规划模型分别与用户均衡和系统最优等价，且最优解是存在的；数值算例显示，系统最优下低拼车组织时间的通勤者平均成本下降比例高于用户均衡；根据长度分析，达到系统最优时，随着高占有率车道长度增加，通勤总成本下降比例增大.结论说明，交通管理部门发布的管理策略可在短期降低系统总通勤成本，并有助于在中长期促进通勤者选择更利于拼车的生活方式；规划高占有率车道时，延长车道长度有助于降低通勤总成本，提高交通效率.将均衡分析方法应用于在城市交通网络中高占有率车道的建模分析是未来的研究方向.